2024-2025学年辽宁省协作体高二（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年辽宁省协作体高二（上）期末数学试卷，共55页。试卷主要包含了种分配方法等内容，欢迎下载使用。
A．0.8B．0.5C．0.4D．0.1
2．（5分）已知直线l：ax+2y+3＝0的倾斜角为α，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）（x+y﹣1）8的展开式中，含xy4的项的系数为（ ）
A．240B．﹣280C．560D．360
4．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，G，E分别是CC1，AB的中点，P是四边形CC1D1D内一动点，，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（ ）种分配方法．
A．90B．60C．126D．120
6．（5分）已知菱形ABCD的边长为，∠BAD＝60°，以BD为折痕把△ABD折起，使点A到达点A′的位置，且平面A′BD⊥平面BCD．若点A′，B，C，D都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．16πB．20πC．24πD．28π
7．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是直线x＝2上与点A（2，0）不重合的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
8．（5分）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家；如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）：
（多选）9．（6分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．过F2的直线l交双曲线C的右支于A、B两点，其中点A在第一象限．△AF1F2的内心为I1，AI1与x轴的交点为P，记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1，△BF1F2的内切圆I2的半径为r2，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2或
B．若AF1⊥AF2，且|BF1|﹣|AF1|＝2a，则双曲线的离心率为
C．若，则r1﹣r2的取值范围是
D．若直线l的斜率为，则双曲线的离心率为
（多选）10．（6分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CD的中点，N为线段BM上的动点（含端点），则下列选项正确的有（ ）
A．若直线A1M与直线AN所成角为α，则csα的最大值为．
B．若点N到平面ABC1D1的距离为d，则d+CN的最小值为．
C．若在该正方体内放入一个半径为的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是．
D．点T从B点出发匀速朝D1移动，点S从A点出发匀速朝A1移动．现S，T同时出发，当S到达A1时，T恰好在BD1的中点处．则在此过程中，S，T两点的最近距离为．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）：
11．（5分）已知ξ～N（4，52），且P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），则（0＜x＜a）的最小值为 ．
12．（5分）已知两条互相垂直的直线l1，l2分别经过点A（﹣4，0），B（2，2），公共点为T，O（0，0），则当|OT|取最小值时，S△TAB＝ ．
13．（5分）已知是空间单位向量，．若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则y0＝ ，＝ ．
14．（5分）数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示．若正整数，其中a0＝1，ai＝0或1（i＝1，2，…，k），则n可以用（k+1）位二进制数（a0a1a2⋯ak﹣1ak）2表示．记n的二进制各个位数和为f（n），则f（n）＝a0+a1+⋯+ak﹣1+ak，例如5＝1×22+0×21+1×20＝（101）2，因此f（5）＝1+0+1＝2．已知正整数n≤1024且f（n）＝2，则这样的n有 个：3f（1）+3f（2）+3f（3）+⋯+3f（62）+3f（63）＝ ．
四、解答题（本大题共6个小题，共78分）：
15．（11分）设（3x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求：
（1）a2+a4+a6；
（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|．
16．（11分）已知圆M的圆心在直线y＝3x+1上，且点A（1，2），B（﹣1，4）在M上．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线l经过点C（0，4），且l与圆M相交于D，E两点，求|DE|．
17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD．如图2，BD的中点为O．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由．
18．（13分）对于形如“|Ax+By+C|＝γ”的绝对值方程，我们可以考虑将其与点到直线的距离公式：相关联．
（1）设集合U＝{（x，y）|x2+y2≠0，x∈R，y∈R}，点P的坐标为（x，y），满足“存在（a，b）∈U，使得”的点P构成的图形为Ω，求证：Ω的面积大于32；
（2）已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标（x，y）满足关系式.若这样的点P恰有三个，求实数t的值．
19．（15分）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为p3．
（1）决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束．假设p1＝p2＝p3＝0.6，且每局比赛相互独立．
（i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率；
（ii）求比赛结束时乙获胜的概率；
（2）若p1+p3＜1，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略．
20．（15分）如图1，在抛物线y＝x2（x＞0）上任选一动点P（x0，y0），可认为其纵坐标为以x0为边长的正方形PP′LK的面积，由此将抛物线y＝x2下阴影部分的面积转化为四棱锥O﹣PP′LK的体积，得，称其为抛物线的“三分之一”原则．
（1）如图3，在拟柱体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，，点E到底面ABCD的距离为2，试利用抛物线的“三分之一”原则求拟柱体ABCDEF的体积V；
（2）已知类似于圆锥的空间几何体Ω具有圆锥的一切对称性，且其顶点为O，底面为π，高为H，将Ω置于空间直角坐标系Oxyz中，使其顶点与坐标原点重合，π与平面xOy平行且π上任意一点坐标均可表示为（x0，y0，H）．若用任一平行于平面xOy的平面D′截Ω所得的截面的面积与D′到平面xOy的距离h有关系：S＝4πh，h∈[0，H]．设Ω被平面yOz所截得曲线为C，
（i）求Ω的体积V关于h的表达式及C在平面yOz中的方程；
（ii）在平面yOz中，过点P（﹣2，1）作两条互相垂直的弦PA，PB，分别交C于A，B两点，A，B都在第一象限内且A在B的右侧，AO，BO分别交z＝﹣2于M，N两点．设△MON的面积为S1，△AOB的面积为S2，当B点的横坐标时，求的最大值．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）已知随机变量X﹣N（μ，σ2），若其对应的正态密度函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），且P（X≤0）＝0.1，则P（1≤X≤2）＝（ ）
