中考数学一轮复习真题探究+变式训练专题32 几何图形中的最值问题（含隐圆）（2份，原卷版+解析版）

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最值问题一 阿氏圆问题
例1 （2020·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．
【答案】．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，
∴PA2＝AT•AB，
∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，
∴，
∴＝＝，
∴PT＝PB，
∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，
在Rt中，
∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，
∴PB+PC≥，
∴PB+PC的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
例2 （2019·山东·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为，理由详见解析.
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．
（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD＝AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝AP
∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.
模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
模型解读：
如图1所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r＝k·OB．连接 PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；
2：计算连接线段OP、OB长度；
3：计算两线段长度的比值；
4：在OB上截取一点C，使得构建母子型相似：
5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PA＋K*PB的最小值．
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OC＝k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB＝PC．
∴本题求“PA＋k·PB”的最小值转化为求“PA＋PC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值．
【变式1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
【答案】5
【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，
∴，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．
故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是________.
【答案】
【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4
∵AC=9，CD=6，CE=4
∴
∵∠ECD=∠ACD
∴△DCE∽△ACD
∴
∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB
∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB
∴
在Rt△ECB中，EB=
∴
∴2AD+3DB=
故答案为：．
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ___________．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．
【详解】解：作于，作于，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
当与相切时，取得最大和最小，
①连接，，，如图1所示：
可得：四边形是正方形，
，
在中，，
，
在中，，
，即；
②连接，，，如图2所示：
可得：四边形是正方形，
，
由上同理可知：在中，，
，
在中，，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
【变式4】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，
②，
③，
④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由，即可求出结果；
③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
②∵，
∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
④∵，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．
最值问题二 胡不归问题
例1 （2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
例2 （2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①点E在抛物线上；②P（0，−）
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为．
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（−3，0），B（0，−4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵，
∴，
∴，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴，
∴OP＝−3＝，
∴P（0，−）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键．
“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k＞0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．
当点P在直线上
如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．
过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．
由sin∠MBN＝k，可得QD＝ k·QB．
所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．
2． 当点P在圆上
如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．
在OB上取一点C，使得OC＝ k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

证明 如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ．
则OC＝ k·OQ，OQ＝ k·OB．
而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，
所以QC＝ k·QB．
所以QA＋ k·QB ＝QA＋QC≥AC，即得证．
【变式1】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．
【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，

，，，
，
，，
，
，
当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，
当，，三点共线时，有最小值，
此时，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．
【变式2】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
【答案】5
【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，
∴DG＝，
∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，
∴＝＝，
∴∠GDI＝∠CDG，
∴△GDI∽△CDG，
∴＝，
∴IG＝，
∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，
∴BI＝5，
故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．
【变式3】（2021春·全国·九年级专题练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ___．
【答案】5
【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cs∠ACB＝，cs∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，
∴△BCP∽△ACQ，
∴
∵BP＝，
∴AQ＝2，
∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，
在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ，
∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，
∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，
连接CE，
∴，
∴DQ+CQ的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
【变式4】（2021秋·四川达州·九年级达州市第一中学校校考期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．
（1）求的值；
（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；
（3）求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题；
（3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可．
【详解】（1）在中，令，则，
点的坐标为，
，，
，
把代入中得：，
解得：；
（2）由（1）得一次函数为，，，
，，，
，
的面积与四边形的面积之比为，
的面积与四边形的面积之比为，
，
设点的横坐标为，则，
解得：，
把代入中得：，
；
（3）
如图所示，过点作轴交于点，
，
，
，
作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
当、、在同一直线时最小，
即的最小值为，
，
，，，
在中，，
，
在中．，
的最小值为．
【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．
最值问题三 隐圆问题
例1 （2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
例2 （2021·湖北十堰·中考真题）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
（1）求证：；
（2）①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
（3）当的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析；（2）①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，理由见解析；（3）
【分析】（1）由题意得，，所以，容易证出；
（2）①根据“两点之间线段最短”，可得，当点落在的中点时，的值最小；
②根据“两点之间线段最短”，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长（如图）；
（3）作辅助线，过点作交的延长线于，由题意求出，设正方形的边长为，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为．
【详解】解：（1）证明：是等边三角形，
，．
，
．
即．
又，
．
（2）解：①当点落在的中点时，、、三点共线，的值最小．②如图，连接，当点位于与的交点处时，
的值最小，
理由如下：连接，由（1）知，，
，
，，
是等边三角形．
．
．
根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．
在和中，
，
，
，
，
，
若连接，则，
，，
、可以同时在直线上．
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长．
（3）解：过点作交的延长线于，
．
设正方形的边长为，则，．
在中，
，
．
解得，（舍去负值）．
正方形的边长为．
【点睛】本题考查轴对称的性质和正方形的性质，三角形全等的判定、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点，添加适当辅助线，灵活运用．
【模型一：定弦定角的“前世今生” 】
【模型二：动点到定点定长】
【模型三：直角所对的是直径】
【模型四：四点共圆】
牢记口诀：
定点定长走圆周，定线定角跑双弧。
直角必有外接圆，对角互补也共圆。
【变式1】（2022秋·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．
【答案】
【分析】首先根据运动特点分析出点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，然后分点恰好落在边上和点恰好落在边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下的长度，从而得出结论．
【详解】解：∵点B与关于DE对称，
∴，则点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，
①如图所示，当点恰好落在边上时，此时，连接和，
由题意及“三线合一”知，，，
∴在中，，
此时，根据对称的性质，，
∴由等面积法，，
∴，
在中，；
②如图所示，当点恰好落在边上时，连接、、和，
由题意，，
∴，，
∴，
即：，
∴，
即：，
∵点B与关于DE对称，
∴，，
∴，
∴，，
由对称的性质，，
∴，
∴，
∴，
即：此时点为的中点，
∴此时，，
综上，长的范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键．
【变式2】（2022·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为__________________．
【答案】
【分析】根据题意可知：点C在半径为的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．
【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，，
∴C在⊙B上，且半径为，
在x轴上取OD=OA=6，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB=OD=6，∠BOD=90°，
∴BD=，
∴CD=，且C(2,8),
∴OM=CD，即OM的最大值为，
∵M是AC的中点，则M（4,4），
故答案为：（4,4）．
【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．
【变式3】（2022秋·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
【答案】38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，过作于，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，
BG=2，
故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，

