2024中考数学模型复习专题 与圆有关的最值(含隐圆)问题 强化训练(含答案)

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1. 如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3，4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
第1题图
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2 eq \r(3) ，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移(⊙O可以与该三角形的边相切)，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为________．
第2题图
类型二 线圆最值
3.如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan ∠BOD的值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第3题图
4. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧AB上一点，连接AC，BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为( )
第4题图
A. 6 eq \r(3) B. 12 eq \r(3) C. 18 D. 20
5. 如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为 eq \r(3) ，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
第5题图
类型三 定点定长作圆
6. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为( )
A. 2 B. eq \f(5,2) C. 3 D. eq \r(10)
第6题图
7.在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2.若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是( )
第7题图
A. 4 eq \r(2) B. 6 C. 2 eq \r(10) D. 3 eq \r(5)
8. 如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，当GF最小时，AE的长是________．

第8题图
9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动．连接CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连接A′C，A′P.在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是________；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为________．
第9题图
类型四 定弦定角(含直角对直径)
10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 eq \r(3) ，BC＝3.点P为△ABC内一动点，且满足PA2＋PC2＝AC2.当PB的长度最小时，△ACP的面积是( )
第10题图
A. 3 B. 3 eq \r(3)
C. eq \f(3\r(3),4) D. eq \f(3\r(3),2)
11. (2022泰安)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为( )
A. eq \f(5,2) B. eq \f(12,5)
C. eq \r(13) － eq \f(3,2) D. eq \r(13) －2

第11题图
12. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为________．
第12题图
13.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB＋EF长度的最小值为________．
第13题图
类型五 阿氏圆
14. 如图，在Rt△ABC中， AB＝AC＝4, 点E，F分别是AB, AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP, CP，则 eq \f(1,2) BP＋CP的最小值是________．
第14题图
15. 如图，已知正方形ABCD的边长为9，⊙B的半径为6，点P是⊙B上的一个动点，那么PD＋ eq \f(2,3) PC的最小值为________．
第15题图
16. 如图，正方形ABCD的边长为4，内切圆记为⊙O，P为⊙O上一动点，则 eq \r(2) PA＋PB的最小值为________．
第16题图
参考答案与解析
1. C 【解析】如解图，连接PO，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3，MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6.
第1题解图
2. 2 eq \r(7) ＋1 【解析】如解图，当⊙O与AB，BC边相切时OA最大．设⊙O与AB边的切点为M，连接OM，OA，OB，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2 eq \r(3) ，∴AB＝4 eq \r(3) ，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，∴∠OBA＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝30°，在Rt△OBM中，OM＝1，∴BM＝ eq \r(3) ，∴AM＝AB－BM＝3 eq \r(3) ，在Rt△AOM中，AO＝ eq \r(AM2＋OM2) ＝2 eq \r(7) ，此时点A到⊙O上的点的最大距离为2 eq \r(7) ＋1.
第2题解图
3. B 【解析】如解图，连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∵A(8，0)，B(0，6)，∴AO＝8，BO＝6，∵∠BOA＝90°，∴AB＝ eq \r(AO2＋BO2) ＝ eq \r(82＋62) ＝10，则⊙P的半径为5，∵PE⊥BO，∴BE＝EO＝3，∴PE＝ eq \r(52－32) ＝4，∴ED＝9，∴tan ∠BOD＝ eq \f(ED,EO) ＝3.
第3题解图
4. B 【解析】如解图，连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，延长DO交⊙O于点E，连接AE，BE，则AE＝BE，设点C到边AB的距离为h，则S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·h，易得当点C与点E重合时，h取得最大值，即DE的长，此时△ABC的面积也取得最大值，即△ABE的面积．∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴△ABE为等边三角形，∴∠EAB＝∠AEB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴OD＝ eq \f(1,2) OA＝2，AD＝2 eq \r(3) ，∴AB＝2AD＝4 eq \r(3) ，DE＝OE＋OD＝4＋2＝6.此时S△ABE＝ eq \f(1,2) AB·DE＝ eq \f(1,2) ×4 eq \r(3) ×6＝12 eq \r(3) .
第4题解图
5. 3 【解析】如解图，连接QC和PC，过点C作CH⊥AB于点H.∵PQ和⊙C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始终为直角三角形，CQ为定值，∴当CP最小时，PQ最小．∵△ABC是等边三角形，∴当CP⊥AB时，CP最小，此时点P与点H重合，∵AB＝BC＝AC＝4，∴AH＝BH＝2，∴CH＝ eq \r(AC2－AH2) ＝2 eq \r(3) ，∴CP的最小值为2 eq \r(3) ，∵⊙C的半径CQ＝ eq \r(3) ，∴PQ＝ eq \r(CP2－CQ2) ＝3.