A．0.8B．0.5C．0.4D．0.1
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【答案】C
【分析】由f（2﹣x）＝f（x）可得对应的正态曲线的对称轴为x＝1，根据正态曲线的对称性可得结果．
【解答】解：根据题意，f（2﹣x）＝f（x），则正态密度函数f（x）关于x＝1对称，即μ＝1，
则P（1≤X≤2）＝P（0≤X≤1）＝0.5﹣P（X≤0）＝0.5﹣0.1＝0.4．
故选：C．
【点评】本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题．
2．（5分）已知直线l：ax+2y+3＝0的倾斜角为α，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【考点】直线的倾斜角．
【答案】C
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，求出a的取值范围．
【解答】解：因为，所以直线的斜率k＝tanα∈（0，]，
又由直线方程可得，所以，
解得，
即实数a的取值范围是．
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．
3．（5分）（x+y﹣1）8的展开式中，含xy4的项的系数为（ ）
A．240B．﹣280C．560D．360
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【答案】B
【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解．
【解答】解：（x+y﹣1）8的通项为，
且r≤k，r，k∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，
令，解得，
∴xy4的项的系数为，
∴（x+y﹣1）8的展开式中，含xy4的项的系数为﹣280．
故选：B．
【点评】本题考查二项式展开式的通项特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，G，E分别是CC1，AB的中点，P是四边形CC1D1D内一动点，，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】点、线、面间的距离计算；空间向量语言表述线面的垂直、平行关系．
【答案】D
【分析】以D为原点建系，求出平面EFG的法向量，设P（0，y，z），0≤y≤4，0≤z≤4，由•＝0可得点P的轨迹方程，再结合二次函数的性质求线段AP的最小值即可．
【解答】解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（4，0，0），E（4，2，0），F（1，4，0），G（0，4，2），
所以＝（3，﹣2，0），＝（﹣1，0，2），
设平面EFG的法向量为＝（a，b，c），则，
取a＝2，则b＝3，c＝1，所以＝（2，3，1），
设P（0，y，z），0≤y≤4，0≤z≤4，则＝（﹣4，y，z），
若直线AP与平面EFG没有公共点，则AP∥平面EFG，
所以•＝0，即﹣8+3y+z＝0，
因为0≤y≤4，0≤z≤4，
所以，解得≤y≤，
而＝＝＝，
所以当y＝∈[，]时，取得最小值＝．
故选：D．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用向量法处理线面平行，求动点的轨迹，以及两点间距离的最值是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5．（5分）某学校利用周末时间组织学生进行志愿者服务，高二年级共6个班，其中（1）班有2个志愿者队长，本次志愿者服务一共20个名额，志愿者队长必须参加且不占名额，若每个班至少有3人参加，则共有（ ）种分配方法．
A．90B．60C．126D．120
【考点】排列组合的综合应用．
【答案】C
【分析】将问题转化为将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结合隔板法求解即可得到．
【解答】解：由题意可知，若每个班至少3人参加，由于（1）班有2个志愿者队长，
故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，
再将10个名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，
利用插空法，只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，
所以种分配方法．
故选：C．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6．（5分）已知菱形ABCD的边长为，∠BAD＝60°，以BD为折痕把△ABD折起，使点A到达点A′的位置，且平面A′BD⊥平面BCD．若点A′，B，C，D都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．16πB．20πC．24πD．28π
【考点】球的表面积．
【答案】B
【分析】根据题意可得所求球的球心为过两边长为的正三角形的中心且垂直对应面的两垂线的交点，再根据勾股定理及球的表面积公式，即可求解．
【解答】解：根据题意可得所求球的球心为过两边长为的正三角形的中心且垂直对应面的两垂线的交点，
又易知球心到一个正三角形的射影点的距离为1，射影点到对应三角形的顶点的距离为2，
∴所求球的半径R＝＝，
∴该球的表面积为4πR2＝20π．
故选：B．
【点评】本题考查三棱锥的外接球问题，属中档题．
7．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是直线x＝2上与点A（2，0）不重合的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【考点】椭圆的焦点弦及焦半径．
【答案】D
【分析】根据正弦定理转化为求三角形外接圆半径的最小值，由圆的性质可知当圆与直线x＝2相切时有最小值．
【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，
则F1（﹣1，0），F2（1，0），
又点P是直线x＝2上与点A（2，0）不重合的动点，
由正弦定理可知，其中R为△PF1F2外接圆的半径，
因为F1（﹣1，0），F2（1，0），
由圆的性质可知，外接圆圆心在y轴上，如图，
不妨设圆心为M（0，a），
则圆的方程为x2+（y﹣a）2＝R2，
由题意，圆M与直线x＝2有公共点P，且R＝|MP|，
显然当圆M与直线x＝2相切时，R＝|MP|有最小值2，此时P为切点，如图，
所以的最小值为4．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了正弦定理及圆的性质，属中档题．
8．（5分）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家；如果天不下雨，那么他不带雨伞．假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立．现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【答案】D
【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率．
【解答】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，
连续上两天班，上班、下班的次数共有4次．
（1）有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：；
（2）4次均不下雨，概率为：；
（3）有2次下雨但不淋雨，共3种情况：
①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；
概率为：；