由勾股定理得：AC=10，
∵AC·BH=AB·BC，
∴BH=4.8，
∴，
即四边形面积的最小值=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
【变式4】（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图①，在等腰和等腰中，，，，为的中点，为的中点，连接，，．
(1)若，求的长度；
(2)若将绕点旋转到如图②所示的位置，请证明，；
(3)如图③，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在等腰直角三角形中求出的长，在等腰直角三角形中求出，再利用勾股定理求出即可；
（2）延长至，使，连接，，，先证明≌，从而证得≌，进一步命题得证；
（3）取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，可证得≌，进而得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，连接并延长交于，当在点时，最大，然后解和，进而求得结果．
【详解】（1）解：在等腰中，，，，
，，
点为的中点，
，
在等腰中，，，，
，
在中，，，，
；
（2）证明：如图，

延长至，使，连接，，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，；
（3）如图，

取的中点，连接，，将逆时针旋转至，连接，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，，
≌，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，
连接并延长交于，当在点时，最大，
作于，
在中，，，
，，
，
．
即的最大值．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
最值问题四 将军饮马问题
例1 （2020·江苏南通·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．B．2C．2D．3
【答案】A
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为，
综上所述，AE+BF的最大值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．
例2 （2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵，
则△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=，N为AB的中点，
∴ON=，
又∵M为AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，BC=1，
则MN=，
∴OM=ON+MN=，
∴OM的最大值为
故答案选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．
例3 （2021·青海·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是______．
【答案】10
【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，
∴连接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
连接BM交AC于点P，
∵点 N为AC上的动点，
由三角形两边和大于第三边，
知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB.
模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．

作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'
模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．

连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB
模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大．

作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB'
模型5：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小．
连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最小值为0
模型6：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．

分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″
模型7：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．

