初中数学北师大版（2024）八年级下册3 三角形的中位线综合训练题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册3 三角形的中位线综合训练题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
3．如图，在中，E、F分别是边AC、BC的中点，且DF//AC，BD=3，则EF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．如图，在中，分别是边的中点，若，则的长为（ ）

A．5B．6C．7D．8
5．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，已知∠A＝65°，则∠DFE＝（ ）
A．60°B．62°C．64°D．65°
6．如图，的周长为36 cm，对角线相交于点cm．若点是的中点，则的周长为（ ）

A．10 cmB．15 cmC．20 cmD．30 cm
7．如图，的对角线、BD相交于点，点、分别是线段、的中点．若的周长是18，则的两条对角线的和是（ ）
A．18B．24C．30D．36
8．如图所示，在平行四边形中，对角线和相交于点，交于点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
10．如图，DE是△ABC的中位线，若BC＝8，则DE的长为( )

A．2B．4C．6D．8
11．如图，△ABC中，E， D分别上边AB，AC的中点，若DE=3，则BC=（ ）
A．B．9C．6D．5
12．如图，在中，点是边上的中点，平分于点，若，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．如图，已知在中，．，分别是的中点，连接．若，则的面积是 ．

14．如图，在锐角三角形中，为三角形内部一点，，，，，则的面积为 ．
15．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是线段AB上的动点，M、N分别是AD、CD的中点，连接MN，当点D由点A向点B运动的过程中，线段MN所扫过的区域的面积为 ．
16．如图，ΔABC中，，，点，分别在边，上，且，连接，点是的中点，点是的中点，线段的长为 ．
17．如图，中，于点D，C是BE延长线上一点，F是AC的中点，连接DF，若，则DF的长为 ．
三、解答题
18．在中，，点是边上一动点（点不与点、重合），连接．
(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，过点作的垂线交于点，求证：；
(3)如图3，以为直角顶点，在下方作直角，点为的中点，连接，点为的中点，连接，若，直接写出的取值范围．
19．如图，△ABC中，点D在边BC上，AD＝BD，点E是线段AD的中点．
(1)在AB边上求作一点F，使EF//BC；（尺规作图，保留痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接CE，DF，若CD＝DE，求证：四边形CEFD是平行四边形．
20．如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E．
(1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______．
(2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长
21．如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：