第5题解图
6. A 【解析】如解图，连接AM，AC，∵点B和点M关于AP对称，∴AB＝AM＝3，∴点M在以点A为圆心，3为半径的圆弧上，∵AC＝ eq \r(32＋42) ＝5，AM＝AB＝3，∴CM≥AC－AM＝5－3＝2，即MC的最小值为2.
第6题解图
7. C 【解析】如解图，取格点O，连接OM，ON，易得OM＝ON＝ eq \r(10) .又∵MN＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∴OM2＋ON2＝MN2，即△OMN为等腰直角三角形．以O为圆心，OM长为半径作圆．∵∠MPN＝45°，∴点P在优弧 eq \x\t(MN) 上．延长MO交⊙O于点P，连接PN，易知P为格点，则此时PM取最大值，PM最大＝2 eq \r(10) .
第7题解图
8. 5 eq \r(5) －5 【解析】如解图，∵BA＝BF＝BC，∴点F在以点B为圆心，BA长为半径的 eq \f(1,4) 圆上，∴当G，F，B三点共线时，GF最小．设AE＝x，则EF＝x，DE＝10－x，∵BG＝ eq \r(CG2＋BC2) ＝5 eq \r(5) ，∴GF＝5 eq \r(5) －10，连接EG，则(10－x)2＋52＝x2＋(5 eq \r(5) －10)2，解得x＝5 eq \r(5) －5，∴AE的长为5 eq \r(5) －5.
第8题解图
9. eq \f(\r(3)＋1,2) ；(1＋ eq \f(\r(3),2) )π－1－ eq \r(3) 【解析】由题意得点A′的运动轨迹是以点C为圆心，CA长为半径的圆上，∵点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，∠ACB＝45°，点A关于直线CP的对称点为A′，∴∠ACA′最大为90°.当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，如解图①，过点B作BE⊥AC于点E，A′C交AB的延长线于点F，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，∴在Rt△ABE中，BE＝1，AE＝ eq \r(3) .在Rt△BCE中，BE＝CE＝1，∴CA′＝CA＝ eq \r(3) ＋1.又∵CA′⊥AB，∴在Rt△ACF中，CF＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(\r(3)＋1,2) ，∴A′F＝CA′－CF＝ eq \f(\r(3)＋1,2) ，即点A′到直线AB距离的最大值是 eq \f(\r(3)＋1,2) ；如解图②，当点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为S扇形A′CA－2S△ABC＝ eq \f(π（\r(3)＋1）2,4) －2× eq \f(1,2) ×( eq \r(3) ＋1)×1＝(1＋ eq \f(\r(3),2) )π－1－ eq \r(3) .
第9题解图
10. D 【解析】∵PA2＋PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，如解图，取AC的中点O，并以O为圆心， eq \f(1,2) AC长为半径画圆，连接PO，由题意知，当B，P，O三点共线时，BP最短，∴AO＝PO＝CO，∵AC＝2 eq \r(3) ，BC＝3，∴CO＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \r(3) ，∴BO＝ eq \r(BC2＋CO2) ＝2 eq \r(3) ，∴BP＝BO－PO＝ eq \r(3) ，∴点P是BO的中点，∴在Rt△BCO中，CP＝ eq \f(1,2) BO＝ eq \r(3) ＝PO，∵OP＝OC，∴△PCO是等边三角形，∴∠ACP＝60°，∴在Rt△APC中，AP＝CP·tan 60°＝3，∴S△APC＝ eq \f(1,2) AP·CP＝ eq \f(3×\r(3),2) ＝ eq \f(3\r(3),2) .
第10题解图
11. D 【解析】如解图，取AD的中点为O，以AD为直径作⊙O，连接OB，OM，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP＋∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM＋∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝ eq \f(1,2) AD＝2，∴点M的运动轨迹在以O为圆心，2为半径的圆弧上，∵OB＝ eq \r(AB2＋AO2) ＝ eq \r(32＋22) ＝ eq \r(13) ，∴BM≥OB－OM＝ eq \r(13) －2，∴BM的最小值为 eq \r(13) －2.
