新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区喀什地区英吉沙县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题4分，共32分）
1．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个根，则m是（ ）
A．−3B．3C．1D．−1
2．下列函数二次函数的是（ ）
A．y=x+1B．y=3x−12C．y=x−12−x2D．y=1x2−x
3．下列说法正确的是（ ）
A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转改变图形的形状和大小
B．在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则纵坐标加2
C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行
4．车轮转动一周所行的路程是车轮的（ ）．
A．半径B．直径C．周长D．面积
5．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意抛掷两枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．明天一定会下大雨
C．装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，则至少有一个是红球
D．投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是2
6．不透明口袋中有2个红球、3个黑球、4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，是红球的概率为（ ）
A．29B．13C．49D．79
7．二次函数y=(x−3)(x+5)的图象的对称轴是（ ）
A．直线x=3B．直线x=5C．直线x=−1D．直线x=1
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ACD＝15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．75°B．72°C．70°D．65°
二、填空题（每题3分，共18分）
9．已知关于x的方程x2−3x=8x+4的根为x1,x2，则x1+x2−2x1x2的值为 ．
10．如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为：y=−110x2+710x+95，则小明此次实心球训练的成绩为 米．
11．点P2a，2与P'−4，b关于原点对称，则a+b= ．
12．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 ．
13．已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 cm．
14．在一个不透明的袋子中装有6个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀后随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有20次摸到红球，估计袋子中白球的个数约为 .
三、解答题（共50分）
15．解方程
（1）x2+x−6=0
（2）2x2+4x=−1
16．如图，已知抛物线y=x2−4x−5与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，连接BC．
（1）求B，C及顶点D的坐标，
（2）求三角形BDC的面积；
17．一只不透明的袋子中，装有2个白球（标有号码1、2）和1个红球，这些球除颜色外其他都相同．
（1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？
（2）搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率．
18．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O的半径是多少？
19．如图所示，将ΔABC置于平面直角坐标系中，A−1,4，B−3,2，C−2,1.
（1）画出ΔABC向下平移5个单位得到的ΔA1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出ΔABC绕点O顺时针旋转90°得到的ΔA2B2C2，并写出点A2的坐标；
（3）画出以点O为对称中心，与ΔABC成中心对称的ΔA3B3C3，并写出点A3的坐标.
20．如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD:DB=3:2，AC=15，求⊙O的直径．
21．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？这个最大利润是多少？
22．在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a=2时，图象经过点1，1，求二次函数的表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y=ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y=ax2+bx+2的图象和直线y=ax+4b都经过点2，m，求证：a2+b2≥12．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=2代入一元二次方程x2+mx+2=0得：22+2m+2=0，
解得：m=−3，
故答案为：A
【分析】把x=2代入一元二次方程x2+mx+2=0得出关于m的方程，再解方程即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A.y=x+1是一次函数，故该选项错误；
B.y=3x−12是二次函数，故该选项正确；
C.y=x−12−x2=x2−2x+1−x2=−2x+1，该函数是一次函数，故该选项错误；
D.y=1x2−x不是一次函数，故该选项错误，
故答案为：B
【分析】根据二次函数的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平移的性质；旋转的性质；两个图形成中心对称
【解析】【解答】平移不改变图形的形状和大小，而旋转也不改变图形的形状和大小，故不正确；
在平面直角坐标系中，一个点向右平移2个单位，则横坐标加2，故不正确；
在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分，故正确；
在平移图形中，对应角相等，对应线段相等且平行，但是在旋转图形中，对应角相等，对应线段相等但不一定平行，故不正确．
故答案为：C
【分析】根据平移和旋转的性质，以及中心对称的性质，逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】圆的相关概念
【解析】【解答】解：车轮转动一周所行路程是求车轮的周长．
故答案为：C.
【分析】根据车轮的形状是圆可直接得出结果
5．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意抛掷两枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，错误；
B、明天可能下大雨，也可能天晴，错误；
C、装有1个蓝球3个红球的袋子中任取2个球，因为最多只有一个蓝球，所以至少有一个是红球，正确；
D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任一个，错误；
故答案为：C
【分析】根据事件发生的可能性逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵不透明袋子中共装有9个球，其中有2个红球、3个黑球、4个白球，这些球除颜色外无其他差别，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率=29，
故答案为：A
【分析】根据简单事件的概率公式即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵y=(x-3)(x+5)，
∴二次函数图象与x轴的交点为(3，0)，(-5，0)
∴二次函数图象的对称轴为x=3−52=−1.