作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C
【变式1】（2022秋·黑龙江佳木斯·九年级抚远市第三中学校考期末）如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，从而得到，即可得到答案．
【详解】解：抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，
当时，解得或，即；当时，，即，
由二次函数对称性，关于对称轴对称，即，
，
，
周长的最小值就是的最小值，
根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，，
周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
【变式2】（2022秋·安徽滁州·八年级校联考期中）如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 ___________．
【答案】
【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交x轴于点，此时值最小，最小值为，如图．
令中，则，
∴点的坐标为；
令中，则，解得：，
∴点的坐标为．
∵点、分别为线段、的中点，
∴点，点．
∵点和点关于轴对称，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
令，则，解得：，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
【变式3】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【答案】3
【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及，对线段长度进行等量转化即可．
【详解】
解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点、，连接、、、、，其中分别交OB、OA于点N、M，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M、N的位置是使得周长的最小的位置．
由对称性可知：，
，
为等边三角形
的周长===3
故答案为：3
【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．
【变式4】（2023秋·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？
(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)当或时，；
(3)Q点坐标为．
【分析】（1）已知了抛物线过A、B两点，而抛物线的解析式中也只有两个待定系数，因此可将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值，也就得出了二次函数的解析式；
（2）观察图象即可解决问题；
（3）本题的关键是找出Q点的位置，已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称，因此只需连接，直线与对称轴的交点即为Q点．可根据B、C两点的坐标先求出直线的解析式，然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴的两个交点分别为，
∴，解得，
∴所求抛物线的解析式为；
（2）解：观察函数图象，当或时，，
故答案为或；
（3）解：在抛物线对称轴上存在点Q，使的周长最小．
∵长为定值，
∴要使的周长最小，只需最小，
∵点A关于对称轴直线的对称点是，
∴Q是直线与对称轴直线的交点，
设过点B，C的直线的解析式，把代入，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入上式，
∴，
∴Q点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定，函数图象的交点等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
最值问题五 费马点问题
例1 （2019·湖北武汉·统考中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60°得到，与交于点，可推出结论：
问题解决：如图，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是___________
【答案】
【分析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，易知△MOP为等边三角形，继而得到点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以发现当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，利用勾股定理进行求解即可得.
【详解】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，
∴，OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4，
∴AQ＝AM＝MQ•cs45°=4，
∴NQ＝，
故答案为.
【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键.
模型解读：
△APC≌△AQE，且△APQ为等边三角形，
∴PC=QE，AP=PQ
∴AP+BP+CP=BP+PQ+QE
当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小
【变式1】（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
【答案】
【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可．
【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等边三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴，
∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；
∵，∠CAD=，
∴∠EAD=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上．
【变式2】（2022·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=________．
【答案】
【分析】如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，此时，如图2，连接MC，证明AM垂直平分BC，证明AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，构建方程求出x可得结论．
【详解】解：如图1，将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等边三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴当点A，点Q，点N，点M共线时，QA+QB+QC值最小，
此时，如图2，连接MC
∵将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此时P与D重合，设PD=x，则DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确运用等边三角形的性质解决问题，学会构建方程解决问题．
【变式3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．
【答案】
【详解】【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD＝GF
∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
【变式4】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．
【答案】
【分析】延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．先证明，可得，再证明，可得：，从而得到，计算出的长度即可．
【详解】解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题，利用相似构造与，根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键．
【培优练习】
1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．10
【答案】A
【分析】连接交于P点，根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长，求出的长即可.
【详解】连接，交于P点
∵四边形为正方形
∴A点和C点关于对称
根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长.
∵，
∴的最小值为5
故选：A
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.
2．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键．
3．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标．
【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，
∵点E是BC的中点，
∴BC=6，
连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴CE∥AD，AC=，DE=，
∴△CGE∽△AGD，
∴，
∴，
∴AG=，
故点M的坐标为（，），故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．
4．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
【答案】C
【分析】分析知当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，可以判断①②是否正确；当∠OAP=90°时，根据勾股定理求出AP的长度，可以判断③是否正确；作出A点的轨迹圆，知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，通过计算判断④是否正确即可．
【详解】解：由题意知，当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，
∴PA的最小值为，PA的最大值为，
故①②正确；
当∠OAP=90°时，根据勾股定理得：AP=，
即AP=OA，三角形PAO为等腰直角三角形，
故③正确；
作出A点轨迹圆如下：
知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，最大值为：，
故④错误，
综上所述，正确的序号为：①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的最值是解决本题的关键．
5．（2022春·九年级单元测试）如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6B．C．9D．
【答案】A
【分析】先分析出D的轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，当BD与该圆相切时，∠DBA最大，过C作CF⊥AE于F，由勾股定理及三角函数计算出BD、CF的长，代入面积公式求解即可．
【详解】解：由题意知，D点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，
当BD与D点的轨迹圆相切时，∠DBA取最大值，此时∠BDA=90°，如图所示，
过C作CF⊥AE于F，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=，
∴由sin∠CAF=sin∠BAD得：
，
即，
解得：CF=，
∴此时三角形ACE的面积==6，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点．此题综合性较强，解题关键是利用D的轨迹圆确定出∠DBA取最大值时的位置．
6．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A．B．12C．D．
【答案】D
【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线y=x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，-3），
∴OB=3，OA=4，
∴，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°，
∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，
又∵DE=AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN=AN，EN=NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON=NC=2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN=90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM=MN=，
∵MP⊥OP，∠COA=45°，
∴OP=MP=1，
∴AP=3，
∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，
又∵∠AOB=∠MPK=90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴MK=，PK=，
∴AK=，
∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴KQ=，
∴QM=KQ+MK=+=，
∴点H到AB的最大距离为+，
∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长．
7．（2022·山东济南·统考一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先证明，从而，再根据，可求，可知点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值．
【详解】解：如图，取AD中点O，连接OG，以AO为斜边作等腰直角三角形AOM，
则，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∴，
是直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点H的运动轨迹为以点M 为圆心，MH为半径的圆，
如图，连接BM，交圆M于，过点M作于点P，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴AP=MP==1，
∴BP=4-1=3，
在中，，
∴．
∴BH的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．
8．（2022·安徽蚌埠·统考一模）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，

