2024-2025学年天津经济技术开发区高二上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年天津经济技术开发区高二上册12月月考数学检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1. 已知直线，，若且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】C
【分析】由两直线的平行与垂直求得值后可得结论.
【详解】由题意,，，，
所以．
故选：C．
2. 已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是（ ）
A. y2＝－11xB. y2＝11xC. y2＝－22xD. y2＝22x
【正确答案】C
【分析】
由题求出焦点，即可求出，得出抛物线方程.
【详解】在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0得，
∴抛物线的焦点为，即，，
∴抛物线的方程是.
故选：C．
3. 记为等差数列的前项和，若，，则数列的通项公式（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由等差数列前n项和公式求出公差，即可得出通项公式.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
.
故选：B.
4. 过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（ ）
A. 6B. 8C. 9D. 10
【正确答案】B
【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．
【详解】因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
故选：B．
5. 已知圆，直线则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 10D. 2
【正确答案】C
【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可.
【详解】由，
，即过定点，
由得，半径，
则当时，C到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小，
最小值为.
故选：C

6. 已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据椭圆的焦点在轴上，焦距为4，结合a,b,c之间的关系以及离心率公式可得答案.
【详解】由题得，即，
由焦距为4得，解得，
可得椭圆方程为，所以，，
所以离心率为.
故选：B.
7. 若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径，
若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，
则圆心为到直线的距离等于1，
∴，解得.
故选：B
8. 设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（ ）
A. 11B. 12C. 14D. 16
【正确答案】C
【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案.
【详解】根据双曲线的标准方程，
得,由直线为双曲线的一条渐近线，
得,解得,得.
由双曲线的定义可得①，
②，
①②可得,
因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点,
所以,得.
故选：C.

9. 直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【正确答案】C
【分析】根据直线的斜率存在与不存在，分类讨论，结合双曲线的渐近线的性质，即可求解.
【详解】当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点，方程为，满足题意；
当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行，也能满足与双曲线有且仅有一个公共点.
综上可得，满足条件的直线共有3条.
故选：C.
本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的渐近线的性质，其中解答中忽视斜率不存在的情况是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用，属于基础题.
10. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【正确答案】B
【分析】本题可先通过构造几何图形，先设为，再利用双曲线第一定义，列出与的关系式，与的关系式，利用几何关系，在中，利用余弦定理即可求得答案．
【详解】如图所示：
设，由于为等边三角形，所以，所以，即，又，所以，在中，，，，，
所以根据余弦定理有：，
整理得：，即，所以离心率．
故本题正确答案为B．
圆锥曲线跟几何问题机关的解法，常从以下几个方向考虑：
圆锥曲线第一定义．
圆锥曲线第二定义．
几何关系所涉及的解三角形知识．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11. 已知数列的首项为，递推公式为（），______
【正确答案】##1.6
分析】根据递推公式依次代值计算即可.
【详解】由（），，
则，，
，.
故答案为.
12. 圆心在直线上，且经过原点和点的圆的方程为______
【正确答案】
【分析】根据题意设圆心坐标为，根据圆所过的两点可得出关于的等式，求出即求出圆的方程.
【详解】因为圆心在直线上，设圆心坐标为，
因为圆经过原点和点，则，解得，
故圆心坐标为，圆的半径为，
故所求圆的方程为.
故答案为.
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且满足，则______，的面积为______．
【正确答案】 ①. ②.
【分析】利用椭圆的定义可求得；取线段的中点，连接，分析可知，利用勾股定理求出，再结合三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】取线段的中点，连接，如下图所示：
在椭圆中，，，，
则，由椭圆的定义可得，
因为为的中点，则，
所以，，
故.
故；.
14. 已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是______
【正确答案】
【分析】设出点坐标，利用点到直线的距离公式来求得正确答案.
【详解】设，则到直线的距离为：
，
所以当时，距离取得最小值为.
故
15. 如图，过抛物线（）的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点．若，且，则此抛物线的方程为______.

【正确答案】
【分析】过点，分别作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，设，结合抛物线的定义及三角形的几何性质易得，进而求得，再结合三角形相似求解，进而求解即可.
【详解】过点，分别作准线的垂线，垂足为，准线与轴交于点，
设，则，
由抛物线的定义得，，
所以在中，，
在中，，所以，
又，
则，解得，所以，，，
由，得，即，解得，
所以抛物线方程为.
故答案为.

16. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，且在轴的左侧，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则__________，________.
【正确答案】 ①. 4 ②.
【分析】
延长，相交于点，易知，得到中点，结合三角形中位线性质可求得，由可求得结果；结合椭圆定义可求得，，由勾股定理确定，进而求得结果.
【详解】如图，延长，相交于点，
由题意知：，且平分，，为的中点，
为的中点，，.
由椭圆定义知：，，，
又，，，
.
故；.
本题考查椭圆几何性质的应用，涉及到椭圆的定义和对称性的应用，考查学生对于椭圆几何性质的基础知识的掌握情况.
三、解答题（本大题共4小题，共50分）
17. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.
求的通项公式；
从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.
【正确答案】；是数列中的项，理由见解析.
【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式；
写出，将代入验证即可.
【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为，
所以，又因为，即.
所以，，因为公差为正数,所以.
则，则.
的通项公式.
结合可知，，，，.
令，即，符合题意，即.
所以是数列中的项.
本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.
18. 已知椭圆（）的半焦距为，离心率，直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程．
【正确答案】
【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
【详解】依题意，，
所以椭圆方程可化为，
由消去并化简得，
，①，
设，则，
所以，
，满足①，所以，
所以椭圆方程为.
19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
（1）求证：面；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）求点到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解.
（3）先根据相似三角形的边长成比例确定F的位置，再求得平面的法向量坐标，再利用点到平面的距离公式求解即可.
小问1详解】
在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，，且，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，
而，则，
所以平面与平面的夹角为.
【小问3详解】
因为底面，底面,
所以
底面是正方形，所以,
,平面,
所以平面,平面,
所以，所以在为直角三角形，
又由题知，所以在也为直角三角形，
故与相似，
则，
,，
而，所以，
所以是线段PB中靠近点P的三等分点，
由第（1）小问可知，，，，
因为是线段PB中靠近点P的三等分点，所以点，
设平面的一个法向量为，
而，，
则有，令，则，，，
，，
设B点到平面的距离为，
则；
故B点到平面的距离为.
20. 已知椭圆，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点.
（1）求椭圆方程；
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.
【正确答案】（1）
（2）面积的最大值为，此时直线的方程为或；
（3）存在，，理由见解析
【分析】（1）由短轴长求出，将代入椭圆方程求出，得到答案；
（2）直线的斜率为0时，此时三点共线，舍去，当直线的斜率不为0时，设出直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出的面积为，利用基本不等式求出最值，并得到此时直线的方程；
（3）由角相等得到，转化为，在第二问的基础上，代入化简得到答案.
【小问1详解】
由题意得，解得，
将代入椭圆方程，得到，故，
故椭圆方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率为0时，此时三点共线，不合要求，舍去；
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
设，则，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积最大值为，此时直线的方程为或；
【小问3详解】
在x轴上存在点使得恒成立，理由如下：
因为，所以，即，
整理得，即，
所以，
则，解得，
故在x轴上存在点，使得恒成立.
处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.