2025高考数学一轮复习-9.9-求值与证明问题-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-9.9-求值与证明问题-专项训练【含答案】，共6页。
1．已知抛物线P：y2＝2px(p＞0)上的点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，a))到其焦点的距离为1.
(1)求p和a的值；
(2)直线l：y＝x＋m交抛物线P于A，B两点，线段AB的垂直平分线交抛物线P于C，D两点，求证：A，B，C，D四点共圆．
2．已知椭圆C： eq \f(y2,a2)＋ eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，F为上焦点，左顶点P到F的距离为 eq \r(2)，且离心率为 eq \f(\r(2),2)，设O为坐标原点，点M的坐标为(0，2).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过F的直线l与C交于A，B两点，证明：∠OMA＝∠OMB.
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点M与焦点F的距离为9，点M到x轴的距离为4 eq \r(p).
(1)求抛物线C的方程；
(2)经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，E为直线x＝－1上任意一点，证明：直线EA，EF，EB的斜率成等差数列．
2．已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的离心率为 eq \r(2)，直线l1：y＝2x＋4 eq \r(3)与双曲线C仅有一个公共点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设双曲线C的左顶点为A，直线l2平行于l1，且交双曲线C于M，N两点，求证：△AMN的垂心在双曲线C上．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．(1)解：y2＝2px的准线方程为x＝－ eq \f(p,2)，
因为点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，a))到抛物线焦点的距离等于该点到准线的距离，所以 eq \f(p,2)＋ eq \f(3,4)＝1，故p＝ eq \f(1,2)，即y2＝x.
又点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，a))在抛物线y2＝x上，
所以a＝± eq \f(\r(3),2).
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝x，,y＝x＋m，))得y2－y＋m＝0，
则Δ1＝1－4m＞0，y1＋y2＝1，y1·y2＝m，
则|AB|＝ eq \r(1＋1)|y1－y2|＝ eq \r(2－8m)，
且线段AB中点的纵坐标为 eq \f(y1＋y2,2)＝ eq \f(1,2)，则其横坐标为 eq \f(1,2)－m，所以线段AB的中点为M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－m，\f(1,2))).
因为直线CD为线段AB的垂直平分线，
所以直线CD的方程为y＝－x＋1－m.
联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝x，,y＝－x＋1－m，))
得y2＋y＋m－1＝0，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则Δ2＝1－4(m－1)＝5－4m＞0，y3＋y4＝－1，y3·y4＝m－1，
故|CD|＝ eq \r(1＋1)|y3－y4|＝ eq \r(10－8m)，
线段CD的中点为N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)－m，－\f(1,2))).
因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|CD|)) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,4)(10－8m)＝ eq \f(5－4m,2)，
|AN|2＝|AM|2＋|MN|2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\r(2－8m))) eq \s\up12(2)＋2＝ eq \f(5－4m,2)，
所以|AN|＝ eq \f(1,2)|CD|，
所以点A在以CD为直径的圆上，
同理点B也在以CD为直径的圆上，
所以A，B，C，D四点共圆．
2．(1)解：由左顶点P到上焦点F的距离为 eq \r(2)，可得a＝ eq \r(2).又e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(\r(2),2)，∴c＝1，从而b＝1.
∴椭圆C的标准方程为 eq \f(y2,2)＋x2＝1.
(2)证明：当l与y轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，
当l与y轴不重合时，设l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MA，MB的斜率kMA，kMB之和为kMA＋kMB＝ eq \f(y1－2,x1)＋ eq \f(y2－2,x2).
又∵y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，∴kMA＋kMB＝2k－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))＝2k－ eq \f(x1＋x2,x1x2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(y2,2)＋x2＝1，))
消去y整理可得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，
∴x1＋x2＝－ eq \f(2k,2＋k2)，x1x2＝－ eq \f(1,2＋k2)，
∴2k－ eq \f(x1＋x2,x1x2)＝2k－2k＝0，从而kMA＋kMB＝0，
故直线MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
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1．(1)解：设点M(x0，y0)，由题意可知|y0|＝4 eq \r(p)，
所以(4 eq \r(p))2＝2px0，解得x0＝8.
因为|MF|＝x0＋ eq \f(p,2)＝8＋ eq \f(p,2)＝9，所以p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：设直线AB的方程为x＝my＋1，A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,1),4)，y1))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,2),4)，y2))，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝my＋1，))消去x得y2－4my－4＝0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
设E(－1，n)，则kEA＋kEB＝ eq \f(y1－n,\f(y eq \\al(2,1),4)＋1)＋ eq \f(y2－n,\f(y eq \\al(2,2),4)＋1)
＝ eq \f(\f(y1y2,4)(y1＋y2)＋(y1＋y2)－n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,1),4)＋\f(y eq \\al(2,2),4)))－2n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,1),4)＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,2),4)＋1)))
＝ eq \f(－n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y eq \\al(2,1),4)＋\f(y eq \\al(2,2),4)＋2)),\f(y eq \\al(2,1),4)＋\f(y eq \\al(2,2),4)＋2)＝－n.又因为kEF＝－ eq \f(n,2)，所以kEA＋kEB＝2kEF，
即直线EA，EF，EB的斜率成等差数列．
2．(1)解：因为双曲线C的离心率为 eq \r(2)，
所以 eq \f(c,a)＝ eq \r(2)，即 eq \f(a2＋b2,a2)＝2，即a2＝b2，
所以双曲线C的方程为x2－y2＝a2，
联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋4\r(3)，,x2－y2＝a2，))消去y整理得3x2＋16 eq \r(3)x＋a2＋48＝0.
因为l1与双曲线C仅有一个公共点，
所以Δ＝(16 eq \r(3))2－12(a2＋48)＝0，解得a2＝16，
故双曲线C的方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,16)＝1.
(2)证明：设l2：y＝2x＋m(m≠4 eq \r(3))，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m，,x2－y2＝16，))
消去y得3x2＋4mx＋m2＋16＝0，
所以x1＋x2＝－ eq \f(4,3)m，x1x2＝ eq \f(m2＋16,3).
如图所示，过A作MN的垂线交C于另一点H，
则AH的方程为y＝－ eq \f(1,2)x－2，
代入x2－y2＝16得3x2－8x－80＝0，解得x＝－4(舍去)或x＝ eq \f(20,3).所以点H的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)，－\f(16,3))).
连接HM并延长，所以kAN·kMH＝ eq \f(y2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y1＋\f(16,3))),(x2＋4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1－\f(20,3))))
＝ eq \f(3(2x1＋m)(2x2＋m)＋16(2x2＋m),(3x1－20)(x2＋4))
＝ eq \f(12x1x2＋6m(x1＋x2)＋32x2＋3m2＋16m,3x1x2＋12(x1＋x2)－32x2－80)
＝ eq \f(4(m2＋16)－8m2＋3m2＋16m＋32x2,m2＋16－16m－32x2－80)
＝ eq \f(－m2＋16m＋32x2＋64,m2－16m－32x2－64)＝－1，所以MH⊥AN，
故△AMN的垂心在双曲线C上，得△AMN的垂心在双曲线C上．