专题27 倍长中线模型-中考数学总复习真题探究与变式训练（全国通用）

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模块二 常见模型专练
专题27 倍长中线模型


例1 （2021·黑龙江大庆·统考中考真题）已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________

【答案】
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
【详解】如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，

可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，



由三角形三边关系可知，



∴
故答案为：．

【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
例2 （2021·贵州安顺·统考中考真题）（1）如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的等量关系．
解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，，转化在一个三角形中即可判断．
，，之间的等量关系________；
（2）问题探究：如图②，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论．

【答案】（1）；（2），理由详见解析.
【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质证得，再根据AAS证得≌，于是，进一步即得结论；
（2）延长交的延长线于点，如图②，先根据AAS证明≌，可得，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，进而得出结论.
【详解】解：（1）.
理由如下：如图①，∵是的平分线，∴
∵，∴，∴，∴.
∵点是的中点，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案为.
（2）.
理由如下：如图②，延长交的延长线于点.

∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
例3 （2021·山东东营·统考中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．
（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．

【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；②
【分析】（1）根据三角形全等可得；
（2）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明即可，
方法二：延长CO交BD于点E，证明即可；
（3）①方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明，
方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明；
②延长CO交DB的延长线于点E，证明，根据已知条件得出．
【详解】（1）O是线段AB的中点



在和中




（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E．

∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，

∵，，
∴，
∴，
∵点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）①数量关系依然成立．
证明（方法一）：
过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E．

∵
∴
∴四边形CEFD为矩形．
∴，
由（1）知，
∴，
∴．10分
证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，

∵，，
∴，
∴，
∴点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②如图，延长CO交DB的延长线于点E，

∵，，
∴，
∴，
∴点O为AB的中点，
∴，
又∵，
∴，

∵,





．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，锐角三角函数，根据题意找到全等的三角形，证明线段相等，是解题的关键．

倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。
倍长中线模型模型：
【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE
1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE
2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE
证明：
∵点D为∆ABC中BC边中点
∴BD=DC
在∆ABD和∆ECD中
AD=ED
∠1=∠2 ∴∆ABD≌∆ECD（SAS） ∴∠ABD=∠ECD ∴AB∥CE
BD=DC
在∆ADC和∆EDB中
AD=ED
∠ADC=∠BDE ∴∆ADC≌∆EDB（SAS） ∴∠EBD=∠ACD ∴AC∥BE
BD=DC
【倍长类中线】已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,
连接EC，则∆BDF≌∆CDE

总结:


【变式1】（2021·浙江湖州·统考二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（    ）．

A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠ECP，
在△AEB和△CEP中，

∴△AEB≌△CEP（ASA）
∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，
∴PD=2，
∵
∴
∴BE＝BP＝．
故选：C．

【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．
【变式2】（2021·贵州遵义·校联考二模）如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S△DGF的值为（    ）

A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．9cm2
【答案】A
【分析】取CG的中点H，连接EH，根据三角形的中位线定理可得EH//AD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF=∠HEF，然后利用“角边角”证明△DFG和△EFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=FH，全等三角形的面积相等可得S△EFH=S△DGF，再求出FC=3FH，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，从而得解．
【详解】解：如图，取CG的中点H，连接EH，

∵E是AC的中点，
∴EH是△ACG的中位线，
∴EH//AD，
∴∠GDF=∠HEF，
∵F是DE的中点，
∴DF=EF，
在△DFG和△EFH中，
，
∴△DFG≌△EFH（ASA），
∴FG=FH，S△EFH=S△DGF，
又∵FC=FH+HC=FH+GH=FH+FG+FH=3FH，
∴S△CEF=3S△EFH，
∴S△CEF=3S△DGF，
∴S△DGF=×12=4（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行线性质．利用倍长类中线构造全等三角形转换面积和线段关系是解题关键．
【变式3】（2022·四川成都·统考一模）在中，，，是边上的中线，记且为正整数．则使关于的分式方程有正整数解的概率为______．
【答案】
【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=4，在△ABE中，根据三边关系可知AB-BE 【详解】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如图

∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，

∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE ∴6-4<2AD<6+4，
∴1 即1 ∴m=2，3，4，
解分式方程
∴
∵x为正整数，
∴m-4<0，
∴m＜4，
∴m=2，3，
∴m使关于x的分式方程有正整数解的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式、解分式方程、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【变式4】（2021·河南周口·统考二模）如图，在中，，，为边的中点，若，则的长度为______．

