2024-2025学年湖南省长沙市高二上册期末数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市高二上册期末数学检测试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．若直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第20项B．第21项
C．第22项D．第23项
4．圆的圆心和半径分别（ ）
A．，B．，5
C．，D．，5
5．在等差数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知等比数列{an}的公比，则等于（ ）
A．B．C．D．9
7．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（ ）
A．B．1C．3D．7
8．已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．（多选题）下列说法中，正确的有（ ）
A．已知直线：，始终过定点
B．直线在轴上的截距是
C．直线的倾斜角为30°
D．过点并且倾斜角为90°的直线方程
10．对抛物线,下列描述正确的是（ ）
A．开口向左，焦点为B．开口向左，准线方程为
C．开口向下，准线方程为D．开口向下，焦点为
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．是共线的充要条件
C．若共线，则
D．对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则P，，，四点共面
12．已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则时最大
C．若，则使为负值的n的值有6个D．若，则
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知，，且，则 ．
14．已知两直线方程分别为，若，则 ．
15．动点P到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为 ．
16．已知数列的前项和，设数列的前项和为，则的值为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知圆．
(1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：
(2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值．
18．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，，焦点在x轴上；
(2)焦点为，，且；
(3)，．
19．已知椭圆的离心率为，右焦点为．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
20．已知等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和为.
21．已知等差数列的前n项和为，，．在正项等比数列中，，．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
22．如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
答案
1．【正确答案】D
【分析】根据向量加法，减法的几何意义及相等向量的定义进行化简即可.
【详解】解：=，所以D正确，A，B，C错误.
故选：D
2．【正确答案】B
【分析】由斜率与倾斜角的关系计算即可得.
【详解】由，故.
故选：B.
3．【正确答案】D
【分析】由即可得.
【详解】，故为第23项.
故选：D.
4．【正确答案】A
【分析】由题意将圆的一般方程化为标准方程，再求出圆心坐标和半径长.
【详解】将方程化为标准方程：，
则圆心坐标为，半径长等于.
故选：A
5．【正确答案】B
【详解】根据给定条件，利用等差数列下标和性质计算即得.
【分析】在等差数列中，，而，因此，
所以.
故选：B
6．【正确答案】D
【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，即可求解.
【详解】等比数列{an}的公比，
则．
故选：D．
7．【正确答案】A
【分析】利用正四面体的性质，结合空间向量数量积的运算法则即可得解.
【详解】将正四面体放在正方体中，如图，

因为在正四面体中，棱长为2，两两夹角为，
所以，
因为是棱中点，所以，
又，
所以
.
故选：A.
8．【正确答案】D
【分析】根据已知得到，结合关系式即可求出结果.
【详解】由题知等腰三角形的三边为，，，
则，
即有，解得.
故选：D
9．【正确答案】ABD
【分析】代入验证可判定A;根据纵截距的定义可判定B；根据直线的斜率与倾斜角的关系可以判定C；根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，进而可以判定D.
【详解】∵,可知A正确；
由直线的斜截式方程可知，B正确；
由方程可得直线的斜率为，可知倾斜角为60°，故C错误；
根据倾斜角为90°的直线斜率不存在，方程为的形式，再根据经过点(5,4),∴直线的方程为，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】CD
【分析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出其开口方向以及准线方程、焦点坐标.
【详解】抛物线的标准方程为，则，可得，
所以，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，其开口向下，
故选：CD.
11．【正确答案】AD
【分析】由空间向量的概念与运算对选项逐一判断．
【详解】对于A，，故A正确，
对于B，当同向时，，当反向时，，故B错误，
对于C，若共线，则或四点共线，故C错误，
对于D，由空间向量基本定理得若，
则，化简得，
故P，，，四点共面，故D正确，
故选：AD
12．【正确答案】AD
【分析】直接利用等差数列的通项公式和前n项和的基本量计算，结合等差数列的性质的应用，判断各选项的结论.
【详解】选项A：，故A正确；
选项B：，则，当时，，
则，所以，，
则当时最大，故B错误；
选项C：，则当时，，
故，
所以使为负值的n的值有5个，分别为1，2，3，4，5，故C错误；
选项D：若，则，又，即，
于是，，，故D正确．
故选：AD
13．【正确答案】
【分析】依题意存在实数使得，再根据向量相等得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，，且，
所以存在实数使得，所以，即，解得
故
14．【正确答案】2
【分析】由两直线平行，则斜率相同列方程可求得结果
【详解】因为，且，
所以，得，
故2
15．【正确答案】．
【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.
【详解】解：因为，
由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为10的椭圆，
所以，，
所以点的轨迹方程是.
故
16．【正确答案】
【分析】利用与的关系求解的通项公式，再用裂项相消法求.
【详解】时，，，时，，
，检验：符合上式，所以，
，
.
故
17．【正确答案】(1)，圆心坐标，半径为
(2)或
【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；
（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案
【详解】（1）由，得，
则圆的标准方程为，
圆的圆心坐标，半径为．
（2）由，得圆心到直线的距离为，
则圆心到直线的距离，得或．
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）求得，由此求得双曲线的标准方程.
（2）求得，由此求得双曲线的标准方程.
（3）根据双曲线焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得双曲线的标准方程.
【详解】（1），
双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程为
（2），
双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程为
（3）当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为，
当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的标准方程为.
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的性质即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求解.
【详解】（1）由，得，
∴椭圆方程为
（2）由题意可知直线的方程为：，
由得，
解得．
∴．
20．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解；
（2）根据等差数列的前项和公式计算即可.
【详解】（1）设公差为，
由，，
得，解得，
所以；
（2）.
21．【正确答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由基本量法求出即可；
（2）采用错位相减法求出即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，由条件得，，解得，
所以；
设正项等比数列的公比为q，由条件得，所以，
解得或（负值舍去），所以．
（2），
所以，
所以，
相减得，
，
所以．
22．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由于点分别为棱的中点，应用中位线定理可得，从而得到了证明线面平行所需的线线平行；
（2）首先以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求平面和平面的法向量，进而用空间向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）证明：因为点分别为棱的中点，
所以.
又平面，平面，且，
所以平面ADE.
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，
得，.
设平面的法向量为，
则取，则，，
即.
由平面，得平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.