梅河口市第五中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份梅河口市第五中学2025届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数（i为虚数单位）复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．设集合，，则( )
A.B.C.D.
3．已知数列满足，若，则( )
A.B.C.12D.36
4．已知向量，，若，则( )
A.-6B.0C.D.
5．遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为( )（参考数据：，）
A.80小时B.90小时C.100小时D.120小时
6．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为( )
A.B.7C.D.
7．已知为锐角，，则( )
A.B.C.D.
8．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若函数的定义域为，则函数的定义域为
B.的最大值为
C.的图象关于成中心对称
D.的递减区间是
10．已知等比数列的前n项和为，公比，，则( )
A.一定是递增数列
B.可能是递增数列也可能是递减数列
C.、、仍成等比
D.，
11．已知,则( )
A.B.C.D.
12．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是( )
A.
B.当时，函数单调递增
C.当时，的最大值为
D.当时，
三、填空题
13．展开式的常数项为________.
14．国家鼓励中小学校开展课后服务，某中学为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团.目前话剧社团、书法社团、舞蹈社团、朗诵社团分别还可以接收1名学生，恰好甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进朗诵社团，乙进书法社团或舞蹈社团的概率为________.
15．将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是________.
16．已知正实数x,y满足，则的最小值为________.
四、解答题
17．已知锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若.
(1)证明：;
(2)若,求的取值范围.
18．已知数列的前n项和为，且,.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
19．某专营店统计了最近5天到该店购物的人数和时间第天之间的数据，列表如下：
(1)由表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？（若，则认为线性相关程度高，可用线性回归模型拟合；否则，不可用线性回归模型拟合.计算r时精确到0.01）
(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买一件价值1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选哪种方案更优惠？
参考数据：.附：相关系数.
20．如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，Q是线段上的一点，.
(1)若，证明：平面；
(2)若，且二面角为直二面角，求实数的值.
21．已知函数，函数与关于点中心对称.
(1)求的解析式；
(2)若方程有两个不等的实根，，且，求a的值.
22．已知函数.
(1)若，求的极值.
(2)若方程在区间上有解，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D
2．答案：A
解析：由，得，，，
，
故选：A
3．答案：D
解析：由可知数列是公比为的等比数列，
所以，
解得：.
故选：D.
4．答案：C
解析：由向量，
因为，所以，，
所以.
故选:C.
5．答案：C
解析：根据题意得，整理得到，两边取以10为底的对数，得到，即，又，，所以，得到，
故选：C.
6．答案：D
解析：因为，所以函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以为奇函数，且易知在R上单调递减，
又，即
所以，即，
，当且仅当即,时等号成立，
故选：D
7．答案：C
解析：由，
得，
则，由为锐角，则，
又，，
故，
所以
，
由二倍角余弦公式得，则.
又为锐角，所以，
故.
故选：C.
8．答案：B
解析：当，恒成立，
，即恒成立.
不妨令，则
设，有，，
当时，，在上单调递增，有，
所以时，，当且仅当时等号成立.
故，
当且仅当，即时上式取得等号，
由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解，
所以，得.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对于A，由题意得，得，所以函数的定义域为，所以A正确，
对于B，令，则，因为，且在定义域内递减，
所以，所以的最小值为，所以B错误，
对于C，因为，所以是由反比例函数向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，
因为的对称中心为，所以的对称中心为，所以C正确，
对于D，由，得或，所以函数的定义域为，令，则，
因为在上递减，在上递增，且在上递增，
所以在上递减，在上递增，所以D错误，
故选：AC
10．答案：BCD
解析：对于A，当，时，为递减数列，故A错误；
对B，当，时，为递减数列，当，时，为递增数列，故B正确；
对C，等比数列，则、、仍成等比，故C正确；
对D，等比数列中，，则必不为0，故D正确.
故选：BCD.
11．答案：BCD
解析：对于A中，由，可得，所以A不正确；
对于B中，由，，可得，
所以，所以B正确；
对于C中，由，因为，所以，所以C正确；
对于D中，由，，
可得，
因为，所以等号不成立，所以，
又因为，所以，所以D正确.
故选：BCD.
12．答案：AD
解析：由题意，，，所以，
则，
又点，此时代入可得，解得，
又，所以，故A正确；
因为，当时，，
所以函数先增后减，故B错误；
当时，所以，
则，则，故C错误；
当时，，P的纵坐标为，横坐标为，
所以，故D正确；
故选：AD
13．答案：15
解析：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为，
故答案为：15.
14．答案：
解析：4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，
故答案为：.
15．答案：
解析：将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.
时，，
在y轴右方的零点为
因为函数的图象在区间内有5个零点，
所以，解得.
故答案为：.
16．答案：2
解析：变形为，
则，即，
令，则恒成立，
则，单调递增，
又，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为2.
故选：A
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)因为,由正弦定理得,
所以,
所以,
而,,则或,
即或（舍去）,故.
(2)因为是锐角三角形,所以,解得,
所以的取值范围是,
由正弦定理可得：,则,
所以,所以,
因为,所以,
所以,所以,
所以,
因为,所以,
所以的取值范围是.
18．答案：(1)，；
(2)，.
解析：（1）由，则当时
两式相减得，所以.
将代入得，，
所以对于，，故是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）.
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，.
故.
19．答案：(1)可以，理由见解析；
(2)方案二更优惠，理由见解析
解析：（1），，
所以，，
，，
所以，，
所以，y与x的线性相关性很强，故可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系.
（2）设方案一的实际付款金额为X元，方案二的实际付款金额为Y元，
由题意可知，（元），
Y的可能取值有600、800、900、1000，
，，
，，
所以，，
所以，方案二更优惠.
20．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：（1）证明：取的中点E，连接、，如下图所示：
因为M为的中点，E为的中点，则，所以，，
又因为，即，所以，，则，
因为平面，平面，所以，平面，
又因为P为的中点，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面.
（2）因为，则为等边三角形，
又因为平面，以点D为原点，、所在直线分别为x、z轴，
平面内过点D且与垂直的直线为y轴建立如下所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，其中，
，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，则，
易知平面的一个法向量为，
因为二面角为直二面角，则，即，解得.
21．答案：(1)；
(2)
解析：（1）已知函数，函数与关于点中心对称
所以，则
（2）由于方程有两个不等的实根，，不妨设
即两个不等的实根，则，由于函数是递增函数，所以①，②
因为，，则，
所以，则代入②得：，解得，
代入①得.
22．答案：(1)极小值为，无极大值；
(2)
解析：（1）因为定义域为，
所以，
当时，，，令得
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）因为，
①若，当时恒成立，所以在上单调递增
要使方程在上有解，则
即得，因为，所以.
②若，当时恒成立，所以在上单调递减，
此时不符合条件.
③若，当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，，要使方程在上有解，则需，
解得，所以.
综上可知，a的取值范围为
1
2
3
4
5
75
84
93
98
100