【答案】
【分析】延长AD到E，使得AD=DE，证明△ADB≌△EDC，得，过点E作于H，分别求出CH和AH的长即可得到结论．
【详解】解：延长AD到E，使得AD=DE，如图，

∵为边的中点，
∴BD=CD
在△ADB和△EDC中，

∴△ADB≌△EDC
∴
∴
∴
∴
过点E作于H
在中，
∴
在中，，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
【变式5】（2022·山东泰安·校考二模）已知ABC中，∠BAC=60°，以AB和BC为边向外作等边ABD和等边BCE．

(1)连接AE、CD，如图1，求证：AE=CD；
(2)若N为CD中点，连接AN，如图2，求证：CE=2AN
(3)若AB⊥BC，延长AB交DE于M，DB=，如图3，则BM=_______（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）先判断出∠DBC=∠ABE，进而判断出△DBC≌△ABE，即可得出结论；
（2）先判断出△ADN≌△FCN，得出CF=AD，∠NCF=∠AND，进而判断出∠BAC=∠ACF，即可判断出△ABC≌△CFA，即可得出结论；
（3）先判断出△ABC≌△HEB(ASA)，得出，，再判断出△ADM≌△HEM (AAS)，得出AM=HM，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BD=AB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
∴∠DBC=∠ABE，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
（2）解：如图，延长AN使NF=AN，连接FC，

∵N为CD中点，
∴DN=CN，
∵∠AND=∠FNC，
∴△ADN≌△FCN(SAS)，
∴CF=AD，∠NCF=∠AND，
∵∠DAB=∠BAC=60°
∴∠ACD +∠ADN=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠NCF=60°，
∴∠BAC=∠ACF，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，
∴AB=CF，
∵AC=CA，
∴△ABC≌△CFA (SAS)，
∴BC=AF，
∵△BCE是等边三角形，
∴CE=BC=AF=2AN；
（3）解： ∵△ABD是等边三角形，
∴，∠BAD=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°－∠BAC=30°，
∴，
如图，过点E作EH // AD交AM的延长线于H，

∴∠H=∠BAD=60°，
∵△BCE是等边三角形，
∴BC=BE，∠CBE=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBH=90°－∠CBE=30°=∠ACB，
∴∠BEH=180°－∠EBH－∠H=90°=∠ABC，
∴△ABC≌△HEB (ASA)，
∴，，
∴AD=EH，
∵∠AMD=∠HME，
∴△ADM≌△HEM (AAS)，
∴AM=HM，
∴
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．





【培优练习】
1．如图，为的中线，，，则的长的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：延长至点E，使，连接，

∵为的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵在中，，又，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．
2．如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（    ）

A．1 B．2 C．5 D．8
【答案】C
【分析】延长至点，使，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系，即可得到的取值范围．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接，

∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴，即：，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系．解题的关键是：倍长中线法，证明三角形全等．
3．如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ）

A．2.5 B．2 C．1 D．1.5
【答案】D
【分析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长．
【详解】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，

∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△BED和△CAD中，

∴△BED≌△CAD（SAS），
∴BE=AC，∠BED=∠CAD，
∵，
∴∠CAD=90°，
∴∠BED=∠CAD=90°，
在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，
∴AC==1.5．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
4．对于任意△（见示意图）．若 是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（  ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】延长FD到G，使DG=FD，根据角平分线和平角定义证得∠EDF=90°，即ED⊥FD，则 ED垂直平分GF，根据线段垂直平分线的性质可得EF=EG，再证明△BDG≌△CDF，则有BG=CF，再根据三角形三边关系可得BE+BG﹥EG即可解答．
【详解】解：延长FD到G，使DG=FD，
∵、的角平分线分别交、于点，
∴∠ADE=∠BDE=∠ADB，∠ADF=∠CDF=∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=(∠ADB+∠ADC)=90°，
∴ED⊥FD，又DG=DF，
∴ED垂直平分GF，
∴EF=EG，
∵ 是△的边上的中线，
∴BD=DC，又∠BDG=∠CDF，DG=DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG=CF，
在△BEG中，∵BE+BG﹥EG，
∴BE+CF﹥EF，
故选：D．

