2024-2025学年重庆市荣昌区高二上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市荣昌区高二上册第一次月考数学检测试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8题，每题5分．）
1. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（ ）
A. B.
C. D.
2. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ）
A. B. 1C. D. 5
3. 若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
4. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A 9cmB. 10cmC. 14cmD. 18cm
5. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A. 5B. 6C. 7D.
6. 椭圆的焦点为，，点M在椭圆上，且，则M到y轴的距离为（ ）
A. 3B. C. D.
7. 已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共3题，每题6分．全部选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B. 圆与圆有三条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 当时，圆上存在无数对关于直线对称的点
11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A. 开口向上抛物线的方程为
B. AB=4
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于4
三、填空题（共3题，每题5分．其中第14题第一空2分，第二空3分．）
12. 已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为______．
13. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数___________.
14. 如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为______；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为______.
四、解答题（共5题，共77分．）
15. 在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求实数的值.
16. 已知点到点距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点直线与交于两点，且，求．
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD是正方形，点F为棱PD的中点，.
（1）若E是BC的中点，证明：平面；
（2）求直线CF与平面ABF所成角的正弦值.
18. 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）为坐标原点，若面积为，求直线的方程．
19. 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为．
（1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；
（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；
（3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由．
2024-2025学年重庆市荣昌区高二上学期第一次月考数学
检测试卷
一、单选题（共8题，每题5分．）
1. 在同一平面直角坐标系中，直线与圆位置不可能为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】由圆的位置和直线所过定点，判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
直线过圆内定点，斜率可正可负可为0，
ABD选项都有可能，C选项不可能.
故选：C.
2. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ）
A. B. 1C. D. 5
【正确答案】B
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可.
【详解】由，
得，
所以.
故选：B
3. 若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果.
【详解】因为，，故可得所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的斜率，又其过点，
故其方程为，整理得.
故选：B.
4. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A. 9cmB. 10cmC. 14cmD. 18cm
【正确答案】A
【分析】由题意，结合椭圆的相关概念，将问题转化为求，由已知条件离心率，结合其公式，可得答案.
【详解】设椭圆的方程为，因为此椭圆的离心率为，且，
所以，，所以，
所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为．
故选：A.
5. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ）
A. 5B. 6C. 7D.
【正确答案】A
【分析】由圆的切线的性质可求得PC，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离.
详解】如图所示：
设切点为Q，则|CQ|=1,|PQ|=26，
则PC=CQ|2+PQ|2=12+(26)2=5，
设Px,y，则由两点间距离公式得到(x−4)2+y2=(x−4)2+8x=x2+16=5，
解得，因为y2=8x≥0，所以，
因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为3−−2=5.
故选：A.
6. 椭圆的焦点为，，点M在椭圆上，且，则M到y轴的距离为（ ）
A. 3B. C. D.
【正确答案】C
【分析】
设，代入椭圆方程；根据及向量垂直的坐标关系，可得解方程组即可求得的值，进而可得M到y轴的距离.
【详解】设，点M在椭圆上，
所以
椭圆的焦点为，，
则，，
所以，，
由，
可得，
化简可得
联立可解得，
故M到y轴距离为，
故选：C.
本题考查了点与椭圆的位置关系，平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
7. 已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】以点A为圆心，半径为2作圆，根据点既在圆上，也在圆上，根据两圆有公共点的条件列不等式即可求的取值范围.
【详解】由，则点P在圆上，
又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)，
两圆半径分别为2、1，
所以，
所以.
故选：A．
8. 已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可.
【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为，
设点，则可取，
则，整理得，
解得，即，可得，则，
所以该双曲线离心率的取值范围是．
故选：A.
关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取；
2.根据渐近线的几何意义可得.
二、多选题（共3题，每题6分．全部选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合直线与抛物线的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】当时，直线与只有一个公共点，满足题意，此时的坐标为12,0；
当时，联立方程组，整理得，
由，解得或（舍去），此时对应的的坐标为1,0.
故选：BC.
10. 已知直线和圆，则下列选项正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B. 圆与圆有三条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 当时，圆上存在无数对关于直线对称的点
【正确答案】ACD
【分析】根据定点的特征即可求解A，根据两圆的位置关系即可求解B，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解C，根据直线经过圆心即可求解D.
【详解】对于A，由直线的方程，可知直线恒经过定点，故A正确；
对于B，由圆的方程，可得圆心，半径，又由，由于，
所以圆与圆相交，圆与圆有两条公切线，故B错误；
对于C，由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，故C正确；
对于D，当k=1时，直线，将圆心代入直线的方程，可得，
所以圆上存在无数对关于直线对称的点，故D正确，
故选:ACD.
11. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A. 开口向上的抛物线的方程为
B. AB=4
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于4
【正确答案】ABD
【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断.
【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为,
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得,故，即B正确；
对于C，
如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点,
由解得，由解得，,
即得,
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，，（）
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
由可得切点坐标为,因,则点到直线的距离为，
于是,由图知，半个花瓣的面积必大于，
故原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故选：ABD.
思路点睛：本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题.
解题思路是，理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.
