题型突破—创新学习型问题-中考数学第三轮专题复习课件

这是一份题型突破—创新学习型问题-中考数学第三轮专题复习课件，共60页。PPT课件主要包含了类型一新定义型问题，题型精练，答案B，答案60，答案①④，图Z4-1，图Z4-2，图Z4-3，图Z4-5，图Z4-6等内容，欢迎下载使用。
　 新定义型问题常见的有新定义运算问题和新定义概念问题.求解新定义运算问题的关键是弄清新定义中的运算法则,并能将其转化为数与式的运算、方程与方程组、不等式与不等式组等问题;求解新定义概念型问题的关键是弄清新概念的本质,将其与已学过的数学知识建立联系,并应用相关知识解决问题.
例1 [2019·遂宁]阅读材料:定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫做这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如计算:(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i;(2-i)(3+i)=6-3i+2i-i2=6-i-(-1)=7-i;(4+i)(4-i)=16-i2=16-(-1)=17;(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.根据以上信息,完成下面计算:(1+2i)(2-i)+(2-i)2=　　　　. 【分层分析】直接利用完全平方公式、多项式乘法运算求解即可.
[答案]7-i　[解析]由题意知(1+2i)(2-i)+(2-i)2 =2+4i-i-2i2+4-4i+i2=6-i-i2=6-i+1=7-i.
5. [2019·枣庄]对于实数a,b,定义关于“?”的一种运算:a?b=2a+b.例如3?4=2×3+4=10.(1)求4?(-3)的值;(2)若x?(-y)=2,(2y)?x=-1,求x+y的值.
解:(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等;②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例;③两个大小不同的正方形相似,是真命题.故答案为:假,假,真.
解:(1)证明:由尺规作图痕迹得:AC=CD,AB=BD,CB是∠FCE的平分线,∴∠ACB=∠DCB,又∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,∴∠ACB=∠ABC,∴AC=AB.又∵AC=CD,AB=BD,∴AC=CD=AB=BD,∴四边形ACDB为菱形.又∵∠ACD与△FEC中的∠FCE重合,它的对角∠ABD的顶点B在重合角的对边FE上,∴四边形ACDB为△FEC的亲密菱形.
解决阅读理解题的关键是把握问题的实质,求解时首先仔细阅读信息,收集处理信息,以领悟数学知识或感悟数学思想方法;然后运用新知识解决新问题,或运用范例形成科学的思维方式和思维策略,或归纳与类比作出合情判断和推理,进而解决问题.
类型二　阅读理解型问题
例2 [2018·南京]结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答.题目:如图Z4-3,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x.根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x.根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理,得x2+7x=12.
小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.
【分层分析】(1)根据题目中所给的方法由切线长定理知AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x,根据勾股定理得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,即x2+(m+n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算;
小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……【分层分析】(2)由AC·BC=2mn得(x+m)(x+n)=2mn,即x2+(m+n)x=mn,再利用勾股定理逆定理求证;
(2)证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2.根据勾股定理的逆定理,得∠C=90°.
小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.
1. [2019·镇江]【材料阅读】地球是一个球体,任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图Z4-4①中的☉O).人们在北半球可观测到北极星,我国古人在观测北极星的过程中发明了如图②所示的工具尺(古人称它为“复矩”),尺的两边互相垂直,角顶系有一段棉线,棉线末端系一个铜锤,这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点,当工具尺的长边指向北极星时,短边与棉线的夹角α的大小是变化的.【实际应用】观测点A在图①所示的☉O上,现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°,在点A所在子午线往北的另一个观测点B,用同样的工具尺测得α为67°.PQ是☉O的直径, PQ⊥ON.
解:(1)设过点B的切线CB交ON延长线于点E,HD⊥BC于D,CH⊥BH交BC于点C,如图所示.则∠DHC=67°,∵∠HBD+∠BHD=∠BHD+∠DHC=90°,∴∠HBD=∠DHC=67°,∵ON∥BH,∴∠BEO=∠HBD=67°,∴∠BOE=90°-67°=23°.∵PQ⊥ON,∴∠POE=90°,∴∠POB=90°-23°=67°.