（4）有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为：；
（5）4次均下雨，概率为：；
两天都不淋雨的概率为：，
所以至少有一天淋雨的概率为：．
故选：D．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
二、多选题（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）：
（多选）9．（6分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．过F2的直线l交双曲线C的右支于A、B两点，其中点A在第一象限．△AF1F2的内心为I1，AI1与x轴的交点为P，记△AF1F2的内切圆I1的半径为r1，△BF1F2的内切圆I2的半径为r2，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为2或
B．若AF1⊥AF2，且|BF1|﹣|AF1|＝2a，则双曲线的离心率为
C．若，则r1﹣r2的取值范围是
D．若直线l的斜率为，则双曲线的离心率为
【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数；双曲线的离心率；双曲线的定义．
【答案】ABD
【分析】根据基本量运算直接得出离心率判断A；结合双曲线定义判断B；结合内切圆性质判断C；结合定义及余弦定理计算可得离心率判断D．
【解答】解：对于A，双曲线渐近线的夹角为60°，则或者，故或．
对于B，设|AF1|＝x，则|BF2|＝x，|AF2|＝x﹣2a，|BF1|＝x+2a．
故x2+（2x﹣2a）2＝（x+2a）2，解得x＝3a．又x2+（x﹣2a）2＝4c2，10a2＝4c2，故．
对于C，令圆I1切AF1，AF2，F1F2分别为点D，Q，T，则|AD|＝|AQ|，|F1D|＝|F1T|，|F2Q|＝|F2T|，
|F1T|﹣|F2T|＝|F1D|﹣|F2Q|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a，令点T（x0，0），而F1（﹣c，0），F2（c，0），
因此x0﹣（﹣c）﹣（c﹣x0）＝2a，解得x0＝a，又I1T⊥F1F2，则点I1横坐标为a，同理点I2横坐标为a，
即直线I1I2的方程为x＝a，
设直线AB的倾斜角为2θ，那么∠OF2I2＝θ，
在ΔI1F2T中，
在ΔI2F2T中，r2＝（c﹣a）tanθ，渐近线的斜率为．
因为A、B均在右支上，故．
如图所求，．
对于D，，故|AF1|+|AF2|＝4c，而|AF1|﹣|AF2|＝2a．，
故|AF1|＝a+2c，|AF2|＝2c﹣a，∠F1F2A＝120°，
由余弦定理可知（2c+a）2＝（2c﹣a）2+4c2+2c•（2c﹣a），4c＝5a，故．
故选：ABD．
【点评】本题考查命题的子集的判定，直线与双曲线的位置关系的应用，三角形的解法，是难题．
（多选）10．（6分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CD的中点，N为线段BM上的动点（含端点），则下列选项正确的有（ ）
A．若直线A1M与直线AN所成角为α，则csα的最大值为．
B．若点N到平面ABC1D1的距离为d，则d+CN的最小值为．
C．若在该正方体内放入一个半径为的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是．
D．点T从B点出发匀速朝D1移动，点S从A点出发匀速朝A1移动．现S，T同时出发，当S到达A1时，T恰好在BD1的中点处．则在此过程中，S，T两点的最近距离为．
【考点】异面直线及其所成的角；空间中点到平面的距离；与直线有关的动点轨迹方程；球外切几何体．
【答案】BD
【分析】对于选项A，根据点N运动情况，求得即可判断；对于选项B，根据动点到面和点到线的距离转化求解即可；对于选项C，求出小球在正方体的8个顶点以及12条棱处不能达到的空间，利用球和柱体的体积公式求解即可；对于选项D，建立空间直角坐标系，求出S，T坐标，利用两点间距离的坐标公式求解即可．
【解答】解：选项A：当M点与N点重合时，可得，故A错误；
选项B：过N作NP∥AB，再作PQ⊥BC1，又PQ⊥AB，易证PQ⊥平面ABC1D1，
所以点N到平面ABC1D1等于点P到平面ABC1D1，所以d+CN＝PQ+CN，
将平面ABCD和平面BCC1B1展开放在同一平面内（如图所示），取BP的中点K，则有，所以PK＝NP，所以△PNK为等腰直角三角形，所以，
又因为△PBQ为等腰直角三角形，所以，
所以PQ＝NK，所以d+CN＝NK+CN，
设∠NCP＝θ，PK＝KB＝t，则CP＝2﹣2t，，
在△CNK中，，
所以，
所以，，
所以，
下面求其最小值，令，则，
由辅助角公式可得，，其中取，所以，
所以存在角φ使得sin（θ+φ）≤1，即存在，
化简得，
所以或，
又因为，所以，
所以的最小值为，故B正确；
选项C：正方体的8个顶点处的正方体内，
小球不能到达的空间为，
除此之外，以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，
小球不能到达的空间为，
其他空间小球均能到达，
所以小球不能到达的空间体积为，C错误；
选项D：以D为坐标原点建立如图所示坐标系，
设|AS|＝m （0≤m≤2），则由题意可得，
所以S（2，0，m），B（2，2，0），D1（0，0，2），，
因为，所以，
所以，
由一元二次函数的性质可知当时，取得最小值，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查立体几何综合问题，属于难题．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）：
11．（5分）已知ξ～N（4，52），且P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），则（0＜x＜a）的最小值为 ．
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【答案】．
【分析】由正态分布的性质，求出a的值，然后利用导数研究该函数的单调性，进而求出最小值．
【解答】解：因为ξ～N（4，52），故μ＝4，
因为P（ξ≤3）＝P（ξ≥a+1），故，解得a＝4，
再令f（x）＝，0＜x＜4，
＝，易知时，f′（x）＜0，f（x）此时单调递减，
时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）min＝f（）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正态分布的性质以及导数的应用，属于中档题．
12．（5分）已知两条互相垂直的直线l1，l2分别经过点A（﹣4，0），B（2，2），公共点为T，O（0，0），则当|OT|取最小值时，S△TAB＝ ．
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【答案】．
【分析】根据已知条件分析出动点T在以线段AB为直径的圆上，进而求出当|OT|取得最小值时点T的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：由题两条互相垂直的直线l1，l2分别经过点A（﹣4，0），B（2，2），公共点为T，O（0，0），
可得点T在以线段AB为直径的圆上，此时该圆的圆心M（﹣1，1），
半径，故圆M的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝10．
此时易知，当点T为直线OM与圆M在第四象限的交点时|OT|取得最小值，
此时直线OM的方程为y＝﹣x，将该直线与圆M的方程联立，
解得，或（舍），故此时，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用了定义法求出了动点T的轨迹方程，动点问题求解的关键是分析出动点的轨迹，是中档题．
13．（5分）已知是空间单位向量，．若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则y0＝ 2 ，＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】2；．
