2025年高考数学一轮复习-9.9-直线与圆锥曲线-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.9-直线与圆锥曲线-专项训练【含解析】，共10页。试卷主要包含了 已知抛物线C， 已知双曲线C， 已知F是抛物线C， 已知椭圆C， 已知四边形ABCD为椭圆E等内容，欢迎下载使用。
1. 若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，则过点Pm,n的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为（ ）.
A. 0或1B. 2C. 1D. 0
2. 已知抛物线C：y2=8x的准线为l，l与x轴交于点P，直线x=1与抛物线C交于A，B两点，则△PAB的面积为（ ）.
A. 42B. 62C. 82D. 122
3. 若过点M2,4作直线l与抛物线y2=8x只有一个公共点，则这样的直线有（ ）.
A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条
4. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为4,1，则双曲线C的离心率e=（ ）.
A. 2B. 103C. 52D. 3
5. 已知F是抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，M是抛物线C上一点，MF的延长线交y轴于点N.若MF:NF=2:1，NF=2，则抛物线C的方程为（ ）.
A. y2=xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x
6. 已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则AB=（ ）.
A. 247B. 127C. 1227D. 837
7. 已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，若直线x=4与C交于A，B两点，且AB=8，则AF=（ ）.
A. 3B. 4C. 5D. 6
8. （改编）已知四边形ABCD为椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的内接矩形，其中点A,B关于x轴对称，点P满足AB=4AP，直线CP交椭圆E于点Q(异于点C)，且AC⋅AQ=0，则椭圆E的离心率为（ ）.
A. 12B. 33C. 22D. 66
综合提升练
9. （多选题）已知点M−2,0，N2,0，若某直线上存在点P，使得PM−PN=2，则称该直线为“好直线”.下列直线为“好直线”的是（ ）.
A. x+y=0B. x−y−3=0C. 2x+y+3=0D. 2x+y−3=0
10. （多选题）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F到准线l的距离为2，则（ ）.
A. 焦点F的坐标为1,0
B. 过点A−1,0恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C. 直线x+y−1=0与抛物线C相交所得的弦长为8
D. 抛物线C与圆x2+y2=5交于M,N两点，则MN=4
11. 若双曲线x2−y23=1上存在两个点关于直线l：y=kx+4k>0对称，则实数k的取值范围为____________.
12. 已知M是椭圆C：x24+y23=1上异于顶点的动点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，E为MF1的中点，∠F1MF2的平分线与直线EO交于点P，则四边形MF1PF2的面积的最大值为__________
应用情境练
13. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图的内外两圈的钢骨架是离心率相同的两个椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于−916，则椭圆的离心率为__________
14. 与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形都有三个旁心，如图1所示.已知F1，F2分别是双曲线x29−y216=1的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，Q是△PF1F2的一个旁心，如图2所示，直线PQ与x轴交于点M，则MQPQ=__________
创新拓展练
15. 已知离心率为22的椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与直线y=kx的两个交点分别为A，B，P是椭圆上不同于A,B的一点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α ，β ，若α+β=120∘ ，则csα−β=__________
16.(2024·九省适应性测试)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点,过F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中B,D在x轴上方,M,N分别为AB,DE的中点.
(1)证明:直线MN过定点.
(2)设G为直线AE与直线BD的交点,求△GMN面积的最小值.
9.9-直线与圆锥曲线-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点，则过点Pm,n的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为（ B ）.
A. 0或1B. 2C. 1D. 0
[解析]由题意得−4m2+n2>2，则m2+n20,b>0与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为4,1，则双曲线C的离心率e=（ C ）.
A. 2B. 103C. 52D. 3
[解析]设Ax1,y1,Bx2,y2，则x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1，
所以x2+x1x2−x1a2−y2+y1y2−y1b2=0.
又线段AB 的中点为4,1，
所以x1+x2=8,y1+y2=2，所以y2−y1x2−x1=4b2a2.由题意知y2−y1x2−x1=1，
所以4b2a2=1，即b2a2=14，则双曲线C 的离心率e=1+b2a2=52.