三、填空题（共3题，每题5分．其中第14题第一空2分，第二空3分．）
12. 已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为______．
【正确答案】##
【分析】判断两直线平行，即可判断的最小值为平行直线与的距离，根据平行线间的距离公式即可求得答案.
【详解】由题意可知直线，直线，即，
则两直线斜率均为-2，且两直线不重合，
所以直线，所以当且时，有最小值，
其最小值为平行直线与的距离，所以，
故
13. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数___________.
【正确答案】8
【分析】首先求出、、，根据双曲线的对称性可知必有一条弦垂直于轴或轴，求出轴、轴时的弦长，即可得解.
【详解】双曲线，则，，，
则右焦点为，
因为过右焦点作直线交双曲线于、两点，使得的直线恰有条，
由双曲线的对称性知必有一条弦垂直于轴或轴.
若轴，由，解得或，
所以，即，符合题意；
若轴，由，解得或，
此时，为最短弦长，只有一个解，而不是三个解，不符合题意，故舍去，
综上可得.
故
14. 如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为______；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为______.
【正确答案】 ①. ②.
【分析】根据题设条件可得的轨迹（如图所示），再根据轨迹可得的周期和相邻零点间的图象与轴所围区域的面积.
【详解】设，
如图，当三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动时，
开始时，先绕旋转，当旋转到时，旋转到，此时，
然后再以为圆心旋转，旋转后旋转到，此时，
当三角形再旋转时，不旋转，此时旋转到，
当三角形再旋转后，必以为圆心旋转，旋转后旋转到，
点从开始到时是一个周期，故的周期为，
如图，为相邻两个零点，
在上的图像与轴围成的图形的面积为：
.
故答案为.
方法点睛：以图形旋转为背景的函数问题，应该通过前几次的旋转得到周期性，再在一个周期内讨论对应的函数性质即可.
四、解答题（共5题，共77分．）
15. 在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求实数的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由为直径，可知圆心及半径，进而可得圆的方程；
（2）根据直线与圆相切，结合点到直线的距离可得解.
【小问1详解】
由已知，，则M1,1，
半径，
所以圆的方程为；
【小问2详解】
由直线，即，
又直线与圆相切，可得，解得.
16. 已知点到点的距离比到直线的距离小1，记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，且，求．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据抛物线的定义可知所求轨迹为抛物线，结合条件可写出方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程消元后根据韦达定理可得关系式，结合，可解出方程组，继而利用弦长公式求解即可.
【小问1详解】
由题意，到F1,0的距离和到直线的距离相等.
故点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故曲线的方程为；
【小问2详解】
设直线的方程为，
联立，消去得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，
因为，则，
解方程组，可得，或
所以
17. 如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD是正方形，点F为棱PD的中点，.
（1）若E是BC的中点，证明：平面；
（2）求直线CF与平面ABF所成角的正弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）取PA的中点G，连接GE，GF，证四边形ECFG是平行四边形，再由线面平行的判定定理推理作答.
（2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
【小问1详解】
取PA的中点G，连接GE，GF，因为E，F分别为BC，PD的中点，且底面是正方形，
则，即四边形是平行四边形，因此，
而平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
在四棱锥P-ABCD中，平面，底面ABCD是正方形，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，，，
设平面ABF的法向量为，则，
令，得，设直线CF与平面ABF所成角为，
因此，而，则，
所以直线CF与平面ABF所成角的正弦值为.
18. 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为．
（1）证明：直线的斜率为定值；
（2）为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可.
（2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程.
【小问1详解】
由已知可得，解得，
所以双曲线方程为，
设，
所以，两式相减，可得，
又线段的中点为，所以，，
所以，解得，
所以直线的斜率为定值；
【小问2详解】
由（1）设直线的方程为，
由，所以，整理可得，
所以，解得或，
所以，，

所以，
又原点到直线的距离为,
所以的面积为，
化简可得，解得，
所以直线的方程．
19. 将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为．
（1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值；
（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值；
（3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，试判断的垂心是否都在椭圆上，并说明理由．
【正确答案】（1）或；
（2），
（3）垂心在椭圆上，理由见解析
【分析】（1）求得椭圆的离心率，分类讨论可求得；
（2）可得直线的方程分别为，，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得，，进而可求取得最小值；
（3）不妨设为椭圆上的任意一点，此时，的垂心的坐标为，连接，可求得，可得，利用可得结论.
【小问1详解】
因为椭圆的离心率，当时，，解得；
当时，，解得．则或；
【小问2详解】
易得，所以直线的方程分别为，，
联立，消去并整理得，
因为直线与椭圆相切，所以，因为，即，
联立， 消去并整理得，
因为直线与椭圆相切，所以，
因为，即，则，
所以，当且仅当时，等号成立，此时．
故当时，取得最小值， 最小值为．
【小问3详解】
易知椭圆
不妨设为椭圆上的任意一点，此时，（1）
不妨设的垂心的坐标为，连接，
因为，又，所以，
因为，所以，
因为，所以，（2），
联立（1）（2），解得，
因为点在椭圆上，所以．故的垂心在椭圆上．
知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为．