北京市海淀区2024-2025学年七年级上学期期末模拟考试 数学试卷（含解析）

这是一份北京市海淀区2024-2025学年七年级上学期期末模拟考试 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入50元记作+50元，则﹣20元表示（ ）
A．收入20元B．收入30元C．支出20元D．支出30元
2． 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的谈水资源总量为27500亿米3，这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．275×1010B．27.5×1011C．2.75×1012D．2.75×1013
3．2023年11月4日，我国国产首艘大型邮轮“爱达·魔都号”正式命名交付，“爱达·魔都号”犹如一座“海上现代化城市”，长323.6米，宽37.2米，最大高度72.2米，邮轮总吨位达135500吨．将数字135500用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
4．如果a＝b，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．B．a＝－bC．D．ab＝1
5．木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）．
A．两点确定一条直线B．两点之间，线段最短
C．两点之间，直线最短D．经过一点有无数条直线
6．根据等式的性质，下列变形正确的是（ ）．
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
7．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（ ）
A．B．C．D．
8．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（ ）
A．5组B．7组C．9组D．11组
二、填空题（本大题共8小题）
9．亮亮准备从学校出发，开车去南山滑雪场滑雪，他打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，．能解释这一现象的数学知识是 ．
10．多项式是 次 项式．
11．如图，小军从村庄（点O所在位置）到公路（直线l）有四条小道，分别是，其中路程最短的是，小军判断的依据是 ．
12．用代数式表示：与的差的平方 .
13．北京冬季某一天的温差是，若这天的最高气温是，则最低气温是 ．（用含的式子表示）
14．举例说明“若是有理数，则”是错误的，请写出一个的值： ．
15．一种商品每件成本为a元，按成本增加25%定价，售出60件，可盈利 元（用含a的式子表示）．
16．黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是 ．
三、解答题（本大题共12小题）
17．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．化简：
(1)；
(2)．
19．计算：．
20．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小亮同学的解题过程：
上述小亮的解题过程中
(1)第②步的依据是_________________________________________________；
(2)第____（填序号）步开始出现错误，请写出这一步正确的式子_______________．
21．解方程
(1)
(2)
22．填空，完成下列说理过程
如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OA平分∠DOE，若∠BOC＝20°，求∠COE的度数
解：因为∠AOB＝90°．
所以∠BOC+∠AOC＝90°
因为∠COD＝90°
所以∠AOD+∠AOC＝90°．
所以∠BOC＝∠AOD． （ ）
因为∠BOC＝20°．
所以∠AOD＝20°．
因为OA平分∠DOE
所以∠ ＝2∠AOD＝ °． （ ）
所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝ °
23．已知点C，N在射线AB上，点M是线段AC的中点．
(1)如图，当点C在线段AB上时，若点N是线段CB的中点，AC＝10，BC＝14，求线段MN的长；
(2)当点C在线段AB的延长线上时，若CN∶BN＝1∶2，AC＝a，BC＝b，直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）．
24．对于数轴上的定点P和动点M，如果满足：①点M以速度v沿数轴正方向运动，经过点P后以速度继续沿数轴正方向运动；②点M以速度v沿数轴负方向运动，经过点P后以速度继续沿数轴负方向运动，那么称定点P为变速点．点A，B都在数轴上，点A表示的数为0，点B表示的数为12
(1)已知线段的中点是变速点，①若点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则在第 秒时与点B重合；②若点E从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则在第 秒时与点A重合．
(2)已知在线段上存在一变速点K（不与点A，B重合），点K表示的数为k．点F从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点G从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，若它们在点H处相遇，且点H表示的数为7，求k的值．
25．如图，点是线段上的点，点是线段的中点，，，求线段的长．

请将下面的解题过程补充完整：
解：__________________，，，
_________．
点是线段的中点，
_________．（理由：__________________）
_________．
26．阅读材料：
学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道题，解方程：．
小东同学的解答过程如下：
解方程：．
解： ……第①步
……第②步
……第③步
……第④步
……第⑤步
解决问题：
(1)解答过程中的第①步依据是_______________________________________；
(2)检验是否为这个方程的解？___________．（填“是”或“否”）
27．如图，射线，分别是和的平分线，且．

(1)求的度数；
(2)当在内转动时，的度数是否会发生变化？简单说明理由．
28．给定一个十进制下的自然数x，对于x每个数位上的数，求出它除以2的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数x的“模二数”，记为．如，．对于“模二数”的加法规定如下：将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位上的数分别相加，规定：0与0相加得0；0与1相加得1；1与1相加得0，并向左边一位进1．如735、561的“模二数”111、101相加的运算过程如图所示．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)的值为______，的值为______；
(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数为“模二相加不变”．
①判断12，65，97这三个数中哪些与23“模二相加不变”，并说明理由；
②与23“模二相加不变”的两位数有______个．
参考答案
1．【答案】C
【分析】结合题意运用正负数的意义进行求解．
【详解】解：与收入意义相反的量是支出，
若收入50元记作元，则元表示支出20元，
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：27500亿=2750000000000=2.75×1012．
故此题答案为C．
3．【答案】C
【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【详解】解：，
故此题答案为C．
4．【答案】C
【分析】等式的基本性质1：等式的两边都加上或减去同一个数（或整式），所得的结果仍然是等式；性质2：等式的两边都乘以同一个数（或整式），所得的结果仍然是等式，等式的两边都除以同一个不为0的数（或整式），所得的结果仍然是等式；根据等式的基本性质逐一判断即可.