【点睛】本题考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握相关知识的应用，延长FD使DG=FD是解答的关键．
5．如图，中，点是边的中点，线段平分．的延长线交于点，且．下列结论：
①；②；③；④．
正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】延长AD、BF交于点G，如图，根据平行线的性质和AAS可证△GBD≌△ACD，可得BG=CA，易得BG=BA，于是有CA=BA，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可判断①；
根据ASA易证△BDF≌△CDE，进而可根据全等三角形的性质判断③；
由，再结合全等三角形的性质即可判断④；
而无法证明，继而可判断②，于是可得答案．
【详解】解：延长AD、BF交于点G，如图，∵BF∥AC，∴∠G=∠CAD，∠GBD=∠C，
∵点是边的中点，∴BD=CD，
∴△GBD≌△ACD（AAS），∴BG=CA，
∵平分，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠G，
∴BG=BA，∴CA=BA，
∵点是边的中点，∴，所以①正确；
∵∠GBD=∠C，BD=CD，∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≌△CDE（ASA），∴BF=CE，DE=DF，所以③正确；
∵，BF=CE，∴AC=AE+CE=3BF，
∵CA=BA，∴，所以④正确；
而无法证明，所以②错误．
综上，正确的是①③④，有3个，故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，属于常考题型，倍长中线构造全等三角形、熟练掌握全等三角形和等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
6．在中，，，则边上的中线的取值范围是_____．
【答案】
【分析】延长至E，使，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：延长至E，使，连接．
在和中，

，
，
在中，
，
即
故．
故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
7．如图，在中，为中线，且，则边的取值范围是___________．

【答案】
【分析】延长至，使得，连接，先证明，由此可得，，再根据三角形存在性，求得，即得到边的取值范围．
【详解】解：如图，延长至，使得，连接，
∵在中，为中线，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴．
∵，
又∵，，
∴，，
在中，
∵，
∵，，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了倍长中线构造全等三角形以及三角形存在性，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE=AC．若∠C=70°，∠DAC=50°，则∠EBD的度数为__________________．

【答案】10°##10度
【分析】根据题目中的图形和已知条件，可以求得∠FBE和∠FBD的度数，从而可以得到∠EBD的度数．
【详解】解：延长AD到F，使得DF=AD，连接BF，如图，
∵点D为BC的中点，
∴BD=CD
在△BDF和△CDA中，

∴△BDF≌△CDA(SAS)
∴∠F=∠DAC，∠FBD=∠C，AC=FB，
∵∠C=70°，∠DAC=50°，BE=AC
∴∠FBD=70°，∠F=50°，BE=BF
∴∠F=∠BEF
∴∠BEF=50°
∴∠FBE=80°
∴∠EBD=∠FBE-∠FBD=80°-70°=10°
故答案为∶10°．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用三角形全等的判定和性质、数形结合的思想解答．
9．如图，在中， 是边上的中线．延长到点，使，连接．

(1)求证：；
(2)与的数量关系是：____________，位置关系是：____________；
(3)若，猜想与的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)，证明见解析
【分析】(1)根据三角形全等的判定定理，即可证得；
(2)由，可得，，据此即可解答；
(3)根据三角形全等的判定定理，可证得，据此即可解答．
【详解】（1）证明：是BC边上的中线，
，
在与中
，
；
（2）解：，
，，
，
故答案为：，；
（3）解：
证明：，
，，
，


在和中，

，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
10．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是 　　．
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　　　D．
(2)求得的取值范围是 　　．
A．　　　B．　　C．　　D．
(3)如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：．
【答案】(1)B
(2)C
(3)见解析

【分析】(1)根据，，推出和全等即可，据此即可判定；
(2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
(3)延长到M，使，连接，根据证得，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质即可证得．
【详解】（1）解：是中线，
，
在与中，

，
故选：B；
（2）解：由知：，
，，
由三角形三边之间的关系可得：，
即，
解得，
故选：C；
（3）证明：如图：延长到M，使，连接，，

是中线，
，
在与中，

，
，，
，
，
，
，
，
即．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
11．（1）阅读理解：
如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围，并说明理由．
解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．

（2）问题解决：
如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点M，交于点N，连接，求证：；
【答案】（1），详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）延长到点E使，连接，证明得到，再利用三角形三边的关系即可求解；
（2）延长至点F，使，连接，证明得到，再利用线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的三边关系即可证得结论．
【详解】（1）解：延长到点E使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，即，
∴；
（2）问题解决：
证明：延长至点F，使，连接，如图1所示：

∵是边上的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的三边关系，添加适当的辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键．
12．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．

(1)求证：
证明：延长到点E，使
在和中
∵（已作）
（对顶角相等）
____________（中点定义）
∴（____________）
(2)由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是____________；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
(3)【问题解决】如下图，中，，，是的边上的中线，，，且，求的长．

【答案】(1)，
(2)
(3)

