2024-2025学年河北省邢台市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省邢台市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．关于空间向量，下列运算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，，若，，共面，则（ ）
A．0B．1C．2D．－1
5．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
7．若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
8．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（ ）
A．直线过点B．直线的倾斜角为
C．D．是等边三角形
10．圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．直线的方程为
B．线段的中垂线方程为
C．
D．点与点之间的距离的最大值为8
11．若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ）

A．若，则
B．存在点H，使得平面
C．线段长度的最小值是
D．存在点H，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．若直线与互相垂直，则 .
13．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 .
14．已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知在中，，，，记的外接圆为圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且与圆相切的直线的方程.
16．如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.

(1)证明：平面.
(2)求二面角的余弦值.
17．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，.
(1)求与的标准方程；
(2)过点且与相切的直线与交于点，求.
18．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面.
(1)证明.
(2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19．已知为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上.
答案
1．【正确答案】C
令双曲线方程的右边为0，两侧开方，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【详解】解：双曲线标准方程为，
其渐近线方程是，
整理得．
故选：．
2．【正确答案】D
【详解】根据空间向量数量积的运算律可知：，，
均成立，即A、B、C正确；
为与共线的向量，
为与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误．
故选：D
3．【正确答案】A
【详解】由题意可得解得，
所以椭圆的方程为.
故选：A
4．【正确答案】D
【详解】因为共面，所以，
即，
则解得.
故选：D.
5．【正确答案】C
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，
由点可得，解得，所以.
当时，，所以水面宽度为.
故选：C.
6．【正确答案】A
【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，
设、，由题意可得，，
则，两式相减可得，
所以，，解得，
因此，直线的斜率为.
故选：A.
7．【正确答案】D
【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称.
设，由两圆外切可得，
所以,
所以的轨迹为双曲线的右支.
设的轨迹方程为，则，
所以轨迹方程为.
故选：D
8．【正确答案】B
【详解】设，则，，
因为，所以，
即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.
点在直线上，
所以直线与圆有公共点，
则，解得
故选:B.
9．【正确答案】ABD
【详解】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确；
设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，，
所以，即直线的倾斜角为，故B正确；
因为，故C错误；
因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，，
又，所以是等边三角形，故D正确.
故选：ABD.

10．【正确答案】ABD
【详解】对于A，将两圆的方程作差，可得，即直线的方程为，A正确.
对于B，圆，圆，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，，线段的中垂线经过和的圆心，故线段的中垂线方程为，故B正确.
对于C，圆的圆心到直线的距离为，故，C错误.
对于D，点与点之间的距离的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11．【正确答案】ABC
【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，

则，，，，，
故，，
所以，即Q，B，N，P四点共面，
若，则，解得，A正确；
对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，
过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，
则，，，，
故，，，，
易得是平面的一个法向量，若平面，
则，即，解得，符合题意，
所以存在点H，使得平面，B正确，
对于C：，
当时，取得最小值，最小值为，C正确.
对于D：若，则，
得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.
故选：ABC
12．【正确答案】1
【详解】直线的斜率，则直线的斜率，解得.
故1
13．【正确答案】6
【详解】棱长为的正方体中，
连接，则是边长为的等边三角形，
..
故选：
14．【正确答案】2
【详解】由题意可知，，
所以.
因为，所以，即，
所以，
故2.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为，
所以线段的中垂线方程为，
直线的方程为，、的中点为，
线段的中垂线方程为.
直线与直线的交点为，即圆的圆心为.
点与点的距离为，
即圆的半径为，所以圆的标准方程为.
（方法二）设圆的标准方程为，
则，
解得
故圆的标准方程为
（2）圆的圆心为，，直线的斜率为，
所以切线斜率为，所求切线方程为，
整理得.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）

设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则.
证明.
因为，所以，
平面ACD1，所以平面.
（2）易知为平面的一个法向量，且.
.
易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
17．【正确答案】(1)的标准方程为，的标准方程为
(2)
【详解】（1）记，则抛物线的方程为，其准线方程为.
因为，所以，解得，则的标准方程为.
不妨设点在第一象限，记，因为，
所以，解得.因为，所以，即.
由解得
所以的标准方程为.
（2）
不妨设点在第一象限，则.
设直线.
联立得.
由，解得，则.
设.
联立得，则，
故.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接.
因为为等边三角形，所以.
因为为等腰直角三角形，且，所以.
因为平面平面，所以平面，
所以.
（2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则
.
设平面的法向量为n=x,y,z，
则即
令，则，所以.
设直线与平面所成的角为，
则
，当且仅当时，等号成立.
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为圆过点，得，所以，.
在中，，
所以，
所以是等边三角形，.
双曲线的一条渐近线的斜率为，即，所以.
故的方程为.
（2）证明点在曲线上，即证明点在曲线上.
设直线，则.
联立得，
则.
直线的方程为，直线的方程为
将直线与直线的方程变形可得,
即,
得，
即，
即，
化简可得.
得，
，
，
，
化简得.
将代入可得，
即点在曲线上.