中考数学几何模型专项复习 模型07 三角形——飞镖模型-（原卷版+解析）

这是一份中考数学几何模型专项复习 模型07 三角形——飞镖模型-（原卷版+解析），共16页。


◎结论：如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C

【证明】如图，延长 BD交 AC 于点E.
∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC 是△CDE的外角，
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
其他添加轴助线的方法

1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
2．(2023·全国·八年级课时练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A．B．C．D．
3．(2023·浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A．24°B．25°C．30°D．36°
1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，若，则____________．
2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，，平分，平分，则______.
3．(2023·全国·八年级课时练习）如图所示，已知四边形，求证．
1．(2023·山西晋中·二模）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．80°
2．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．
三角形
模型（七）——飞镖模型
◎结论：如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C

【证明】如图，延长 BD交 AC 于点E.
∵∠BEC是△ABE 的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC 是△CDE的外角，
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
其他添加轴助线的方法

1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
答案:C
分析由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50°
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
2．(2023·全国·八年级课时练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A．B．C．D．
答案:A
分析延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵
∴
同理得
∵
∴

∵
∴
∴
∴,
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
3．(2023·浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）
A．24°B．25°C．30°D．36°
答案:B
【详解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB
∵∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，
∴∠ABD2=∠ABD1 =∠ABC，∠ACD2=∠ACD1 =∠ACB，
同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故选：B
1．(2023·全国·八年级课时练习）如图，若，则____________．
答案:230°
分析根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．
2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，在中，，，平分，平分，则______.
答案:
分析先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
3．(2023·全国·八年级课时练习）如图所示，已知四边形，求证．
答案:见解析
分析方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；
方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；
方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】方法1如图所示，连接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如图所示，连接AD并延长.
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理.
1．(2023·山西晋中·二模）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
A．45°B．50°C．55°D．80°
答案:B
分析连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【详解】解：连接AC并延长交EF于点M．
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
2．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．
答案:（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
分析（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，进而可得答案．
【详解】解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°．
故答案是：70．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
3．(2023·河北·景县第二中学八年级阶段练习）如图，在中，，一块直角三角尺XYZ放置在上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C．
(1)________，________，________．
(2)若改变直角三角尺XYZ的位置，但三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，则的大小是否变化？请说明理由．
答案:(1)150°；90°；60°
(2)∠ABX＋∠ACX的大小不变．理由见解析．
分析（1）在△ABC中，利用三角形内角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求∠ABC+∠ACB；根据∠ABC+∠ACB=140°，∠XBC+∠XCB=90°，即可求出答案；
（2）不发生变化，由于在△ABC中，∠A=30°，从而∠ABC+∠ACB是一个定值，即等于150°，同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB也是一个定值，等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值不变，等于150°-90°=60°．
（1）
∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∵∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABC+∠ACB=140°；
∵在△BCX中，∠BXC=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∴∠ABX+∠ACX=140°-90°=50°；
故答案为：140°，90°，50°；
（2）
∠ABX＋∠ACX的大小不变．
理由：在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝30°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－30°＝150°．
∵∠X＝90°，
∴∠XBC＋∠XCB＝90°．
∴∠ABX＋∠ACX＝(∠ABC－∠XBC)＋(∠ACB－∠XCB)＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠XBC＋∠XCB)＝150°－90°＝60°．
∴∠ABX＋∠ACX的大小不变，为60°．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，此题注意运用整体法计算，关键是求出∠ABC+∠ACB．