【详解】解： a＝b， 故A，B不符合题意；
a＝b，故C符合题意；
故D不符合题意；
故此题答案为C
5．【答案】A
【详解】解：木工师傅锯木板时，往往先用墨盒经过木板上的两个点弹出一条笔直的墨线，然后就可以使木板沿直线锯下，能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，故A正确．
故此题答案为A．
6．【答案】B
【分析】此题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．
【详解】解：A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果，那么，故该选项正确，符合题意；
C. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果，当时，那么，故该选项不正确，不符合题意．
故此题答案为B．
7．【答案】D
【分析】根据展开图可知，黑白两圆所在的小正方形为相对面，两个三角形所在小正方形为相邻面可排除A，B，由阴影三角形与白色圆的位置可排除C，据此进行判断即可．
【详解】解：观察可知，该正方体可能为：
故此题答案为D．
8．【答案】C
【分析】由题干可得出：线段的总长为45，那么可得正方形的最大边长；根据组成正方形的线段的条数可得最小的边长，看共有几种取法即可．
【详解】解：显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．
又因为，所以正方形的边长不大于．
由于； ；
； ；
．
所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法．
故满足条件的“线段组”的组数为，
故此题答案为C．
9．【答案】两点之间，线段最短
【详解】解：亮亮打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，，
能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．
10．【答案】 三 四
【分析】多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式的概念解答即可．
【详解】解：∵有4个项，最高次项是3次，
∴多项式是三次四项式．
11．【答案】垂线段最短
【详解】由可知，四条小道中最短的是，判断的依据是垂线段最短
12．【答案】
【分析】先求m与n的差，再求差的平方即可.
【详解】与的差的平方是：
13．【答案】/
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】解：某一天的温差是，最高气温是，
最低气温是．
14．【答案】（答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质得出，即可解答．
【详解】解：，
，
∴当时，是错误的
15．【答案】
【分析】根据利润=售价-进价列出代数式即可．
【详解】解：一种商品每件成本为a元，按成本增加25%定价，售出60件，可盈利（元）．
16．【答案】
【分析】操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1．经过次操作，剩下的一个数是，据此解答即可．
【详解】解：∵每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加1），
∴操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1，
（次），
∴剩下的这个数是．
答：剩下的这个数是
17．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）除法运算转化成乘法运算，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
（3）根据乘法分配律计算；
（4）先算乘方，再算乘除法，最后算加减．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．【答案】(1)
(2)
【分析】对于（1），先去括号，再合并同类项即可；
对于（2），先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
19．【答案】
【分析】根据含乘方的有理数混合运算进行解答即可
【详解】解：
20．【答案】(1)等式基本性质2；(2)③；
【分析】（1）根据解一元一次方程的基本步骤和依据逐一判断即可得；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）第②步的依据是：等式基本性质2；
（2）第③步开始出现错误，这一步正确的式子：．
21．【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）按照去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤进行求解即可；
【详解】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1：得，．
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：．
22．【答案】同角的余角相等，DOE，40°，角平分线的定义，50°．
【分析】根据余角的性质先求出∠AOD=∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠DOE的度数，再根据∠COE＝∠COD﹣∠DOE即可求得答案.