故答案为：C.
【分析】首先，由交点式得出图像与x轴的两个交点，再根据两个交点计算出图像的对称轴.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠ACD=15°，
∴∠B=∠ACD=15°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°﹣∠ADB﹣∠B=75°，
故答案为：A
【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠B和∠ADB，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
9．【答案】19
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵x2−3x=8x+4，
∴x2−11x−4=0
∵方程x2−11x−4=0的根为x1,x2，
∴x1+x2=11,x1x2=−4，
∴x1+x2−2x1x2=11−2×−4=19，
故答案为：19．
【分析】根据医院二次方程根与系数的关系可得x1+x2=11,x1x2=−4，再整体代入代数式即可求出答案.
10．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当y=0时：0=−110x2+710x+95，
解得：x1=9,x2=−2（不合题意，舍去），
∴小明此次实心球训练的成绩为9米；
故答案为：9．
【分析】根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入关系式即可求出答案.
11．【答案】0
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵点P2a，2与P'−4，b关于原点的对称，
∴2a=4，b=−2，
∴a=2，
∴a+b=2+−2=0，
故答案为：0．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
12．【答案】4
【知识点】垂径定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，
∴CD是△APB的中位线，
∴CD=12AB=12×8=4．
故答案为：4
【分析】根据垂径定理可得AC=PC，PD=BD，再根据三角形中位线性质即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：展开图扇形的弧长l=nπr180=120π×3180=2π．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
∴这个圆锥的底面圆半径是2π2π=1（cm）．
故答案为：1．
【分析】根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，结合弧长公式及圆周长即可求出答案.
14．【答案】24
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵共试验100次，其中有20次摸到红球，
∴白球所占的比例为： 1−20100=45 ，
设袋子中共有白球x个，则 x6+x=45 ，
解得：x=24，
经检验：x=24是原方程的解，
故答案为：24.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解.
15．【答案】（1）解：x2+x−6=0，
∴x+3x−2=0，
∴x+3=0或x−2=0，
解得：x1=−3，x2=2．
（2）解：2x2+4x=−1，
∴x2+2x=−12，
∴x2+2x+1=12，
∴x+12=12，
∴x+1=±22，
解得：x1=−1+22，x2=−1−22．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据十字相乘法进行因式分解，再解方程即可求出答案.
（2）根据配方法解方程即可求出答案.
（1）解：x2+x−6=0，
∴x+3x−2=0，
∴x+3=0或x−2=0，
解得：x1=−3，x2=2．
（2）2x2+4x=−1，
∴x2+2x=−12，
∴x2+2x+1=12，
∴x+12=12，
∴x+1=±22，
解得：x1=−1+22，x2=−1−22．
16．【答案】（1）解：y=x2−4x−5
当y=0时，x2−4x−5=0
∴x1=−1，x2=5
∴B坐标为5，0
当x=0时，y=−5
∴C坐标0，−5
∵y=x2−4x−5
=x−22−9
∴D坐标2，−9；
（2）解：连接OD，作DE⊥OB于点E，DF⊥OC于点F
∵D坐标2，−9，B坐标为5，0，C坐标0，−5
∴DE=9,DF=2,OC=5,OB=5
∴SΔBDC=SΔDOC+SΔBDO−SΔBOC
=12OC⋅DF+12OB⋅DE−12OB⋅OC
=12×5×2+12×5×9−12×5×5
=15．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入抛物线解析式可得B坐标为5，0，再根据y轴上点的坐标特征令x=0，代入抛物线解析式可得C坐标0，−5，将抛物线解析式转化为顶点式即可求出答案.
（2）连接OD，作DE⊥OB于点E，DF⊥OC于点F，根据点的位置可得DE=9,DF=2,OC=5,OB=5，再根据SΔBDC=SΔDOC+SΔBDO−SΔBOC，结合三角形面积即可求出答案.