故选C.
5. 已知F是抛物线C：y2=2pxp>0的焦点，M是抛物线C上一点，MF的延长线交y轴于点N.若MF:NF=2:1，NF=2，则抛物线C的方程为（ B ）.
A. y2=xB. y2=4xC. y2=8xD. y2=16x
[解析]由抛物线C：y2=2pxp>0，可得焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2.
作MA 垂直y 轴于点A（图略），因为MF:NF=2:1，NF=2，所以F 为线段MN 的三等分点，且MF=2NF=4，由△NFO∼△NMA，得OFMA=NFNM=13，即MA=3OF=3p2，所以MF=3p2+p2=2p=4，所以抛物线C 的方程为y2=4x.故选B.
6. 已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，则AB=（ A ）.
A. 247B. 127C. 1227D. 837
[解析]设直线AB 的方程为y=x−1，代入椭圆C 的方程x24+y23=1，
整理可得7x2−8x−8=0，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1+x2=87，x1x2=−87，根据弦长公式有AB=1+k2⋅x1+x22−4x1x2=247.故选A.
7. 已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，若直线x=4与C交于A，B两点，且AB=8，则AF=（ C ）.
A. 3B. 4C. 5D. 6
[解析]将x=4 代入抛物线C 的方程y2=2pxp>0，解得y=22p，所以AB=42p=8，解得p=2，
由抛物线的定义可得AF=p2+4=5.故选C.
8. （改编）已知四边形ABCD为椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的内接矩形，其中点A,B关于x轴对称，点P满足AB=4AP，直线CP交椭圆E于点Q(异于点C)，且AC⋅AQ=0，则椭圆E的离心率为（ A ）.
A. 12B. 33C. 22D. 66
[解析]如图所示，设Am,n，因为四边形ABCD 为矩形，点A,B关于x 轴对称，所以Bm,−n，C−m,−n，则AB=0,−2n.
由AB=4AP，可得P(m,n2).
设Qx0,y0，因为点A,Q在椭圆上，所以m2a2+n2b2=1, x02a2+y02b2=1, 两式相减，整理可得y02−n2x02−m2=−b2a2，所以kAQkCQ=y0−nx0−m⋅y0+nx0+m=y02−n2x02−m2=−b2a2.
因为kCQ=kCP=12n−−nm−−m=3n4m，所以kAQ=−4mb23na2.
因为AC⋅AQ=0，所以AC⊥AQ，即kACkAQ=−1.
因为kAC=2n2m=nm，所以−4mb23na2⋅nm=−1，即b2a2=34，所以椭圆E 的离心率e=ca=1−b2a2=12.故选A.
综合提升练
9. （多选题）已知点M−2,0，N2,0，若某直线上存在点P，使得PM−PN=2，则称该直线为“好直线”.下列直线为“好直线”的是（ BD ）.
A. x+y=0B. x−y−3=0C. 2x+y+3=0D. 2x+y−3=0
[解析]因为M−2,0，N2,0，PM−PN=20，且x1+x2=−4, x1x2=103,
故直线2x+y+3=0 与双曲线x2−y2=1 的左支有两个交点，与右支没有交点，故2x+y+3=0 不是“好直线”；
对于D，联立2x+y−3=0, x2−y2=1, 消去y 并整理得3x2−12x+10=0，Δ=−122−4×3×10>0，且x1+x2=4, x1x2=103,
故直线2x+y−3=0 与双曲线x2−y2=1 的右支有两个交点，故2x+y−3=0 是“好直线”.故选BD.
10. （多选题）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F到准线l的距离为2，则（ ACD ）.