【分析】（1）由“”可证；
（2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
（3）由“”可证，则，可求，根据线段垂直平分线的性质可得的长．
【详解】（1）证明：延长到点E，使
在和中，
∵（已作），
（对顶角相等），
（中点定义），
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：如图3，延长交于点F，

∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
13．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知图能得到的理由是 ．
(2)求得的取值范围是 ．
(3)如图2，是的中线，交AC于E，交于F，且．求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析

【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答；
（2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（3）延长至点G，使，连接，先证明，即可得出，再根据，得出，最后根据等角对等边，即可求证．
【详解】（1）解：∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
（2）由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（3）延长至点G，使，连接，

∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形．
14．在中，，，垂足为，点是延长线上一点，连接．

(1)如图①，若，，求的长；
(2)如图②，点是线段上一点，，点是外一点，，连接并延长交于点，且点是线段的中点，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）在等腰直角三角形，，，由勾股定理可求出，再由勾股定理可求的长；
（2）延长到点，使得，连接，证得，再证明可得，，从而得到，即可得出
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，解得
则，
∴；
（2）证明：延长到点，使得，连接．如图所示：

在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形性质等知识，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质．
15．数学活动课中，老师给出以下问题：

(1)如图1，在中，是边的中点，若，，则中线长度的取值范围______．
(2)如图2，在中，是边的中点，过点的射线交边于，再作交边于点，连结，请探索三条线段、、之间的大小关系，并说明理由．
(3)已知：如图3，，且，是线段的中点．求证：．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)见解析

【分析】（1）延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可；
（2）延长到点使，连结，就有，连结，可证，则，即可得出结论；
（3）延长到使，连接，证明，，根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：延长到，使，连接，

∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴根据三角形的三边关系定理：，
∵，
∴．
∴
∴．
故答案为：．
（2）解：如图，延长到点，使，连结，

∵
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长到使，连接

∵是的中点，
∴，
∵在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∵，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理．本题前两问都是利用中线的性质构造全等三角形，再利用全等三角形的性质，将线段放在同一个三角形中进行讨论．
16．(1)阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接(或将绕着点逆时针旋转得到)，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是______；

(2)问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)；(2)见解析；(3)，证明见解析
【分析】（1）延长至，使，连接，证明，根据三角形三边关系即可求解；
（2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，证明在中，由三角形的三边关系得，即可得证；
（3）延长至点，使，连接，证明，，根据求的三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图①所示：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，

∴，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示
同（1）得，，

，，
，

在中，由三角形的三边关系得，


（3）
证明如下：
延长至点，使，连接，如图所示
，

在和中，
，

，
，
，
在和中，

，
．
，


【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形．
17．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AC=BF，理由见解析
【详解】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，

在△ADC和△EDB中
∵，
∴△ADC≌△EDB（SAS）．
∴BE=AC=3．
∵AB-BE ∵2 ∵AE=2AD
∴1 （2）AC=BF，理由如下：
延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，

0

在△ADC和△GDB中，
，
∴△ADC≌△GDB（SAS）．
∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF
∴∠AFE=∠FAE．
∴∠DAC=∠AFE=∠BFG
∴∠G=∠BFG
∴BG=BF
∴AC=BF．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．
18．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到的理由是（    ）．
A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA
(2)AD的取值范围是（    ）．
A．    B．    C．    D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

【答案】(1)B
(2)C
(3)见解析

【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．

∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中

∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
19．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

【答案】（1）①；②4；（2），见解析
【分析】（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′=BC，根据直角三角形的性质计算；
（2）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E=AC′，∠BAC′+∠AB′E=180°，根据全等三角形的性质得到AE=BC，得到答案．
【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，
∴AB′=AC′，
∴∠AB′D=30°，
∴AD=AB′，
∴AD=BC，
故答案为；
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，
在△AB′C′和△ABC中，
，
∴△AB′C′≌△ABC（SAS）
∴B′C′=BC=8，
∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋补中线”，
∴AD=B′C′=4，
故答案为4；
（2）猜想．
证明：如图，延长至点E使得，连接B′E、C′E，

∵AD是△AB′C’的中线，
∴B′D=C′D，
∵DE=AD，
∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，
∵α+β=180°，
∴∠B′AC′+∠BAC=180°，
∴∠EB′A=∠BAC，
在△EB′A和△CAB中，    

∴△EB′A≌△CAB（SAS），
∴AE=BC，
∴AD=BC．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
20．（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．


【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
∵，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5；
故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；
证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；

（3）AF+CF＝AB．
如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中  
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．