【分析】由题意可得当且仅当x＝x0，y＝y0时取到最小值1，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案．
【解答】解：已知是空间单位向量，
又，
由于，
所以，
对于任意x，y∈R，，
即当且仅当x＝x0，y＝y0时取到最小值1，
又
＝
＝
＝
＝
＝．
则，
解得．
故答案为：2；．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了含有多个平方的代数式的最小值问题，属中档题．
14．（5分）数学家莱布尼兹是世界上首个提出二进制计数法的人，任意一个十进制正整数均可以用二进制数表示．若正整数，其中a0＝1，ai＝0或1（i＝1，2，…，k），则n可以用（k+1）位二进制数（a0a1a2⋯ak﹣1ak）2表示．记n的二进制各个位数和为f（n），则f（n）＝a0+a1+⋯+ak﹣1+ak，例如5＝1×22+0×21+1×20＝（101）2，因此f（5）＝1+0+1＝2．已知正整数n≤1024且f（n）＝2，则这样的n有 45 个：3f（1）+3f（2）+3f（3）+⋯+3f（62）+3f（63）＝ 4095 ．
【考点】进位制．
【答案】45；4095．
【分析】（1）由题意：n是2～10位二进制数，得到n的前10位中恰有两个1，其余位均为0即可求解；
（2）63＝（111111）2是最大的6位二进制数，从而说明1～63的二进制数中，f（n）∈{1，2，3，…，6}→f（n）＝1时共有个二进制数，f（n）＝2时共有个二进制数，f（n）＝3时共有个二进制数，…，f（n）＝6时共有个二进制数，进而可求解．
【解答】解：（1）n≤1024＝210＝（10000000000）2，
要使f（n）＝2，则n是2～10位二进制数，
n的前10位中恰好有两个1，其余位均为0，
∵最高位必为1，
∴，
∴正整数n≤1024且f（n）＝2，则这样的n有45个．
（2）∵63＝64﹣1＝26﹣1＝1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20＝（111111）2是最大的6位二进制数，
∴1～63的二进制数中最少1个1，最多6个1，
即当n∈{1，2，3，…，63}时，f（n）∈{1，2，3，…，6}．
当f（n）＝1时，1～6位二进制数最高位必为1，其余位为0，
∴共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有1个1，其余位均为0）；
当f（n）＝2时，2～6位二进制数最高位必为1，其余位只有一个1，
∴共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有2个1，其余位均为0）；
当f（n）＝3时，3～6位二进制数最高位必为1，其余位只有2个1，
∴共有个二进制数（或者理解为前6位中恰有3个1，其余位均为0）；
…
当f（n）＝6时，6位二进制数全是1，故共有个二进制数，
∴3f（1）+3f（2）+3f（3）+⋯+3f（62）+3f（63）
＝．
故选：45；4095．
【点评】本题考查二进制数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四、解答题（本大题共6个小题，共78分）：
15．（11分）设（3x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求：
（1）a2+a4+a6；
（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【答案】（1）﹣8128；
（2）16384．
【分析】（1）结合赋值法，即可求解；
（2）结合赋值法，即可求解．
【解答】解：（1）（3x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，
令x＝0，则a0＝﹣1，
令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝（3﹣1）7＝128，
令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7＝（﹣3﹣1）7＝﹣47，
两式相加可得，；
（2）（3x﹣1）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，
|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|＝（3+1）7＝16384．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
16．（11分）已知圆M的圆心在直线y＝3x+1上，且点A（1，2），B（﹣1，4）在M上．
（1）求圆M的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线l经过点C（0，4），且l与圆M相交于D，E两点，求|DE|．
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【答案】（1）（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4；
（2）．
【分析】（1）由题意设圆心M的坐标，由|MA|＝|MB|，列方程可得参数的值，即求出圆的方程；
（2）由题意设直线l的方程，求出圆心M到直线l的距离d，由弦长公式，可得弦长|DE|的值．
【解答】解：（1）由题意设圆心M（a，3a+1，），又因为点A，B在圆M上，
所以|MA|＝|MB|，即＝，
解得a＝1，即M（1，4），半径r＝|AM|＝＝2，
所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4；
（2）设倾斜角为的直线l经过点C（0，4），可得直线l的方程为y＝x+4，
即x﹣y+4＝0，
可得圆心M到直线l的距离d＝＝，
所以弦长|DE|＝2＝2＝．
【点评】本题考查圆的方程的求法及直线与圆相交弦长公式的应用，属于中档题．
17．（13分）如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD．如图2，BD的中点为O．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面垂直．
【答案】（1）证明见解答；
（2）存在，点H位于线段AC靠近A的三等分点处．
【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明；
（2）分别以OD，OM，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可．
【解答】解：（1）证明：因为AB＝AD，BD的中点为O，所以AO⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，
所以AO⊥平面BCD；
（2）取DC的中点为M，连接MO，则MO∥BC，
由图1直角梯形可知，ABMD为正方形，
所以BM＝CM＝1，，DC＝2，所以BD⊥BC，BD⊥OM．
由（1）知，AO⊥平面BCD，所以OD，OM，OA两两互相垂直，
以O为坐标原点，分别以OD，OM，OA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），，，，，
设，所以，
所以，，
设平面GHB的法向量为，则，，
所以，
取x＝λ，则，
由AO⊥平面BCD，取平面BCD的一个法向量为，
设平面GHB与平面BCD的夹角为θ，
则＝，
解得或λ＝﹣1（舍）．
所以线段AC上存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为.点H位于线段AC靠近A的三等分点处．
【点评】本题考查线面垂直的证明，平面与平面所成角的求法，属于中档题．
18．（13分）对于形如“|Ax+By+C|＝γ”的绝对值方程，我们可以考虑将其与点到直线的距离公式：相关联．
（1）设集合U＝{（x，y）|x2+y2≠0，x∈R，y∈R}，点P的坐标为（x，y），满足“存在（a，b）∈U，使得”的点P构成的图形为Ω，求证：Ω的面积大于32；
