2024年中考数学考点提分微专题试卷7 相似三角形的七大模型

这是一份2024年中考数学考点提分微专题试卷7 相似三角形的七大模型，共8页。

1.如图,AB∥CD,AD,BC相交于点E,过点E作EF∥CD交BD于点F,AB∶CD=2∶3,那么EF∶AB= .
2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E在CD上,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△ADE∽△FCE.
(2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的长.
模型2 A字型
模型分析 如图1,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC;如图2,若∠AED=∠B,则△ADE∽△ACB.
3.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若AD=1,BD=2,则DEBC的值为 .
4.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值.
模型3 子母型
模型分析 已知:∠1=∠2,结论:△ACD ∽△ABC.
在图中,我们不仅要熟悉模型,还要熟记模型的结论,有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系,我们要能快速判断题中的相似三角形,模型中,由△ACD∽△ABC,进而可以得到AC2=AD·AB.
5.如图,在△ABC中,P为边AB上一点,且∠ACP=∠B,若AP=2,BP=3,则AC的长为 10 .
6.如图,在△ABC中,AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2.
(1)求证:△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.
模型4 双垂直型
模型分析 ①如图1,在三角形ABC中,AD为BC边上的高,这个是子母型的特殊情况,则AC2=CD·BC,AB2=BD·BC,AD2=BD·CD.
②如图2,在三角形ABC中,若BD,CE分别是AC和AB边上的高,则△ACE∽△ABD,△ADE∽△ABC.
7.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上的一点,过点C作CD⊥AB于点D,AC=210 cm.AD∶DB=4∶1,求AD的长.
8.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,求证:
(1)△ABC∽△ADE.
(2)BC=2DE.
9.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,D为AB上一点.
(1)如图1,若CD⊥AB,求证:AC2=AD·AB.
(2)如图2,若AC=BC,H为CD上一动点,过点H作EF⊥CD交BC于点E,交AC于点F,若ADBD=12,求FHEH的值.
模型5 三垂直型
模型分析 一线三直角是一种常见的相似模型,指的是由三个直角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,有些地区称“三垂直模型”,也有称“K形图”或“M形图”.
如图1,2,△ACD∽△BAE.特殊地,当AB=AC时,△ACD≌△BAE.
三垂直型应用:1.图形中已经存在“一线三直角”,直接应用模型解题;2.图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;3.图形中只有直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;4.图形中只有一个直角,过该直角顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型.
10.如图,已知AB⊥BC,CD⊥BC,AB=4,CD=2.P为线段BC上的点,设BC=m.
(1)当m=9时,
①若△BAP∽△CDP,求线段BP的长;
②若△BAP∽△CPD,求线段BP的长.
(2)直接写出当m为何值时,使得△BAP与△CDP相似的点P有且只有2个.
模型6 一线三等角型
模型分析 已知:如图1,2,3,∠B=∠ACE=∠D,
结论:△ABC∽△CDE.
如图1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,
又∵∠B=∠ACE,
∴∠DCE=∠A,
∴△ABC∽△CDE.
图2,3同理可证△ABC∽△CDE.
在一线三等角的模型中,难点在于当已知三个相等的角的时候,容易忽略隐含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似应用较多,当看见该模型的时候,应立刻能看出相应的相似三角形.
11.如图,在△ABC中,AB=AC,P,D分别是BC,AC边上的点,且∠APD=∠B.求证:
(1)△ABP∽△PCD.
(2)AB·CD=CP·BP.
模型7 手拉手模型
模型分析 特征:共顶点,等顶角,BD,CE为拉手线.已知:∠BAC=∠DAE,∠ABC=∠ADE或ADAB=AEAC,结论:△ADE∽△ABC,△ABD∽△ACE.
12.如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,连接BD,CE.求证:△ADB∽△AEC.
13.如图,已知∠DAB=∠EAC,∠ADE=∠ABC.求证:
(1)△ADE∽△ABC.
(2)ADAE=BDCE.
【参考答案】
1.3∶5
2.(1)证明略 (2)DE=3
3.13
4.(1)证明略
(2)CD=54
5.10
6.(1)证明略
(2)DE=3
7.AD=42 cm
8.(1)(2)证明略
9.(1)证明略
(2)FHEH=14
10.(1)①BP=6 ②BP=8或1
(2)m=6或42
11.(1)(2)证明略
12.证明略
13.(1)(2)证明略