点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，
，，，
，
最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
9．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ___________．
【答案】
【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．
【详解】解：延长到，使得，连接，．
，，，
，
，
，
，
，
，
，
又在中，，，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ___________．
【答案】
【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解．
【详解】解：如图，取点，连接，．
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（当B、P、T三点共线时取等号）
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
11．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，
，
∴
∵PH丄AD
∴
∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，
∴ ，
则最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
12．（2022秋·九年级课时练习）在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为______．
【答案】
【分析】先设出矩形的边长，将AQ和CQ表示出来，再通过作对称点确定△AGQ的周长最小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可．
【详解】解：设DC=，DQ=AD=x，
∴
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠DCB=∠B=90°，，
∴，
如图，作Q点关于BC的对称点E，连接AE交BC于点M，
∴GQ＝GE，CQ=CE=
∴AQ+QG+AG=，
∴当A、G、E三点共线时，△AGQ的周长最小，
此时G点应位于图中的M点处；
∵矩形ABCD中，∠QCG=90°，
∴E点位于QC的延长线上，
∴CE∥AB，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、最短路径、平行线分线段成比例的基本事实的推论等内容，解题关键是能正确找到满足题意的G点位置，同时要牢记平行线分线段成比例的推论，即平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
13．（2022·广东汕头·统考一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
【答案】##
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
14．（2022春·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC＝120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PB＋PM 的值最小时，PM的长是________．
【答案】
【分析】如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．当D、P、M共线时， 值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D关于AC对称，
∴PB+PM=PD+PM
当D、P、M共线时，的值最小，
∵CM=BC=2
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°
∴△DBC是等边三角形，
∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH= ，
在Rt△DMH中，
∵CM∥AD
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称一最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、平行线线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _____．
【答案】
【分析】作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．
【详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠COB=60°，
则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，则DH =DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得，
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
∵OF=OA=5，
∴，
∴
即CD+OD的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键．
16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：与是等腰直角三角形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
在以为直径的圆上，
的外心为，，
，
如图，当时，的值最小，
，
，
，，
．
则的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．（2022秋·江西上饶·八年级统考阶段练习）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中处各有一颗棋子．
(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴．
(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得 的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．
【答案】(1)图形见解析；
(2)，图见解析；
【分析】（1）直接画出等腰三角形的对称轴即可；
（2）将A向右平移1个单位得，再作关于x轴的对称点,连接交x轴于点Q，再将Q向左平移1个单位得点P，此时，的长度最短；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示：将A向右平移1个单位得，再作关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q，再将Q向左平移1个单位得点P，此时，的长度最短；