（2）已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标（x，y）满足关系式.若这样的点P恰有三个，求实数t的值．
【考点】轨迹方程．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）t可取和．
【分析】（1）条件可转化为P（x，y）的轨迹为到直线ax+by＝0和bx﹣ay＝0的距离之和不大于4的点的集合，由此确定轨迹形状，求其面积；
（2）条件可转化为有且仅有三条直线满足A（4，1）和B（1，﹣3）到直线l：xa+yb+1＝0（不过原点）的距离t相等，分t＝，0＜t＜和t＞这三种情况讨论求出满足条件的t．
【解答】解：（1）证明：易知|ax+by|+|bx﹣ay|≤4，
可得，
所以P（x，y）的轨迹为到直线ax+by＝0和bx﹣ay＝0的距离之和不大于4的点的集合，
因为a×b+b×（﹣a）＝0，
所以直线ax+by＝0和bx﹣ay＝0垂直，
设E，F分别为点P在直线ax+by＝0，ax﹣by＝0上的投影，
此时存在（a，b）∈U，满足|OE|+|OF|≤4，|OP|2＝|OE|2+|OF|2，
当|OE|+|OF|＝4时，|OP|2＝|OE|2+（4﹣|OE|）2＝2[（|OE|﹣2）2+4]，
因为0≤|OE|≤4，
所以8≤|OP|2≤16，
解得；
当0＜|OE|+|OF|＜4时，|OP|2＝|OE|2+|OF|2≥2|OE||OF|，
因为集合U表示除原点外平面内的点，
所以P不能在原点，
所以|OE|≥0，|OF|≥0，
所以|OE||OF|≥0，但|OE|，|OF|不能同时等于0，
所以|OP|2＝|OE|2+|OF|2≥2|OE||OF|≥0，但等号不能同时成立，
所以|OP|2＞0，
所以P点的轨迹Ω是以原点为圆心，半径在（0，4]范围内的圆形的内部区域（原点除外），
则Ω的面积为π•42＝16π＞32，证毕；
（2）易知t＞0，
此时，
所以有且仅有三条直线满足A（4，1）和B（1，﹣3）到直线l：xa+yb+1＝0（不过原点）的距离t相等，
因为，
当，此时易得符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线以及与直线AB平行的且距离为的两条直线，符合题意；
当时，有4条直线l会使得点A（4，1）和B（1，﹣3）到它们的距离相等，
注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．
设点A到l的距离为d，
作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，
此时直线方程为2x+5y＝0，
可得，符合题意；
作为增根被舍去的直线l，过原点且与AB平行，
此时直线方程为4x﹣3y＝0，
可得，不符合题意；
当，只有两条直线使得点A（4，1）和B（1，﹣3）到它们的距离相等，不符合题意．
综上所述，t可取和．
【点评】本题考查轨迹方程，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题．
19．（15分）某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛．已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为p3．
（1）决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束．假设p1＝p2＝p3＝0.6，且每局比赛相互独立．
（i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率；
（ii）求比赛结束时乙获胜的概率；
（2）若p1+p3＜1，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略．
【考点】概率的应用；事件的互为对立及对立事件；对立事件的概率关系及计算．
【答案】（1）（i）0.24；（ii）0.336；
（2）乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲．
【分析】（1）（i）计算第一局乙获胜的概率和第二局乙获胜的概率，相乘即可得结果．
（ii）考虑比赛结束时乙获胜的所有情况，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由事件概率的加法公式即可得结果．
（2）计算第一局乙对丙最终乙获胜的概率和第一局乙对甲最终乙获胜的概率，结合条件作差比较大小即可得到结果．
【解答】解：（1）（i）根据题意，甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为p3．且p1＝p2＝p3＝0.6，
设乙连胜两局获得最终胜利为事件M，
则P（M）＝（1﹣0.6）×0.6＝0.24．
（ii）根据题意，设比赛结束时乙获胜为事件N，
则P（N）＝（1﹣p1）p3+（1﹣p1）（1﹣p3）p2（1﹣p1）+p1（1﹣p2）p3（1﹣p1）
＝0.4×0.6+0.4×0.4×0.6×0.4+0.6×0.4×0.6×0.4＝0.336，
（2）设事件A为“第一局乙对丙最终乙获胜”，B为“第一局乙对甲最终乙获胜”，
第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜；
第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜；
第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜，
故P（A）＝p3（1﹣p1）+p3p1（1﹣p2）p3+（1﹣p3）p2（1﹣p1）p3；
同理可得P（B）＝（1﹣p1）p3+（1﹣p1）（1﹣p3）p2（1﹣p1）+p1（1﹣p2）p3（1﹣p1）；
P（A）﹣P（B）
＝[p3p1（1﹣p2）p3﹣p1（1﹣p2）p3（1﹣p1）]+[（1﹣p3）p2（1﹣p1）p3﹣（1﹣p1）（1﹣p3）p2（1﹣p1）]
＝（p1+p3﹣1）p1（1﹣p2）p3+（p1+p3﹣1）（1﹣p3）p2（1﹣p1）
＝（p1+p3﹣1）[p1（1﹣p2）p3+（1﹣p3）p2（1﹣p1）]，
由于p1+p3＜1，故P（A）﹣P（B）＜0，
所以P（B）＞P（A），故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲．
【点评】本题考查概率的应用，涉及相互独立事件、互斥事件的概率计算，属于中档题．
20．（15分）如图1，在抛物线y＝x2（x＞0）上任选一动点P（x0，y0），可认为其纵坐标为以x0为边长的正方形PP′LK的面积，由此将抛物线y＝x2下阴影部分的面积转化为四棱锥O﹣PP′LK的体积，得，称其为抛物线的“三分之一”原则．
（1）如图3，在拟柱体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，，点E到底面ABCD的距离为2，试利用抛物线的“三分之一”原则求拟柱体ABCDEF的体积V；
（2）已知类似于圆锥的空间几何体Ω具有圆锥的一切对称性，且其顶点为O，底面为π，高为H，将Ω置于空间直角坐标系Oxyz中，使其顶点与坐标原点重合，π与平面xOy平行且π上任意一点坐标均可表示为（x0，y0，H）．若用任一平行于平面xOy的平面D′截Ω所得的截面的面积与D′到平面xOy的距离h有关系：S＝4πh，h∈[0，H]．设Ω被平面yOz所截得曲线为C，
（i）求Ω的体积V关于h的表达式及C在平面yOz中的方程；
（ii）在平面yOz中，过点P（﹣2，1）作两条互相垂直的弦PA，PB，分别交C于A，B两点，A，B都在第一象限内且A在B的右侧，AO，BO分别交z＝﹣2于M，N两点．设△MON的面积为S1，△AOB的面积为S2，当B点的横坐标时，求的最大值．
【考点】棱锥的体积．
【答案】（1）．
（2）（i）；（ii）的最大值为．
【分析】从主题干中对抛物线下面积的转化，不难发现：
推广到任意几何体，都有V＝S，其中S为该几何体横截面积与高所成的函数f（h）在坐标系hOS中与h轴正半轴所围成的图形面积（在定义域限制内），由此推论能够解决（1）和（2）的第一问；