A. 焦点F的坐标为1,0
B. 过点A−1,0恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C. 直线x+y−1=0与抛物线C相交所得的弦长为8
D. 抛物线C与圆x2+y2=5交于M,N两点，则MN=4
[解析]由题意知抛物线C 的方程为y2=4x，
对于A，焦点F 的坐标为1,0，故A 正确；
对于B，过点A−1,0 有2条直线与抛物线相切，还有直线y=0，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B 错误；
对于C，由x+y−1=0, y2=4x, 得y2+4y−4=0，
弦长为2y1−y2=2y1+y22−4y1y2=2×16+16=8，故C 正确;
对于D，由x2+y2=5, y2=4x, 得x2+4x−5=0，解得x=1 或x=−5（舍去），交点为1,2 或1,−2，则MN=4，故D 正确.故选ACD.
11. 若双曲线x2−y23=1上存在两个点关于直线l：y=kx+4k>0对称，则实数k的取值范围为(0,12)∪(33,+∞).
[解析]依题意，设双曲线上两点Ax1,y1，Bx2,y2，
若点A,B关于直线l：y=kx+4k>0 对称，
则设直线AB 的方程为x=−ky+n，代入双曲线的方程x2−y23=1，化简得3k2−1y2−6kny+3n2−3=0，
则Δ=36k2n2−43k2−13n2−3>0，且3k2−1≠0，解得3k2−1+n2>0，且3k2−1≠0.
又y1+y2=6kn3k2−1，设线段AB 的中点Dx0,y0，
所以y0=y1+y22=3kn3k2−1，x0=−ky0+n=−n3k2−1.
因为线段AB 的中点D 在直线l：y=kx+4k>0 上，
所以3kn3k2−1=k⋅−n3k2−1+4，所以nk=3k2−1，又3k2−1≠0，
所以nk≠0，即k≠0,n≠0，所以n=3k2−1k，
所以3k2−1+3k2−1k2>0，整理得3k2−14k2−1>0，
又k>0,所以0b>0，由内外层椭圆的离心率相同，可设外层椭圆的方程为x2ma2+y2mb2=1m>1，
∴A−ma,0,B0,mb.设切线AC 的方程为y=k1x+ma，切线BD 的方程为y=k2x+mb，
∴y=k1x+ma, x2a2+y2b2=1, 整理得a2k12+b2x2+2ma3k12x+m2a4k12−a2b2=0，∵ 直线AC 与椭圆相切，
∴Δ=0，知2ma3k122−4a2k12+b2m2a4k12−a2b2=0，
整理得k12=b2a2⋅1m2−1，同理可得，k22=b2a2⋅m2−1，
∴k1k22=b4a4=−9162，即b2a2=916，故e=1−b2a2=74.
14. 与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形都有三个旁心，如图1所示.已知F1，F2分别是双曲线x29−y216=1的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，Q是△PF1F2的一个旁心，如图2所示，直线PQ与x轴交于点M，则MQPQ=53 .
[解析]在双曲线x29−y216=1 中，a2=9，b2=16，所以a=3，b=4，所以c=a2+b2=5，由三角形的旁心的定义，可知F1Q,F2Q分别平分∠PF1M,∠PF2M.
在△PF1Q 中，由正弦定理可得PF1sin∠PQF1=PQsin∠PF1Q.
在△MF1Q 中，由正弦定理可得MF1sin∠MQF1=MQsin∠MF1Q.
因为∠PQF1+∠MQF1=π ,∠PF1Q=∠MF1Q，
所以sin∠PQF1=sin∠MQF1,sin∠PF1Q=sin∠MF1Q，
所以MQPQ=MF1PF1.
同理，可得MQPQ=MF2PF2，
所以MQPQ=MF2PF2=MF1PF1=MF1−MF2PF1−PF2=2c2a=e.
又因为e=ca=53，所以MQPQ=53.
创新拓展练
15. 已知离心率为22的椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与直线y=kx的两个交点分别为A，B，P是椭圆上不同于A,B的一点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α ，β ，若α+β=120∘ ，则csα−β=−16 .
[解析]设Px0,y0，Ax1,y1，B−x1,−y1，
∴x02a2+y02b2=1，x12a2+y12b2=1，两式相减整理得y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=−b2a2，即kPAkPB=−b2a2=−12，tan αtan β=−12.