【详解】因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC+∠AOC＝90°，
因为∠COD＝90°，
所以∠AOD+∠AOC＝90°，
所以∠BOC＝∠AOD(同角的余角相等)，
因为∠BOC＝20°，
所以∠AOD＝20°，
因为OA平分∠DOE，
所以∠DOE＝2∠AOD＝40°(角平分线的定义)，
所以∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝50°
23．【答案】(1)12
(2)或
【分析】（1）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论；
（2）若点在的延长线上，分点在之间和点在的延长线上时两种情况再根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【详解】（1）解：（1）∵点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴
∵AC＝10，BC＝14，
∴MC＝5，CN＝7，
∴MN＝MC＋CN＝12．
（2）若点在的延长线上，点在之间时，如图，
是的中点，
，
，且，
，
．
若点在的延长线上，点在的延长线上时，如图，
是的中点，
，
，且，
，
．
24．【答案】(1)①9②18
(2)3或9
【分析】（1）直接根据与变速点有关的计算规律进行计算即可；
（2）分三种情况，结合与变速点有关的计算规律列方程求解即可．
【详解】（1）①∵点A表示的数为0，点B表示的数为12，
∴的中点表示的数是6，
∴点D与点B重合所需时间为：（秒），
②点E与点A重合所需时间为：（秒）
（2）当时，点H表示的数为6，显然不成立，所以舍去；
当时，则点F先经过点K，
可得，
解得，
当时，则点G先经过点K，
可得12－k＋2（k－7）＝7，
解得，
综上，k的值为3或9．
25．【答案】，；4；，线段中点的定义；2．
【分析】先由线段的和差求出的长，再根据中点定义即可求出的长．
【详解】解：，，，
．
点是线段的中点，
．（理由：线段中点的定义）
．
26．【答案】(1)等式的性质：等式两边同时乘以一个不为零的数(或整式)，等式仍然成立
(2)否
【分析】(1)根据等式的性质，即可解答；
(2)把代入原方程，看方程两边是否相等，若相等则是原方程的解，否则不是．
【详解】（1）解：解答过程中的第①步依据是：等式的性质：等式两边同时乘以一个不为零的数(或整式)，等式仍然成立，
故答案为：等式的性质：等式两边同时乘以一个不为零的数(或整式)，等式仍然成立；
（2）解：把代入原方程，得
左边，右边，
左边右边，
不是原方程的解
27．【答案】(1)
(2)不会发生变化，理由见解析
【分析】（1）由，分别是和的平分线，利用角平分线的定义及等量代换即可得出所求角的度数；
（2）当在内转动时，的度数不会发生变化，根据（1）的过程即可得到结果．
【详解】（1）解： ，分别是和的平分线，
，，
；
（2）当在内转动时，的度数不会发生变化，
由（1）可得，
所以只要的大小不变，无论在内怎样转动，的度数不会发生变化．
28．【答案】(1)，
(2)①12，97都与23“模二相加不变”；②38
【分析】（1）根据新定义运算即可；
（2）分别求出，，，，再求出，，， ，，，即可求解；
（3）根据模二结果数分别为10，11，01，00分别讨论可得答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：，；
（2）①，，，，
，，，
，，，
，，
12，97都与23“模二相加不变”．
②模二结果是10有：12，32，52，72，92，14，34，54，74，94，16，36，56，76，96，18，38，58，78，98，10，30，50，70，90共25个，
它们与模二数的和是11，
12，32，52，72，14，34，54，74，16，36，56，76，10，30，50，70满足题意；
模二结果是11的有：11，31，51，71，91，13，33，53，73，93，15，35，55，75，95，17，37，57，77，97，19，39，59，79，99，共25个，
它们与模二数23的和是100，
77，97，79，99满足题意；
模二结果是01的有：21，23，25，27，29，41，43，45，47，49，61，63，65，67，69，81，83，85，87，89共20个，
它们与模二数23的和是10，
27，29，47，49，67，69满足题意；
模二结果是00的有：20，22，24，26，28，40，42，44，46，48，60，62，64，66，68，80，82，84，86，88，共20个，
它们与模二数23的和是01，
20，22，24，26，40，42，44，46，60，62，64，66满足题意；
共有38个．解方程：
解：原方程可化为：． ……第①步
方程两边同时乘以15，去分母，得：． ……第②步
去括号，得：． ……第③步
移项，得：． ……第④步
合并同类项，得：． ……第⑤步
系数化1，得：． ……第⑥步
所以为原方程的解．