（1）解：y=x2−4x−5
当y=0时，x2−4x−5=0
∴x1=−1，x2=5
∴B坐标为5，0
当x=0时，y=−5
∴C坐标0，−5
∵y=x2−4x−5
=x−22−9
∴D坐标2，−9；
（2）解：连接OD，作DE⊥OB于点E，DF⊥OC于点F
∵D坐标2，−9，B坐标为5，0，C坐标0，−5
∴DE=9,DF=2,OC=5,OB=5
∴SΔBDC=SΔDOC+SΔBDO−SΔBOC
=12OC⋅DF+12OB⋅DE−12OB⋅OC
=12×5×2+12×5×9−12×5×5
=15．
17．【答案】解：（1）由题意可得：共有3个球
∴ 摸到白球的概率P=23；
（2）画树状图如下：
∴P（两个球都是白球）=26=13．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据简单事件的概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能结果，再求出两个球都是白球的结果，再根据概率公式即可求出答案.
18．【答案】解：连接OB，
∵OD⊥AB，且AB=8，
∴AC=BC=4
设⊙O的半径为x，则OC=x-3；
由勾股定理得：x2=（x-3）2+42，
解得：x=256.
答：⊙O的半径是256.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接AO，根据垂径定理可知BC=4，设半径为x，则OC=x-3，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】解：（1）如图，ΔA1B1C1为所作，点A1的坐标为（-1，-1）；
（2）如图，ΔA2B2C2为所作，点A2的坐标为（4，1）；
（3）如图，ΔA3B3C3为所作，点A3的坐标为（1，-4）；
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【分析】(1)根据平移的性质画出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1即可得到ΔA1B1C1；
(2)利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B、C旋转后的对应点A2、B2、C2即可得到ΔA2B2C2；
(3)根据关于原点对称的点的坐标特征写出A3、B3、C3的坐标，然后描点即可．
20．【答案】（1）证明：连接OD、CD，
∵DE是⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵E为AC的中点
∴DE=CE=AE=12AC，
∴∠2=∠3，
∵⊙O中，OC=OD，
∴∠1=∠4，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
同理：△ACD∽△BCD，
∴ACAB=ADAC，BDBC=BCAB，
∵AD:DB=3:2，
∴设AD=3k，DB=2k，则AB=5k，
∴AC5k=3kAC，
即AC2=15k2
k2=15，
∴2kBC=BC5k，
即：BC2=10k2，
∴BC=56；
【知识点】圆周角定理；切线的性质；切线的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）连接OD、CD，根据切线的性质得到OD⊥DE，即∠1+∠2=90°，再根据圆周角定理可得∠BDC=90°，再结合E为AC的中点，根据直角三角形的性质可得DE=CE=AE=12AC，即得∠2=∠3，根据圆的基本性质可得∠1=∠4，即得∠3+∠4=∠1+∠2=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形判定定理可△ACD∽△ABC，△ACD∽△BCD，则ACAB=ADAC，BDBC=BCAB，设AD=3k，DB=2k，则AB=5k，代入等式即可求出答案.
（1）证明：连接OD、CD，
∵DE是⊙O的切线，切点为D，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠1+∠2=90°，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∵E为AC的中点
∴DE=CE=AE=12AC，
∴∠2=∠3，
∵⊙O中，OC=OD，
∴∠1=∠4，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°，
∴OC⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵∠ACD=∠BDC=90°，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
同理：△ACD∽△BCD，
∴ACAB=ADAC，BDBC=BCAB，
∵AD:DB=3:2，
∴设AD=3k，DB=2k，则AB=5k，
∴AC5k=3kAC，
即AC2=15k2
k2=15，
∴2kBC=BC5k，
即：BC2=10k2，
∴BC=56；
21．【答案】解：设所获利润为y元，每件降价x元
则降价后的每件利润为(60−40−x)(0≤x≤20)元，每星期销量为(300+20x)件
由利润公式得：y=(60−40−x)(300+20x)
整理得：y=−20(x−2.5)2+6125
由二次函数的性质可知，当0≤x≤2.5时，y随x的增大而增大；当2.5