∵csα+βcsα−β=cs αcs β−sin αsin βcs αcs β+sin αsin β=1−tan αtan β1+tan αtan β=3，
∴csα−β=−16.
16.(2024·九省适应性测试)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点,过F与l垂直的直线交C于D,E两点,其中B,D在x轴上方,M,N分别为AB,DE的中点.
(1)证明:直线MN过定点.
(2)设G为直线AE与直线BD的交点,求△GMN面积的最小值.
[解析] (1)由C:y2=4x,得F(1,0),由直线AB与直线DE垂直,
故两条直线的斜率都存在且不为0,
设直线AB,DE的方程分别为x=m1y+1,x=m2y+1,则m1m2=-1,
设A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4),
联立y2=4x,x=m1y+1,
消去x可得y2-4m1y-4=0,Δ=16m12+16>0,
故y1+y2=4m1,y1y2=-4,
则x1+x2=m1y1+1+m1y2+1=m1(y1+y2)+2=4m12+2,
故x1+x22=2m12+1,y1+y22=2m1,
即M(2m12+1,2m1),同理可得N(2m22+1,2m2).
当2m12+1≠2m22+1时,
则lMN:y=2m2-2m12m22+1-(2m12+1)(x-2m12-1)+2m1,
即y=m2-m1m22-m12(x-2m12-1)+2m1=xm2+m1-2m12+1m2+m1+2m1(m2+m1)m2+m1=xm2+m1-1-2m1m2m2+m1,
由m1m2=-1,得y=xm2+m1-1+2m2+m1=1m2+m1(x-3),
故当x=3时,y=1m2+m1(3-3)=0,
此时直线MN过定点,且该定点为(3,0);
当2m12+1=2m22+1,即m12=m22时,由m1m2=-1,得m1=1,m2=-1或m1=-1,m2=1,
则x1+x22=3,x3+x42=3,故lMN:x=3,亦过定点(3,0).
故直线MN过定点,且该定点为(3,0).
(2)由A(x1,y1),B(x2,y2),E(x3,y3),D(x4,y4),
得lAE:y=y3-y1x3-x1(x-x1)+y1,由y12=4x1,y32=4x3,
得y=y3-y1y324-y124x-y124+y1=4xy3+y1-y12y3+y1+y12+y1y3y3+y1=4xy3+y1+y1y3y3+y1,
同理可得lBD:y=4xy4+y2+y2y4y4+y2,联立y=4xy3+y1+y1y3y3+y1,y=4xy4+y2+y2y4y4+y2,
则4xy3+y1+y1y3y3+y1=4xy4+y2+y2y4y4+y2,
即4x(y4+y2)+y1y3(y4+y2)=4x(y3+y1)+y2y4(y3+y1),
则x=y2y4(y3+y1)-y1y3(y4+y2)4(y4+y2-y3-y1),由y1y2=-4,y3y4=-4,
得x=y2y4(y3+y1)-y1y3(y4+y2)4(y4+y2-y3-y1)=y2y3y4+y1y2y4-y1y3y4-y1y2y34(y4+y2-y3-y1)
=-4(y2+y4-y1-y3)4(y4+y2-y3-y1)=-1,
故xG=-1,
如图,过点G作GQ∥x轴,交直线MN于点Q,则S△GMN=12|yM-yN|×|xQ-xG|,
由M(2m12+1,2m1),N(2m22+1,2m2),
得|yM-yN|=|2m1-2m2|=2|m1|+2|m1|≥22|m1|×2|m1|=4,
当且仅当|m1|=1时,等号成立.
下证|xQ-xG|≥4:
由抛物线的对称性,不妨设m1>0,则m21时,m2=-1m1∈(-1,0),则点G在x轴上方,点Q亦在x轴上方,
有1m2+m1=1m1-1m1>0,由直线MN过定点(3,0),
得|xQ-xG|>3-(-1)=4,
同理,当m1