对于（2）的第二问，考生首先要对“过定点”这一问题具有敏感性，能够迅速识别出直线AB恒过定点；其次，要善于转化面积的比值为f（xAxB），再利用定点转化为飘带型函数，得到极值．
【解答】解：（1）在抛物线y＝x2（x＞0）上任选一动点P（x0，y0），
可认为其纵坐标为以x0为边长的正方形PP′LK的面积，
由此将抛物线y＝x2下阴影部分的面积转化为四棱锥O﹣PP′LK的体积，
得，称其为抛物线的“三分之一”原则，
在拟柱体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，
，点E到底面ABCD的距离为2，
如图，用平行于底面的平面π截拟柱体ABCDEF得矩形A′B′C′D′，
设点E到π的距离为h，
由相似的基本定理得矩形A′B′C′D′面积S＝h（h+2），
建立如图的平面直角坐标系hOS，
由主题干信息得，拟柱体ABCDEF的体积V即函数S＝h（h+2）
与h轴正半轴所围成的阴影部分面积，
由抛物线的“三分之一”原则：，
即拟柱体ABCDEF的体积；
（2）用任一平行于平面xOy的平面D′截Ω所得的截面的面积与D′到平面xOy的距离h有关系：
S＝4πh，h∈[0，H]．设Ω被平面yOz所截得曲线为C，
（i）由主题干信息得，类锥体Ω的体积即底面π的面积S与h轴正半轴所围成的阴影部分面积，
又S与h有关系S＝4πh，
∴Ω的体积V关于h的表达式为；
∵Ω具有圆锥的一切对称性，
∴其底面π为圆，
又S＝4πh，得其半径，
由几何体的空间位置，可建立h与r得关系：r2＝4h，
即C在平面yOz中的方程为：y2＝4z；
（ii）在平面yOz中，过点P（﹣2，1）作两条互相垂直的弦PA，PB，分别交C于A，B两点，
A，B都在第一象限内且A在B的右侧，AO，BO分别交z＝﹣2于M，N两点．
设△MON的面积为S1，△AOB的面积为S2，
设A（yA，zA），B（yB，zB），AB：z＝ky+m，
由PA⊥PB得①
联立直线与抛物线②
由①②得（m﹣3）2＝（2k﹣2）2，
即m＝2k+1（舍）或m＝4﹣2k，
∴AB恒过定点（2，5），
改写AB为（yA+yB）y＝4z+yAyB，
代入（2，5）得2（yA+yB）＝20+yAyB，
即③
易得，④
∴
由③④得，
令，
则有，
其中，
对于函数，当时，有如下图像：
∴，
所以，
即的最大值为．
【点评】本题基于微积分基本定义的背景，以抛物线的“三分之一”原则引出推论，对不规则几何体的体积求法加以拓展，巧妙的考查了考生的理解能力，计算能力和综合运用能力．
考点卡片
1．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
2．球外切几何体
【知识点的认识】
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球．
【解题方法点拨】
研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系．
正方体的内切球，切点是各个面的中心，球心是正方体的中心，球的直径等于正方体棱长．
如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体．
正六面体的内切球：正六面体的内切球是一个以正六面体的中心为球心的球，它与正六面体的所有面都相切，且半径等于正六面体边长的一半乘以．
【命题方向】
内切球是近几年高考的热门考点，要求考生有足够的空间想象能力．部分空间能力比较薄弱的考生，可以熟记常见的内切球模型结论，或许在考场上能有帮助．内切球常见的解决方法是等体积法求球的半径，常见的题型以选择压轴，填空压轴为主．
3．棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
【命题方向】
﹣棱锥的体积计算：考查如何根据底面面积和高度计算棱锥的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用棱锥体积计算．
4．球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
【命题方向】
﹣球的表面积计算：考查如何根据球的半径计算表面积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用球的表面积计算．
5．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
6．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
7．空间向量法求解二面角及两平面的夹角
【知识点的认识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，
此时csθ＝cs＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞＜π时，θ＝π﹣＜，＞，
csθ＝﹣cs＜，＞＝﹣．
【解题方法点拨】
﹣数量积和模：使用向量数量积和模计算夹角，应用反余弦函数得到结果．
【命题方向】
﹣向量法计算：考查如何使用空间向量法计算两平面之间的夹角．
8．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
9．空间中点到平面的距离
【知识点的认识】
﹣点到平面的距离：点P（x1，y1，z1）到平面Ax+By+Cz+D＝0（平面的法向量为（A，B，C））的距离为：
【解题方法点拨】
﹣计算距离：代入点和平面的系数，使用公式计算距离．
【命题方向】
﹣距离计算：考查如何计算点到平面的距离．
10．空间向量语言表述线面的垂直、平行关系
【知识点的认识】
1．直线与平面平行
（1）已知两个非零向量和与α共面，直线l的一个方向向量为，则由共面向量定理可以得：
l∥α或l在α内⇔存在两个有序实数（x，y）使
（2）由共面向量定理还可以得，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对有序实数（x，y）使向量表达式成立．
2．线面垂直：
（1）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥⇔＝k；
（2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直．
11．直线的倾斜角
【知识点的认识】
1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°）
3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度．
4．斜率与倾斜角的区别和联系
（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．
②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．
（2）联系：①当a≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；
②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大．
【解题方法点拨】
直线的倾斜角常结合直线的斜率进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．
【命题方向】
（1）直接根据直线斜率求倾斜角
例：直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．
解答：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：﹣，
直线的倾斜角为：α．
所以tanα＝﹣，
α＝120°
故选C．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．
（2）通过条件转换求直线倾斜角
例：若直线经过A（0，1），B（3，4）两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B.45° C．60° D．120°
分析：由直线经过A（0，1），B（3，4）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．
