2024-2025学年湖南省高二上学期11月期中联考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年湖南省高二上学期11月期中联考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列说法错误的是（ ）
A．若空间中点，，，满足，则A，，三点共线
B．对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面
C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
D．，，若，则与的夹角为锐角
4．在长方体中，已知，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．抛物线y2=2pxp>0的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，，，动点在体对角线上，直线与平面所成角的最小值为，则直四棱柱的体积为（ ）

A．B．C．D．
8．已知，分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
10．如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．存在点使直线与平面所成角为
11．曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（ ）
A．点到轴距离的最大值为B．点到原点距离的最大值为
C．周长的最大值为D．最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .
13．在中，，点在上，满足，，.则的面积为
14．已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为 、
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线，，其中、
(1)若直线经过点，且，求的值；
(2)若直线，当直线与直线的距离最大时，求直线的方程.
16．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
(1)求王阳第三次答题通过面试的概率；
(2)求王阳最终通过面试的概率.
17．如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点.

(1)证明：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知圆与圆，，.
(1)当时，直线与圆交于，两点，若，求MN；
(2)若，圆与圆只有一条公切线，求的最小值.
19．如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)当时，点的轨迹方程记为.
（i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，
，
所以.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】因为直线与直线垂直，
等价于，即，
所以“”是“直线与直线垂直”的充要条件.
故选：A.
3．【正确答案】D
【详解】对于选项A：因为，且，
所以，，三点共线，故A正确；
对于选项B：因为，
可得，且，
所以，，，共面，故B正确；
对于选项C：若共线，则对任意，均有共面，故C正确；
对于选项D：例如，则，，
可知，即同向，所以与的夹角为，故D错误；
故选：D.
4．【正确答案】C
【详解】在长方体中, 以 点为原点, 分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
因为，，则，，，，
可得 ,
则，
则直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
5．【正确答案】A
【详解】由题意可知：，
设，则，
因为，即，
解得，则，即，
又因为的面积为，且，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
6．【正确答案】B
【详解】由题意得，，
因为，
又，即，
即，
化简得点的轨迹为，即在直线上，
表示的几何意义为点到原点距离的平方，
故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值，
即最小值为.
故选：B.

7．【正确答案】D
【详解】设，

因为底面为菱形，则，
又因为底面，底面，则，
且，平面，则平面，
可知直线与平面所成角为，
则，可得，
因为，可知当点与点重合时，取到最大值，
则，
所以直四棱柱的体积为.
故选：D.
8．【正确答案】C
【详解】由题意可知：，，且，

在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C.
9．【正确答案】BD
【详解】设的最小正周期为，
则，即，
且，则，解得，故B正确；
则，
因为，可得，
又因为，则，
可得，解得，故A错误；
所以，
对于选项C：因为，
所以的图象关于点对称，故C错误；
对于选项D：令，
因为（为最小值），所以的图象关于直线对称，故D正确；
故选：BD.
10．【正确答案】BC
【详解】对A，若直线平面，则因为平面，则，矛盾，故A错误；
对B，作辅助线如图，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，面，面，故面，
同理得，面，面，故面，
又因为面，面，，
所以平面平面，
又因为P点在平面内，
所以，故B正确；
对于C，三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确；
对D，设到平面的距离为，又，
故，又三棱锥的体积为，
则，解得，设直线与平面所成角为，
则，又，即，
故，即，故不存在使得，
即不存在点使直线与平面所成角为，故D错误.
故选：BC
11．【正确答案】BD
【详解】由题意可知：，，设Px,y，
对于选项A： 因为，
即，解得，
当且仅当时，等号成立，
所以点到轴距离的最大值为，故A错误；
对于选项B：因为，
且，
则且，
可得，则，即，
当且仅当同向时，等号成立，
所以点到原点距离的最大值为，故B正确，
对于选项C：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以周长的最小值为，故C错误；
对于选项D：因为，
当且仅当时，等号成立，
可得，所以最大值为，故D正确；
故选：BD.
12．【正确答案】1
【详解】由双曲线方程可得，
不妨设，则，，
若，则，可得，
即，则，
所以的面积为.
故1.
13．【正确答案】
【详解】设，则，．
在中，．
在中， ，
解得，故，
所以．
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由题意得，取点，设圆的圆心为，
则，所以，又因为，
所以，则，
.
，即求得最小值，
设，则，
令.
当时，，即的最小值为.
故答案为.

15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由直线过，则，此时
当时，，解得，经验证此时两直线平行.
（2），即，当，，则直线恒过定点，
，令，则，则直线恒过定点，
故当且与和的连线垂直时，与的距离最大，
因为两定点连线斜率为，则此时的斜率为，
故，
直线的方程为:.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）记“王阳第三次答题通过面试”为事件，
若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过，
所以王阳第三次答题通过面试的概率为.
（2）记“王阳最终通过面试”为事件，
王阳未通过面试的概率为，
所以王阳最终通过面试的概率.
17．【正确答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）过作，垂足为，
在等腰梯形中，，，，

可知，所以，
故，
可得，
则，即，
又因为，则，
且，平面，平面，可得平面，
由平面，所以.
（2）因为平面，平面，则平面平面，
过点作平面，则平面，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
则，，，
设平面法向量为，
则，
令，则，，
可得为平面的一个法向量，
设平面法向量为，
则，
令，则，，
可得为平面的一个法向量，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2)9
【详解】（1）若，则圆的圆心为O0,0，半径，
因为，
所以.
（2）因为圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆内切，
则，则，
即，且，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值9.
19．【正确答案】(1)
(2)（i）没有交点，理由见详解；（ii）
【详解】（1）设Mx,y，
因为，则，
又因为点在圆上，则，
所以点的轨迹的方程为.
（2）若，则的方程为，即，
（i）与圆没有交点，理由如下：
由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点），
但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点；
（ⅱ）由题意可知：，

设，则直线，
联立方程，消去y可得，
则，可得，
则，
令，解得，
由题意可知，
因为，则，
又因为，可得，
所以的取值范围为.