2025高考数学一轮复习-第11章-概率、随机变量及其分布-第4讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第11章-概率、随机变量及其分布-第4讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征【课件】，共50页。PPT课件主要包含了教材再现四基诊断，唯一的实数，p1＋p2＋＋pn，平均水平，偏离程度，aEX＋b，a2DX，重点串讲能力提升，分布列的性质，分布列的求法等内容，欢迎下载使用。
课程标准　1.了解离散型随机变量的概念．　2.理解离散型随机变量分布列．　3.理解并会求离散型随机变量的数字特征．
1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____________ ______与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称_____________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
X取每一个值xi的概率
3．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)；(2)________________＝1.
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
1．判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”).(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　)(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　)
解析：对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确．
2．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值为(　　)A.0.2　　　　　　　B． D．1解析：某运动员罚球1次的得分为X，X的取值可能为0，1，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.
3．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量为X，则P(X＝4)的值为________．
[解]　(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为从而2X＋1的分布列为
(2)由(1)知m＝0.3，列表为所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝|X－1|的分布列为
分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
例3　(2024·江苏南京模拟)设箱子里装有同样大小的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个．(1)若甲从中一次性摸出2个球，求两个球颜色不相同的概率；(2)若乙从中一次性取出3个球，设3个球中的红球个数为X，求随机变量X的概率分布列．
离散型随机变量分布列的求解步骤
有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列．
离散型随机变量的数字特征及其实际应用
角度1　离散型随机变量的数字特征例4　2023年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．
求离散型随机变量X的期望与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由期望的定义求E(X)；(5)由方差的定义求D(X).
(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
角度2　均值与方差的实际应用例5　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
[解]　(1)由题易知X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为
(2)由(1)可知E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.假设小明先回答B类问题，其累计得分为Y，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，所以E(Y)>E(X)，所以小明应选择先回答B类问题．
利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题．解题的关键如下：(1)建立模型：根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；(2)分析数据：分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
(3)求值：利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；(4)做出决策：比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．