2024-2025学年江苏南京市高三上学期11月联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏南京市高三上学期11月联考数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了 已知，是椭圆， 已知点，，直线等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数，在复平面内对应点关于实轴对称，，则的虚部为（ ）
A. B. 3C. D.
3. 已知向量，，则（ ）
A. “”是“”的充分条件B. “”是“”的充分条件
C. “”是“”的必要条件D. “”是“”的必要条件
4. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆锥母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，，直线.为圆：上的动点，下列选项中正确的是（ ）
A. 若圆关于对称，则B. 与圆总有公共点
C. 面积的最大值为D. 面积的最小值为
10. 根据气象学上的标准，从秋季进入冬季的标志为连续5天的日平均温度均低于.现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（ ）
A. 平均数为3，极差为2B. 中位数为7，众数为9
C. 众数为5，极差为6D. 平均数为4，方差为2
11. 若数列满足，则称数列为项数列，集合是由所有项数列构成，现从集合中任意取出两个数列，，记随机变量，下列选项中正确的是（ ）
A. 中有16个元素
B. 的所有可能取值为0，1，2，，
C.
D. 若期望，则的最小值为32
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答）
13. 已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为______
14. 在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的首项，且满足.
（1）求数列的通项；
（2）若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.
16. 如图，在棱长为2正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点.
（1）若点为中点，证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
17. 在直角梯形中，已知，，，，.
（1）求；
（2）若动点，分别在线段，上，且与面积之比为，试求的最小值.
18. 已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与.
（1）求的方程；
（2）当斜率为1时，求直线的方程；
（3）求证：为定值.
19. 已知函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数.
（i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合.
（ii）当时，若，使得成立，求实数取值范围.
高三数学答案
一、选择题： 1.
【正确答案】C
2.
【正确答案】D
3.
【正确答案】B
4.
【正确答案】B
5.
【正确答案】C
6.
【正确答案】D
7.
【正确答案】A
8.
【正确答案】A
9.
【正确答案】BC
10.
【正确答案】ABD
11.
【正确答案】ACD
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【正确答案】56
13.
【正确答案】
14.
【正确答案】
三、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
【正确答案】（1）
（2）40
【分析】（1）方法1：将化为，代入计算，即可得到结果；方法2：将原式裂项，然后计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
设公差为，
方法1.，，
，.
方法2..
，，.
【小问2详解】
由（1）知，
.
，
即，
，.
16.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）连接，由线面平行判定定理证明即可；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，代入空间向量的线面角公式求出，再求出平面的一个法向量，代入空间向量的二面角公式求解即可；
【小问1详解】
如图所示：连接，
点、分别是，的中点，
，
又，且，
四边形是平行四边形，
，，
又平面，且平面，
面.
【小问2详解】
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A2,0,0，，，，，，，
设，，，
设平面的一个法向量是，
则，取得，
因为直线与平面所成的角的正弦值为，
所以，解得（负值舍去）
故，则平面的一个法向量是
，，
设平面的一个法向量是m=x,y,z，
则，取得，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17.
【正确答案】（1）6 （2）4
【分析】（1）作，垂足为，设，，，由，即可求解；
（2）设，，由，得到，再结合三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
作，垂足为，设，，，由于，则，，
又，所以
，
解得（舍去），
所以.
【小问2详解】
设，
由（1）.
由题：，.
又，.
.
当且仅当时取等号
.
18.
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；
（2）分别联立直线，直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；
（3）分别联立直线，直线与双曲线方程，表示出点坐标，即可得到直线的斜率以及直线的方程，再由点到直线的距离公式分别得到到的距离以及到的距离，即可得到结果.
【小问1详解】
由，得，又因为，所以，
所以，所以.
【小问2详解】
由题知：，设Ax1,y1,Bx2,y2，则，
联立，消去可得，
则，所以，
则，
又直线，互相垂直，则，设，
则，
联立，消去可得，
则，所以，
则，所以.
【小问3详解】
由题意可知， 的斜率不为0，设 ： ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 .
由可得，.
所以，，，所以.
所以，所以.
同理可得：，.
令，得.
当，，时，
直线的斜率.
所以：，
化简得：，即为.
所以到的距离，
所以到的距离，
所以.
由（2）知，当时，，所以.
19. 【正确答案】（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况分析判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（2）（i）设点和点，不妨设，然后根据导数的几何意义分别求出在两点处的切线，的方程，假设与重合，然后列方程组消去，得，化简后构造函数讨论即可；（ii）先解决对于，不等式恒成立，令，则在上恒成立，由，解得，然后利用证明当时，在上恒成立，从而可求出，使得成立时，的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为，
由，得，
①当时，，在上单调递增；
②当时，则当时，，单调递增；
则当时，，单调递减；
综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；
【小问2详解】
（i）由，得，
设点和点，不妨设，
则曲线在点处切线方程为，
即；
同理曲线在点处的切线方程为；
假设与重合，则，
化简得，.
两式消去，得，则，
令，，由，
所以在上单调递增，所以，即无解，
所以与不重合，即对于曲线在任意两个不同点处的切线均不重合.
（ii）当时，先解决对于，不等式恒成立，
令，，则在上恒成立，
由，解得.
下面证明当时，在上恒成立.
则当时，，令，
则，
则当时，由，，则，
则在上单调递增，所以；
当时，令，
则，则在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以成立，
所以对于，不等式恒成立时，实数的取值范围为.
所以，使得成立时，的取值范围为.
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为求对于，不等式恒成立，即求原命题的否定后的的取值范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.