(1)若，，，公园的面积为______；
(2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积；
(3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值．
22．【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围．
(1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作AB边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程．
(2)如图②，在四边形中，，，、分别为、AD中点，求的取值范围．
(3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________．
(4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______．
23．【思维导图】
丞丞同学通过全等三角形的学习，简要地绘制了关于三角形中线的思维导图．
【初步应用】
（1）如图①，在中，是的中点，连接，过点作于点，若的面积是，求的长．
【推导明理】
（2）如图②，是的中线，若．求的取值范围．
丞丞同学利用所学的数学知识及解题经验，先延长至点，使得，连接，从而得到，进而通过全等三角形的性质和三角形三边的关系得出的取值范围；在辅助线的做法上，霖霖同学经过思考，先过点作，交的延长线于点，从而得到，进而解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【拓展运用】
（3）如图③，在中，，分别是上一点，连接，是的中点，连接，若，求证：．
24．如图，是的中位线，延长到，使，连接．
求证：．
《6.3三角形的中位线》参考答案
1．D
【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解．
【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故选：D．
【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．
2．B
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故选B．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
3．B
【详解】试题分析：由DF//AC，F是边BC的中点可得D是边AB的中点，所以AB=2BD=6；又因E、F分别是边AC、BC的中点，根据三角形的中位线定理可得EF=12AB=3．故答案选B．
考点：三角形的中位线定理．
4．B
【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．直接根据三角形中位线定理即可得．
【详解】解：分别是边的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：B．
5．D
【分析】根据三角形中位线定理得到DF∥AC，EF∥AB，得到四边形ADFE是平行四边形，根据平行四边形的性质解答即可．
【详解】∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴∠DFE＝∠A＝65°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．B
【分析】根据▱ABCD的周长为36 可得AB＋BC＝18，根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得OA＝OC＝AC，又因为E点是AB的中点，可得OE是△ABC的中位线，可得OE＝BC，进而可求△DOE的周长．
【详解】解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（AB＋BC）＝36，
∴AB＋BC＝18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，
∴OA＝OC＝AC＝6．
又∵点E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，AE＝AB，
∴OE＝BC，
∴△AOE的周长＝OA＋OE＋AE＝AC＋（AB＋BC）＝6＋9＝15，
即△AOE的周长为15．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理．熟练运用三角形中位线定理是解决本题的关键．
7．B
【分析】由点E、F分别是线段、的中点，若，根据三角形中位线的性质，可求得AB的长，又由四边形是平行四边形，可求得CD的长，然后由的周长是，求得，继而求得答案．
【详解】解：由题意知，是的中位线，，
又的周长是18，
，
由平行四边形的对角线互相平分，可得．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质，平行四边形的对角线互相平分及整体思想是解题的关键．
8．B
【分析】由平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE∥BC，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∵OE∥BC，
∴OE∥AD，
∴OE是△ACD的中位线，
∵OE=4cm，
∴AD=2OE=2×4=8（cm）．
故选B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
9．C
【详解】试题解析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°；BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45°=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴，
∴AE•BF=AC•BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG=CH，MH∥AC，
∴；，
即；，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG•MH=AE×BF=AE•BF=AC•BC=.
故④正确．
故选C．
【点睛】考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
10．B
【分析】已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得DE的长．
【详解】解：是的中位线，，
，
故选B．
【点睛】此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11．C
【分析】根据三角形中位线定理即可解答本题
【详解】∵D，E分别上边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=6；
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理．牢牢掌握定理是解答本题的关键．
12．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及中位线定理的运用，延长交于D，运用三角形全等的判定和性质，可得N为的中点，得到是的中位线，由中位线定理，计算即可得到所求值．
【详解】解：如图，延长交于D，
，
，
，，
为的中点，
是的中位线，
．
故选：B．
13．24
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据三角形的面积公式计算，即可得到答案．
【详解】解：分别是的中点，，
，
，
，
是直角三角形，
，
故答案为：24．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，是解题的关键．
14．
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理的应用、三角形中位线的判定和性质，旋转到，延交于点，作于，先证明是直角三角形，利用勾股定理解得，再证明是的中位线，最后根据三角形面积公式即可解答．
【详解】设，则，
旋转到，延交于点，
则，，，，
，
即，
又，
，
，
，
，，
，
，
作于，
∴，
，
∴．
故答案为：．
15．12
【分析】分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，根据三角形中位线定理分别求出AE、GC，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】分别取△ABC三边AC，AB，BC的中点E，F，G，并连接EG，FG，
根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是▱AFGE的面积，
∵AC=6，BC=8，
∴AE=AC=3，GC=BC=4，
∵∠ACB=90°，
∴S四边形AFGE=AE•GC=3×4=12，
