吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知点为抛物线上一动点，点为圆，已知空间中三点，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，且，那么（ ）
A．B．C．D．5
3．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（ ）
A．B．C．D．
4．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知为等差数列的前项和，公差为．若，则（ ）
A．B．C．D． 有最小值
6．已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为．若的最小值为3．则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知数列满足，在，之间插入个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（ ）
A．151B．170C．182D． 207
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知空间中三点，则（ ）
A．
B．方向上的单位向量是
C．是平面的一个法向量
D．在上的投影向量的模为
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（ ）
A．两渐近线夹角为B．的离心率
C．为定值D．的最小值为
11．已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列B．数列为常数列
C．D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为 ．
13．已知数列的前项和为，则 ．
14．设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知椭圆 QUOTE 的右焦点为 QUOTE ，且经过点
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
16．（15分）已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．
（1）若，证明：平面；
（2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值．
18．（17分）已知数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列，
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）若成等比数列，求数列中的最大项及此时n的值．
19．（17分）已知动点M（不与坐标原点O重合）在曲线上运动，N为线段OM中点，记N的轨迹为曲线．
（1）求N的轨迹方程；
（2）P为不在x轴上的动点，过点作（1）中曲线的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q，
（ⅰ）求证：R是一个定点；
（ⅱ）求的最小值．
吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年上学期期末考试
高二年级 数学学科参考答案
一、单选题
1． 【答案】A
【详解】因为直线的斜率为，故该直线的倾斜角为.
2．【答案】C
【详解】由向量，，且，得，则，则.
3． 【答案】A
【详解】因为，，所以，，，，…，故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项，
4． 【答案】D
【详解】显然在椭圆内，当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，，此时不是线段的中点，所以直线的斜率存在，设，，则，两式相减并化简得，又，，代入得，解得，
5． 【答案】B
【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即，
可得，则，故A错误；对于选项B：因为，则，所以，故B正确；对于选项D：因为，且，可知无最小值，故D错误，对于选项C：因为，所以，故C错误；
6.【答案】B
【详解】圆的圆心，半径，抛物线的焦点为，准线方程为，则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则，由图知，当共线，且在线段上时，最短，此时，而，则，所以.
7．【答案】B
【详解】可知在数列中中的项有7项，则这7项的和为77，则的前100项和为77+93=170
8．【答案】D
【详解】设双曲线的半焦距为c，则，由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线的方程为：，即，设的内切圆与三边相切的切点分别为如图所示，
则，即，即轴，圆的半径为，则，点到直线的距离为，整理得且，解得，所以双曲线的离心率.
二、多选题
9． 【答案】ACD
【详解】由题意：，，.
对A：因为，故A正确；
对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误；
对C：因为，，
所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确；
对D：由，故D正确.
10． 【答案】BCD
【详解】因为圆与的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即，所以双曲线，所以双曲线渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，则渐近线夹角为，则A错误；
因为，所以离心率，B正确；设，则，所以，C正确；因为由余弦定理可得所以，当且仅当时，等号成立，此时点为双曲线的顶点，所以的最小值为，D正确.
11． 【答案】AD
【详解】当时，，即，又，故为等比数列，A正确；
时，，即，故不为常数列，B错误；
故为等比数列，首项为2，公比为3，故，故，，……，，以上20个式子相加得：，C错误；
因为，所以，两式相减得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和该式，故，令得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符号该式，故，令得：，综上：，D正确.
三、填空题
12． 【答案】和
【详解】圆的圆心和半径分别为，当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意，当直线有斜率时，设，此时圆心到直线的距离为，解得，此时直线方程为，即，综上可得和
13．【答案】100
【详解】，，是等比数列，，
14.【答案】- 4
【详解】如图，设，则，因为是圆的直径，所以，所以，即，所以，，所以直线的斜率为.
四、解答题
15. 【详解】（1）由题意得，——2分
解得，——2分
故椭圆的标准方程为．——1分
（2）由题意可得直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，——2分
设，，则，——2分
故——2分
．——2分
16． 【详解】（1）由，则，又，——3分
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，——2分
所以.——2分
（2）由，则，——3分
所以，——3分
所以.——2分
17．【详解】（1）因为平面，，平面，可知，，
在中，为的中点，则，因为，所以，则，，
在中，，——2分
即，
所以，即，——2分
又因为，平面，平面，——2分
所以平面．
（2）由题意可知：平面，
所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角，
在中，，所以．
又因为，故，，两两垂直，
以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，——2分
则，，，，，，
可得，，，，
设平面的法向量为，
则，即，可取；——2分
设平面的法向量为，
则，即，可取；——2分
从而可知，——2分
所以平面和平面的夹角的余弦值为.——1分
18． 【详解】（1）∵，∴当时，，
两式相减得，，整理得，即，——2分
∴当时，，满足此式，——2分
∴.——1分
①由（1）得，，∴，
，——2分
，——2分
∴——2分.
②由①得，，∴，
∵成等比数列，∴，即，
∴，——2分
∴，由在上单调递减，在上单调递增，——2分
则当时单调递增，当时单调递减，，，因此最大项为，此时或．——2分
19．【详解】（1）设，， N为线段OM中点，
，——2分
，又，
代入得．故点N的轨迹方程是——3分．
（2）（ⅰ）证明：设点，
设以为切点的切线方程为，
联立抛物线方程,可得，由，得，
所以切线AP：，
同理切线BP：——3分
点P在两条切线上，则，
由于均满足方程，故此为直线AB的方程，
由于垂直即，则，——2分
所以直线AB的方程，恒过；——1分
（ⅱ）解：由（ⅰ）知，则，直线
联立直线AB与直线OP的方程得，——2分
——2分
因此，时取等号.
即的最小值是.——2分