设的解析式为，将， 代入得：
，解得，
∴的解析式为，
当，，
解得，
∴Q点的坐标为，
∴P的坐标为．
【点睛】本题考查作图问题，等腰三角形的对称轴，线段和的最小值问题，灵活运用“将军饮马”模型是解题的关键．
18．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)有，最小值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）在中，，，根据，有，即可得，问题得解；
（3）先求出，即，即有，则的最小值是的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．
【详解】（1）把点，代入抛物线中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2），
理由是：如图1，
令，则，即，
∵，，
∴，，，
在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：
由（2）知：，
∴，即，
∴，
∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，
抛物线解析式为：；
∴对称轴是：，即，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴在M，N移动的过程中，有最小值是．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
19．（2022秋·辽宁营口·九年级校联考期中）如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点．
(1)求证：；
(2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长；
(3)连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)的最大值．
【分析】（1）根据证明三角形全等即可；
（2）证明垂直平分线段，推出，利用勾股定理求出，再利用三角形中位线定理求出；
（3）在旋转过程中，，而且当点H在线段上时，可以取到最大值．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（）；
（2）解：∵为等边的高，
∴，
∴，
∵，
∴，即G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵N为的中点，
∴；
（3）解：如图，取的中点H，连接．
∵为等边的中线，
∴，
由（2）同理可得，
∵N为的中点，
∴是的中位线，
∴，
在旋转过程中，，
∴而且当点H在线段上时，可以取到最大值，
∴的最大值．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．
20．（2022春·吉林松原·八年级统考期中）教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．
(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．
(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠BAD＝2∠ABC．过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．如图②，连结OE，则OE的长为____．
(3)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PC＋PE的最小值为_____．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据菱形的性质先得出，进而证明是等边三角形．
（2）先证明四边形ACED是菱形，再求出，用勾股定理即可求出OE的长．
（3）先找出点A的对称点，根据对称性得到PC＋PE的最小值为AE的长，利用勾股定理求出AE的长即可．
（1）
四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
．
，
．
四边形ABCD是菱形，
．
是等边三角形．
（2）
四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
又∵DE//AC，
四边形ACED是平行四边形，
由（1）可得，
故四边形ACED是菱形；
则，，∠BDC=30°，OA=2，
则．
（3）
如图所示，过A作BE的垂线交BE于点F，连接AE，
A点关于BD的对称点为点C，
则PC＋PE的最小值为AE；
为等边三角形，
，
，，
则PC＋PE的最小值为．
【点睛】本题考查菱形的性质和判定、等边三角形的性质、最值问题的求解，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质及最值问题的解决方法．
21．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∠ECH＝90°，连接AE．
(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；
(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+∠HBF＝45°时，求证：AE＝CE；
(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．
【答案】(1)AE＝6
(2)见解析
(3)GE+BH′＝
【分析】（1）在Rt△ABC中，由AB＝BC得∠BAC＝∠ACB＝45°，从而得∠ACE＝∠ACH，再找CE＝CH，进而证明△ACE≌△ACH，即可得AE＝AH＝6；
（2）连接BE，设BH与AC交于点G，可证得△ABF≌△CBG，从而得出BG=BF，BH＝2BG，，进而得出△EGH≌△CGB，进一步得出结果；
（3）作DN//AC作点A的对称点A′，连接AC交DN于D′，连接BD′，交AC与E′，则当点D在D′处，点E在点E′处时，△ACD的周长最小，进而求得△ACD为等腰直角三角形，进而求得AF， AH′和E′G，进一步得出结果．
（1）解：在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵∠ECH＝90°，∴∠ACH＝45°，∴∠ACE＝∠ACH，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∴∠CHE＝45°，∴CE＝CH，∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACH（SAS），∴AE＝AH＝6；
（2）证明：如图1，
连接BE，设BH与AC交于点G，∵∠BCE=∠CEH=45°，∴EH//BC，∴∠EHB=∠CBG，∵∠ABC＝90°，∴∠CBG+∠HBF+∠ABF=45°，∵∠EHB+∠HBF＝45°，∴∠EHB=∠CBG +∠ABF，∴∠CBG =∠ABF，∵AB＝AC，∠A＝∠ACB＝45°，∴△ABF≌△CBG（ASA），∴BG＝BF，∵BH＝2BF，∴BH＝2BG，∵∠HEG＝∠BCG＝45°，∠EGH＝∠CGB，∴△EGH≌△CGB（AAS），∴EG＝CG，∴四边形EBCH是平行四边形，∴BE//CH，∴∠BEG＝∠ECH＝90°，∴AE＝CE；