∴线段MN所扫过区域的面积为12，
故答案为12．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
16．
【分析】如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．首先证明CH=EC，∠ECH=120°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．
【详解】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．
∵BD∥CH，
∴∠B=∠NCH，
∵BN=CN，∠DNB=∠KNC，
∵△DNB≌△HNC（ASA），
∴BD=CH，DN=NH，
∵BD=EC=2，
∴EC=CH=2，
∵∠A+∠ACH=180°，∠A=60°，
∴∠ECH=120°，
∵CJ⊥EH，
∴EJ=JH=EC•cs30°=
∴EH=2EJ=2，
∵DM=ME，DN=NH，
∴MN=EH=．
故答案为．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考能力题.
17．4
【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD=DE，再根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解∶∵BA=BE，BD⊥AE，
∴AD=DE，
又F是AC的中点，
∴，
∵CE=8，
∴DF=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
18．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质
(1) 过点作，垂足为，勾股定理，分母有理化计算即可．
(2) 过点作的平行线交于点，分别证明，即可．
(3) 连接，取其中点G，连接并延长交于点H，利用三角形中位线定理，垂线段最短，斜边最长，勾股定理计算即可．
【详解】（1）过点作，垂足为，
设，则，
∴，
∴，
∴．
（2）过点作的平行线交于点，
∵，
∴
同理可得：
又，
∴，
∴
在和中
∴，
∴
又∴
在和中
∴
．
（3）如图，连接，取其中点G，连接并延长交于点H，
∵ 点为的中点，
∴ 是的中位线，
∴，
∵ ，
∴，
过点D作，交的反向延长线于点O，
则四边形是矩形，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
取的中点K，连接，
则是的中位线，
∴，
∵ ，
∴，
连接，
∵ ，，
∴，，
∵ ，，
∴三点共线，
∴，
取的中点P，连接，
则，，
∴，
∴的平行线间的距离为，
根据垂线段最短，
当时，取得最小值，且，
当与点A重合，点Q与点P重合时，取得最大值，且，
故的取值范围是．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作的平分线，与AB相交于点F，由等腰三角形三线合一的性质得到点F为AB的中点，再结合中位线定义，可得EF∥BC；
（2）由中位线性质可得，EF//BC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，
作的平分线，与AB相交于点F，
又AD＝BD，
为等腰三角形，
BF=AF
又E为AD的中点，
EF为中位线，
EF∥BC
∴点F即为所求；
（2）证明：∵F为AB的中点，E为AD中点
∴EF为中位线，
∴，EF∥BC
∵E为AD中点，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴四边形CEFD为平行四边形．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，涉及线段的垂直平分线性质、中位线的性质、平行四边形的判定等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的含义，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
（1）证明为的中位线，利用三角形的中位线的性质可得答案；
（2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，证明，可得，证明三点共线，再利用三角形的中位线的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵，的中点为D、E．
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵点H、F分别是和的中点，，
∴，，
∴三点共线，
∵点H、E分别是和的中点，，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
(3)（万元）
【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案；
（2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可；
（3）由题意可知为定值，从而将沿向下平移至，连接交于点，此时即为取最小值，此时点位于处，过作于点，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再得出是等边三角形，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，可得最短的绿道长度，从而求得费用的最小值．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，
，，
在中，过点作于点，如图：
，，，
，
，
，
；
公园的面积为；
故答案为：
（2）解：连接、，如图：
在中，，
，
，
，，，
，
，
．
种植郁金香区域的面积为．
（3）解：将沿向下平移至，
连接交于点，此时即为取最小值，此时点位于处，过作于点，如图：
，，
为的中位线，
，
四边形和四边形均为平行四边形，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，
由勾股定理得：，
，
、、和的最小值为：，
投入资金的最小值为：（万元）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用，综合性强，画出图象分析计算、数形结合是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解；
（4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含30°的直角三角形特征即可得到．
【详解】（1）解：如图，取边上的中点，连接，
为中点，为中点，
，
，，
，，
在中，，
即．
（2）解：如图，连接，取中点，连接、，
又、分别为、中点，
，，
，，
，，
在中，，
即．
（3）解：如图，连接，取中点，连接、，
又、分别为、中点，
，，
，，
，，
在中，，
即．
故答案为：．
（4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，
，点是中点，点是的中点，
，，，，
，，
，
，
，
正好平分的周长，
，
又，点是中点，
，
，
又，，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、三角形三边关系、等腰三角形的“三线合一”、含30°的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理解三角形的三边关系．
23．（1）；（2）；（3）见解析．
【分析】（1）由中点得，进而得的面积，再根据面积公式构造方程即可得解；
（2）延长至点，使得，连接，证明，得，再利用三角形的三边关系即可得解；
（3）延长到，使得，连接BM，证明（）得，，再证明，得，从而得．
【详解】（1）解：∵是的中点，
∴，
∵的面积是
∴的面积，
∵，，
∴即，
∴；
（2）解：延长至点，使得，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（3）证明：延长到，使得，连接BM，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∴（）
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，中点定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
24．见解析
【分析】由已知条件可得DF=AB及DF∥AB，从而可得四边形ABFD为平行四边形，则问题解决．
【详解】∵是的中位线
∴DE∥AB，，AD=DC
∴DF∥AB
∵EF=DE
∴DF=AB
∴四边形ABFD为平行四边形
∴AD=BF
∴BF=DC
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线的性质定理，掌握它们是解答本题的关键．当然本题也可以用三角形全等的知识来解决．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
B
D
B
B
B
C
B
题号
11
12








答案
C
B