解答：∵直线经过A（0，1），B（3，4）两点，
∴直线AB的斜率k＝＝1，
∴直线AB的倾斜角α＝45°．
故选B．
点评：本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
12．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的认识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
13．与直线有关的动点轨迹方程
【知识点的认识】
﹣动点轨迹：动点P（x，y）满足一定条件（如到定点距离等于常数）的轨迹方程．常见轨迹包括直线、圆等．
【解题方法点拨】
﹣求轨迹方程：
1．分析条件：将动点的条件转化为方程．
2．转换方程：将几何条件转化为坐标方程，如点到直线的距离或点到点的距离等于常数．
3．求解方程：通过代数方法或几何方法得到轨迹方程．
【命题方向】
﹣动点轨迹：考查如何从动点条件推导出轨迹方程，常涉及几何图形的方程构建．
14．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是 （x﹣3）2+（y+2）2＝5
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
15．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
16．椭圆的焦点弦及焦半径
【知识点的认识】
焦点弦是通过椭圆的焦点并且与椭圆交于两点的弦．焦半径是焦点到椭圆上某点的距离．
【解题方法点拨】
1．计算焦点弦长度：焦点弦的长度与焦点到弦中点的距离有关．
2．应用焦半径公式：利用焦点和椭圆的标准方程计算焦半径．
【命题方向】
﹣给定焦点和弦所在直线，计算焦点弦长度．
﹣分析焦点弦的性质及其计算方法．
17．双曲线的定义
【知识点的认识】
双曲线（Hyperbla）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（fcus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
标准方程
①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线；
②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线．
性质
这里的性质以（a，b＞0）为例讲解：
①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e＝＞1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|．
【解题方法点拨】
例1：双曲线﹣＝1的渐近线方程为
解：由﹣＝0可得y＝±2x，即双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．
例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，
设双曲线方程为﹣y2＝λ（λ≠0），
∵双曲线过点P（4，3），
∴﹣32＝λ，即λ＝﹣5．
∴所求双曲线方程为﹣y2＝﹣5，
即：﹣＝1．
一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．
【命题方向】
这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．
18．由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数
【知识点的认识】
已知双曲线的渐近线方程可以确定a和b，从而得到双曲线的标准方程．
【解题方法点拨】
1．计算a和b：由渐近线方程的斜率计算．
2．代入标准方程：得到双曲线的标准方程．
【命题方向】
﹣给定渐近线方程，求解双曲线的标准方程或参数．
﹣利用渐近线方程计算标准方程．
19．双曲线的离心率
【知识点的认识】
双曲线的标准方程及几何性质
20．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【解题方法点拨】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
21．事件的互为对立及对立事件
【知识点的认识】
﹣对立事件：事件A的对立事件是指A不发生的情况，记作．
﹣互为对立：如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，两个事件A和B互为对立当且仅当和．
【解题方法点拨】
﹣使用对立事件的概率关系来计算对立事件的概率．
﹣判断两个事件是否互为对立，通常检查它们的并集是否为样本空间，交集是否为空．
【命题方向】
﹣主要考察对立事件的概率计算及事件的补集概念．
22．对立事件的概率关系及计算
【知识点的认识】
﹣对立事件的概率关系是．
【解题方法点拨】
﹣利用对立事件的公式计算对立事件的概率．
【命题方向】
﹣主要考察对立事件概率计算的问题，适用于概率计算的补集部分．
23．概率的应用
【知识点的认识】
概率相关知识梳理：
一、古典概型与互斥事件
1．频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值．
2．古典概率计算公式：P（A）＝．
集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I，事件A包含的事件数构成集合A，则．
3．古典概型的特征：（1）每次试验的结果只有一个基本事件出现；（2）试验结果具有有限性；（3）试验结果出现等可能性．
4．互斥事件概率
（1）互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A，B称为互斥事件．
（2）互为事件概率计算公式：若事件A，B互斥，则P（A+B）＝P（A）+P（B）．
（3）对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A，B不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件．记作：B＝，由对立事件定义知：P（A）＝1﹣P（）
（4）互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立．
用集合的观点分析对立事件与互斥事件：
设两个互斥事件A，B包含的所有结果构成集合A，B，则A∩B＝∅（如图所示）
设两个对立事件A，包含的所有结果构成的集合为A，，A∩＝∅，A∪＝I，
则
注：若A1，A2，…，An任意两个事件互斥，
则：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
二、几何概型
几何概型定义：向平面有限区域（集合）G内投掷点M，若点M落在子区域G1⊆G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型．
几何概型计算公式：
几何概型的特征：（1）试验的结果有无限个（无限性）；（2）试验的结果出现等可能性．
注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等．
三、条件概率与独立事件
1．条件概率的定义：对于任何两个事件A，B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为P（A|B）．类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率，记为P（B|A）．
2．把事件A，B同时发生所构成的事件D，称为事件A，B的交（或积），记为：A∩B＝D或D＝AB．
3．条件概率计算公式：P（A|B）＝（P（B）＞0），P（B|A）＝（P（A）＞0），
注：
（1）事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的．
（2）对于两个事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率．
此时事件A，B是相互独立的两个事件，即有P（A|B）＝P（A）＝（P（B）＞0⇒P（AB）＝P（A）P（B）．
