吉林省名校联盟2024-2025学年高二上学期9月联考数学试题（Word版附解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章到第二章2.3.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率为（ ）
A. B. 2C. −2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线的斜率为，求解即可.
【详解】直线的斜率为．
故选：A.
2. 若点到直线l：的距离为，则（ ）
A. 5B. C. 5或D. 或15
【答案】C
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或．
故选：C.
3. 已知空间向量，，且，则（ ）
A. B. −8C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由空间向量垂直的坐标表示计算即可；
【详解】因为，
所以，
解得．
故选：C.
4. 已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案.
【详解】设直线l的倾斜角为α，则．因为，且，
所以．
故选：D
5. 在空间四边形OABC中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助空间向量的线性运算法则计算即可得.
【详解】．
故选：B.
6. 空间内有三点，则点P到直线EF的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，得到直线EF的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】因为，所以直线EF的一个单位方向向量为．
因为，所以点P到直线EF的距离为．
故选：A
7. 在如图所示多面体中，平面，平面平面，且，，则异面直线BP与CQ所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用异面直线夹角公式得到答案.
【详解】如图，将该多面体补成底面边长为2，高为2的正三棱柱，并建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以．
故选：A
8. 已知二面角的棱l上有A，B两点，直线BD，AC分别在平面α，β内，且它们都垂直于l．若，，，，则平面与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，两边同时平方代入可得，即可求出平面与的夹角.
【详解】因为，所以.
因为，，，，，，
所以，
所以．
因为，所以，
故平面与夹角为．

故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线l过点，，则（ ）
A. 直线l倾斜角为150°
B. 直线l的两点式方程为
C. 直线l的一个方向向量为
D. 直线l的截距式方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先求出直线l的斜率，由直线的倾斜角和斜率及直线的方向向量间的关系可判断A，C；由直线的两点式、截距式可判断B，D.
【详解】因为直线l过点，，所以直线l的斜率为，倾斜角为150°，故A正确，C不正确；
直线l的两点式方程为，整理易得截距式方程为，所以B，D正确．
故选：ABD.
10. 对于直线l：，下列选项正确的是（ ）
A 直线l恒过点
B. 当时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为
C. 若直线l不经过第二象限，则
D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出过的定点判断A，当时，求出直线l的横纵截距计算判断B，根据的取值情况判断C；求出原点到定点的距离即判断D.
【详解】可变形为，由得所以直线l恒过点，故A正确；
当时，直线l在x，y轴上的截距分别为1，1，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，故B正确；
当时，直线l的方程为，直线l也不经过第二象限，故C不正确；
因为直线l过定点，所以坐标原点到直线l的距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD
11. 已知正三棱柱的所有棱长都为2，P是空间中的一动点，下列选项正确的是（ ）
A. 若，则的最小值为2
B. 若，则三棱锥P-ABC的体积为定值
C. 若，则直线AP与平面ABC所成角的正弦值的最大值为
D. 若，则平面PBC截三棱柱所得的截面面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】如图，建立空间直角坐标系，由，求出，由空间中两点的距离公式和二次函数的性质可判断A；由点到平面的距离公式和三棱锥的体积公式可判断B；由线面角的向量公式和二次函数的性质可判断C；先求出点，再求出平面PBC截三棱柱所得的截面，即可判断D.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，B（0，1，0），C（0，-1，0），
，，．
因为，所以，
所以，
所以．
当，时，，所以A错误；
因为，
所以，
因为平面ABC的法向量为，
所以点P到平面ABC的距离为为定值，
即三棱锥P-ABC的体积为定值，所以B正确；
因为，
平面ABC的一个法向量为，设AP与平面ABC所成的角为θ，
所以，，
当时，，所以C正确；
因为，所以，
由图可知平面PBC截三棱柱所得的截面为，
，所以D正确．

故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线l垂直于直线，且过点，则直线l的倾斜角为________，在x轴上的截距为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先根据直线的一般方程得出斜率，最后应用垂直得出斜率再求出倾斜角，点斜式最后求出截距即可.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为．
因为直线l过点，所以直线l的方程为，
令得出,故直线l在x轴上的截距为．
故答案为：2π3；.
13. 已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为________．（用坐标表示）
【答案】
【解析】
【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案.
【详解】因为，所以，所以．
因为，所以在上投影向量为．
故答案为：
14. 已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出关于的对称点为，进而得到的最小值为
【详解】设关于的对称点为，
则解得，即．
因为，
所以的最小值为．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线，直线．
（1）若，求，之间的距离；
（2）若，求，及轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可.
（2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
整理得，解得或．
当时，，，，重合；
当时，，，符合题意．故，
则，之间的距离为．
【小问2详解】
因为，所以，解得．
，的方程分别为，．
联立方程组，得．
因为，与轴的交点分别为，，
所以，及轴围成的三角形的面积为．
16. 如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.

（1）用基底表示向量.
（2）棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在一点G，理由见解析
【解析】
【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可；
（2）假设棱BC上存在点G，使得，设，由基底表示出向量，由即可求出.
【小问1详解】
因为，，
所以．
【小问2详解】
假设棱BC上存在点G，使得，设．
因为，
所以．
因为，所以，化简得，
得，所以棱BC上不存一点G，使得.
17. 在空间几何体ABC-DEF中，四边形ABED，ADFC均为直角梯形，，，，．

（1）证明：平面平面．
（2）求直线DF与平面BEF所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，得到两个法向量垂直，故两平面垂直；
（2）在（1）的基础上，利用线面角的向量夹角公式得到答案.
【小问1详解】
证明：因为，所以AB，AC，AD两两垂直．
以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则．
设平面BEF的法向量为，因为，，
所以，解得，令，得，故．
设平面DEF的法向量为，因为，，
所以令，得．
因为，所以，所以平面平面．
【小问2详解】
设直线DF与平面BEF所成的角为，由（1）知，
平面BEF的一个法向量为，
则，
所以，
即直线DF与平面BEF所成的角为．
18. 已知的顶点，，直线l：过定点．
（1）若是的重心，求三边所在直线的方程；
（2）若，且，求顶点的坐标．
【答案】（1），，
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意可得，解出即可得点坐标，结合重心性质即可得点坐标，即可逐个计算三边所在直线的方程；
（2）由可得点C在的垂直平分线上，借助坐标及方程可求出其垂直平分线的坐标及方程，结合点到直线距离公式计算即可得点坐标.
【小问1详解】
将l：整理得，
由，得，所以，
设，因为是的重心，
所以，解得，所以，
故所在直线的方程为，整理得，
所在直线的方程为，整理得，
所在直线的方程为，整理得；
【小问2详解】
因为点到直线的距离，
又，所以点C到直线的距离为，
因为，所以点C在的垂直平分线上，
中点坐标为，即，
则的垂直平分线的方程为，即，
所以，解得或，
所以或．
19. 如图，平面，，，，，．

（1）证明：平面．
（2）若三棱锥的体积为1，求平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ADE的一个法向量，由，即可证明平面．
（2）设，求出点F到平面BDE的距离，由三角形的体积公式求出，求出平面BDF的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
证明：因为平面，，所以两两垂直．
如图，以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则．
设，因为平面ADE的一个法向量为，，
所以．因为平面，所以平面．
【小问2详解】
解：设为平面BDE的法向量，点F到平面BDE的距离为h，
因，，
所以令，得．
因为，解得：，
所以，即点F到平面BDE的距离为2，
所以，所以，即．
设平面BDF的法向量为，因为，，
所以，令，得．
因为，
所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为．