第11题解图
12. 2 eq \r(3) 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，在△ABE和△CAF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AC,∠BAE＝∠ACF,AE＝CF)) ，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴∠ABE＝∠CAF，∴∠BPF＝∠PAB＋∠ABE＝∠PAB＋∠CAF＝60°，∴∠APB＝120°，如解图，过点A，P，B作⊙O，连接CO，PO，AO，BO，OC交于点P′，∴点P在劣弧上运动，∵AO＝OP＝OB，∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°－∠OAP－∠OPA－∠OPB－∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°.∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cs ∠ACO＝ eq \f(AC,CO) ＝ eq \f(\r(3),2) ，CO＝2AO，∵AC＝6，∴CO＝4 eq \r(3) ，∴AO＝2 eq \r(3) ，在△CPO中，CP≥CO－OP，∴当点P与点P′重合，即C，P，O三点共线时，CP有最小值，∴CP的最小值为CO－OP＝CO－AO＝4 eq \r(3) －2 eq \r(3) ＝2 eq \r(3) .
第12题解图
13. 3 eq \r(13) －3 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠FDC＝90°，∵∠ADF＝∠FCD，∴∠FDC＋∠FCD＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上运动，如解图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB′C′D，则点B的对应点是B′，连接B′O交AD于点E，交半圆O于点F，∴BE＋EF＝B′E＋EF＝B′F，则线段B′F的长即为BE＋EF长度的最小值，OF＝3，∵∠C′＝90°，B′C′＝C′D＝CD＝6，∴OC′＝9，∴B′O＝ eq \r(B′C′2＋OC′2) ＝ eq \r(62＋92) ＝3 eq \r(13) ，∴B′F＝3 eq \r(13) －3，∴EB＋EF长度的最小值为3 eq \r(13) －3.
第13题解图
14. eq \r(17) 【解析】如解图，在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT.∵PA＝2，AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT·AB，∴ eq \f(PA,AT) ＝ eq \f(AB,PA) ，∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴ eq \f(PT,BP) ＝ eq \f(AP,AB) ＝ eq \f(1,2) ，∴PT＝ eq \f(1,2) PB，∴ eq \f(1,2) PB＋CP＝PT＋CP≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝ eq \r(AT2＋AC2) ＝ eq \r(17) ，∴ eq \f(1,2) PB＋PC≥ eq \r(17) ，∴ eq \f(1,2) PB＋PC的最小值为 eq \r(17) .
第14题解图
15. eq \r(106) 【解析】如解图，连接BP，在BC上取一点G，使得BG＝4，连接PG，DG，∵ eq \f(PB,BG) ＝ eq \f(6,4) ＝ eq \f(3,2) ， eq \f(BC,PB) ＝ eq \f(9,6) ＝ eq \f(3,2) ，∴ eq \f(PB,BG) ＝ eq \f(BC,PB) ，∵∠PBG＝∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴ eq \f(PG,CP) ＝ eq \f(BG,BP) ＝ eq \f(2,3) ，∴PG＝ eq \f(2,3) PC，∴PD＋ eq \f(2,3) PC＝PD＋PG，∵PD＋PG≥DG，∴当D，G，P三点共线时，PD＋ eq \f(2,3) PC的值最小，最小值为DG＝ eq \r(52＋92) ＝ eq \r(106) .
第15题解图
16. 2 eq \r(5) 【解析】如解图，连接OP，OB，设⊙O的半径为r，则OP＝r＝ eq \f(1,2) BC＝2，OB＝ eq \r(2) r＝2 eq \r(2) ，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝ eq \r(2) ，∵ eq \f(OP,OI) ＝ eq \f(2,\r(2)) ＝ eq \r(2) ， eq \f(OB,OP) ＝ eq \f(2\r(2),2) ＝ eq \r(2) ，∴ eq \f(OP,OI) ＝ eq \f(OB,OP) ，∵∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴ eq \f(PI,BP) ＝ eq \f(OI,OP) ＝ eq \f(\r(2),2) ，∴PI＝ eq \f(\r(2),2) PB，∴AP＋ eq \f(\r(2),2) PB＝AP＋PI，∴当A，P，I在一条直线上时，AP＋ eq \f(\r(2),2) PB最小，最小值为AI的长，过点I作IE⊥AB于点E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝ eq \f(\r(2),2) BI＝1，∴AE＝AB－BE＝3，∴AI＝ eq \r(32＋12) ＝ eq \r(10) ，∴AP＋ eq \f(\r(2),2) PB最小值为 eq \r(10) ，∵ eq \r(2) PA＋PB＝ eq \r(2) (PA＋ eq \f(\r(2),2) PB)，∴ eq \r(2) PA＋PB的最小值是 eq \r(2) AI＝ eq \r(2) × eq \r(10) ＝2 eq \r(5) .
第16题解图