（3）解：如图2，
作DN∥AC，作点A关于直线DN′的对称点A′，连接A′C交DN于D′，连接BD′，交AC与E′，则当点D在D′处，点E在点E′处时，△ACD的周长最小，此时△ACD为等腰直角三角形，∵S△ADE＝＝25，∴AE′＝5，∴AC＝2AE′＝10，∴AB＝BC＝＝10，∵AF＝＝，∴H′F＝AH′＝＝ ，∴BH′＝10﹣＝，∵AF＝CG，∠BAF＝∠BCA＝45°，AB＝CE′，∴△ABF≌△CE′G（SAS），∴BF＝E′G，∴E′G＝BF＝＝＝，∴GE+BH′＝．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质以及勾股定理等知识，熟练掌握“将军饮马”等模型是解决问题的关键．
22．（2022春·重庆开州·八年级统考期末）如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；
(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为
(2)
(3)存在，点Q的坐标为：，，，
【分析】（1）由待定系数法求出直线的解析式为，然后联立直线与直线，即可求出点C的坐标；
（2）如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，求出直线的解析式为，则可求，进而由求解即可；
（3）由题意可知直线的解析式为，联立线与直线，求出，设，分三种情况，①当ED为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；②当EQ为菱形对角线时，利用可得点Q坐标；③当EF为菱形对角线时，利用可得点Q坐标．
(1)
解：设直线的解析式为，由直线经过、两点可得：
，解得，
直线的解析式为，
又直线与直线交于点C，
，解得，
当时，则，
点C的坐标为；
(2)
解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，连接DP，根据两点之间“线段最短”可知，当、、三点共线时，四边形PDCB的周长最小，
直线与x轴的交点为，
又点D和点关于y轴对称，
点，
，
设直线的解析式为，可得，解得，
直线的解析式为，
令，则，得点，
，
又，，
，
，
；
(3)
解：由题意可得直线的解析式为，
联立线与直线，即，解得，，
设，
①当ED为菱形对角线时，，
即，
解得，
；
②当EQ为菱形对角线时，，
，
，
解得或，
，；
③当EF为菱形对角线时，，
即，
解得，
，
综上：存在，点Q的坐标为：，，，．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质、菱形的判定与性质，分类讨论是解题的关键．
23．（2022春·重庆·八年级统考期末）已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，
(1)如图1，若H为CF的中点，且，，求线段AB的长；
(2)如图2，若，过点B作于点I，求证：；
(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，设正方形的边长为，，可得，在中，根据勾股定理建立方程，即可求解；
（2）过点作于点，证明是等腰直角三角形，，进而证明是等腰直角三角形，根据即可得证；
（3）取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，根据直角三角形中斜边上的中点等于斜边的一半可得，则当时，的面积最大，由，可得当三点共线时，取得最小值，证明四边形是矩形，可得，即的最小值为．
（1）
解：∵四边形是正方形，
∴，
H为CF的中点，，
，
设正方形的边长为，，可得，
在中，，
即，
解得，
；
（2）
如图，过点作于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即；
（3）
如图甲所示，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，
，
，
是直角三角形，
将沿BC翻折得，
是直角三角形，
，
当时，的面积最大，
是的中点，
是等腰直角三角形，
则也是等腰直角三角形，
，
此时如图乙所示，则点与重合，
，
三点共线时，取得最小值，
，
，，
则四边形是矩形，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
24．（2022秋·九年级单元测试）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?
(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．
(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．
【答案】(1)4
(2)存在，
(3)；
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法，得到，列出一元一次方程求解即可；
（2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到，再利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）先确定四边形BCMP的周长等于，再利用轴对称的知识和两点之间线段最短的知识确定的最小值即可得到周长最小值，最后求出AP的长即可得到P点运动时间．
（1）
解：连接BP、DQ，
∵BC＝20，点Q为BC中点，
∴，
要使四边形PBQD是平行四边形，
则，
∴，
∴，
此时，且，
则四边形PBQD是平行四边形，
∴当t为4时，四边形PBQD是平行四边形．
（2）
存在，；
假设R点在图中所示位置，则连接BP、QR，
要使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，
则有，
在Rt△ABP中，，
∴，（舍去），
此时，符合题意；
∴在AD边上存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形，且．
（3）
；
如图，连接BP、QM，
因为，
∴且，
∴四边形PBQM是平行四边形，
∴，
∵四边形BCMP的周长
，
∴当的值最小时，四边形BCMP的周长最小，
作Q点关于AD的对称点G，连接CG，
则，四边形ABQE是矩形，
∴AE=BQ=10，AB=EQ=8，
当C、M、G三点共线时（即M点位于图中的F点处），的值最小等于CG，
∴Rt△GQC中，，
此时，四边形BCMP的周长最小值为，
∵E点为QG中点，EF∥QC，
∴，
∴AF=15，
∴AP=15-10=5,
∴．
∴当点P从点A向右运动秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理解三角形、“将军饮马”问题、一元一次方程的应用、解一元二次方程等，解题关键是能正确建立方程，以及能确定最短路径．