故当两个事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），则事件A，B相互独立，同时A与，与B，与也相互独立．
四、二项分布、超几何分布、正态分布
1．二项分布：
（1）n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立．
n次独立重复试验的特征：
①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变；
②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生．
（2）二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为，若随机变量由此式确定，则X服从参数n，p的二项分布，记作：X～B（n，p）．
2．超几何分布
超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品（M≤N），从N件产品中任取n件产品，用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则，（k为非负整数），若随机变量由此式确定，则X服从参数N，M，k的超几何分布，记作X～H（N，M，n）
注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N，M，k的含义．随机变量X取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商．
3．正态分布：
（1）正态曲线：函数f（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）若随机变量X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2．
五、离散型随机变量的分布列，期望，方差．
1、概念：
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
4、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
5、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
【解题方法点拨】
概率和离散型随机变量知识是新课标高考的重点内容之一，重点考查古典概率、几何概率、离散型随机变量的分布列及性质等内容，对于基础知识考查以选择题、填空题为主．考查的内容相对简单，即掌握住基础知识就能解决此类问题．对于综合性知识的考查主要是把概率、随机变量的分布列性质、离散型随机变量的均值、方差等内容综合在一起解决实际问题，多以大题的形式出现．题目的难度在中等以上水平，解决此类问题的关键是正确理解离散型随机变量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二项分布、超几何分布等），便于求出分布列，进而求出均值与方差．利用均值、方差的含义去分析问题，这也是新课标高考命题的方向．
【命题方向】
题型一：概率的计算
典例1：已知函数y＝（0≤x≤4）的值域为A，不等式x2﹣x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞b的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a为横坐标，b为纵坐标，建立平面直角坐标系，则围成的区域面积为2，使得a＞b的区域面积为2﹣，故所求概率为．
故选D
题型二：离散型随机变量的分布列、均值、方差
典例2：在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐．已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ．求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．（结果用分数表示）
解：（I）设命中油罐的次数为X，则当X＝0或X＝1时，油罐不能被引爆．
，
，
∴
（II）射击次数ξ的取值为2，3，4，5．
，
，
，
P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）
＝．
因此，ξ的分布列为：
∴
24．相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
【解题方法点拨】
﹣应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性．
【命题方向】
﹣重点考察独立事件的概率计算及独立性证明．
25．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的认识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ， σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为﹣．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ， σ（x）＝，x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
【命题方向】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）＝，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝ ．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有＝μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
26．排列组合的综合应用
【知识点的认识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
27．二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为，其中为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参数．
【命题方向】
﹣可能要求考生直接求解二项展开式中某一特定项的系数或幂次，或分析展开式中的通项规律．
﹣命题可能涉及二项式定理在不完全展开中的应用，要求考生逆向推导或分析已知条件．
28．进位制
【知识点的认识】
进位制/位置计数法是一种记数方式，故亦称进位记数法/位值计数法，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数或底数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0﹣9进行记数．
对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示．比如：十进数57（10），可以用二进制表示为111001（2），也可以用五进制表示为212（5），也可以用八进制表示为71（8）、用十六进制表示为39（16），它们所代表的数值都是一样的．
数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法．计算机是信息处理的工具，任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理，存储和传输．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/11 15:26:49；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
B
D
C
B
D
D
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性
质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

x 1
x 2
…
xn
…
P
p 1
p 2
…
pn
…
ξ
2
3
4
5
P