2. [2019·山西]阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:莱昂哈德·欧拉(Lenhard Euler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.下面就是欧拉发现的一个定理:在△ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI2=R2-2Rr.如图Z4-6①,☉O和☉I分别是△ABC的外接圆和内切圆,☉I与AB相切于点F,设☉O的半径为R,☉I的半径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI=d,则有d2=R2-2Rr.
任务:(1)观察发现:IM=R+d,IN=　　　　(用含R,d的代数式表示); (2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;(4)应用:若△ABC的外接圆的半径为5 cm,内切圆的半径为2 cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为　　　　cm. 
任务:(2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由;
(2)BD=ID.理由如下:∵点I是△ABC的内心,∴∠BAD=∠CAD,∠CBI=∠ABI.∵∠DBC=∠CAD,∠BID=∠BAD+∠ABI,∠DBI=∠DBC+∠CBI,∴∠BID=∠DBI,∴BD=ID.
任务:(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;
(3)由(2)知:BD=ID,∴IA·ID=DE·IF,又∵IA·ID=IM·IN,∴DE·IF=IM·IN,∴2R·r=(R+d)·(R-d),∴R2-d2=2Rr,∴d2=R2-2Rr.
任务:(4)应用:若△ABC的外接圆的半径为5 cm,内切圆的半径为2 cm,则△ABC的外心与内心之间的距离为　　　　cm. 
　 探究题是近年中考比较常见的题目,难度较大,解题时要仔细分析题目中的有关信息,并运用归纳、类比、分类讨论等数学思想全面考虑问题,同时注意借助图形、实际操作等打开思路.
类型三　类比探究型问题
例3 [2019·吉林]性质探究如图Z4-7①,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为　　　　. 理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4 ,则它的面积为　　　　; (2)如图②,在四边形EFGH中,EF=EG=EH.①求证:∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN,若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长.
① ②图Z4-7
类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　　　(用含α的式子表示). 
例3 [2019·吉林]理解运用(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为8+4 ,则它的面积为　　　　; 
例3 [2019·吉林]理解运用(2)如图②,在四边形EFGH中,EF=EG=EH.①求证:∠EFG+∠EHG=∠FGH;②在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN,若∠FGH=120°,EF=10,直接写出线段MN的长.
例3 [2019·吉林]类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　　　(用含α的式子表示). 
[答案] 2sinα∶1　[解析]如图,等腰三角形ABC中,过点C作CD⊥AB于点D,∵∠ACB=2α,∴∠ACD=α,AB=2AD,Rt△ACD中,AD∶AC=sinα,∴AB∶AC=2sinα∶1.
1. [2019·嘉兴]小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.(1)温故:如图Z4-8①,在△ABC中,AD⊥BC于点D,正方形PQMN的边QM在BC上,顶点P,N分别在AB,AC上,若BC=6,AD=4,求正方形PQMN的边长.(2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图②,任意画△ABC,在AB上任取一点P',画正方形P'Q'M'N',使Q',M'在BC边上,N'在△ABC内,连接BN'并延长交AC于点N,画NM⊥BC于点M,NP⊥NM交AB于点P,PQ⊥BC于点Q,得到四边形PQMN.小波把线段BN称为“波利亚线”.(3)推理:证明图②中的四边形PQMN是正方形.
① ② ③图Z4-8
1. [2019·嘉兴]小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展.(3)推理:证明图②中的四边形PQMN是正方形.
2. [2019·赤峰] 【问题】如图Z4-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.【探究发现】(1)如图②,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点D移动到使点P与点C重合时,通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程;【数学思考】(2)如图③,若点P是AC上的任意一点(不包括端点A,C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程;
【拓展引申】(3)如图④,在(1)的条件下,M是AB边上任意一点(不包括端点A,B),N是射线BD上一点,且AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验,发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出BQ的最大值.
解:(1)证明:∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=45°.∵CD∥AB,∴∠CBA=∠DCB=45°,∵BD⊥CD,∴∠DCB=∠DBC=45°,∴DB=DC,即DB=DP.
2. [2019·赤峰] 【问题】如图Z4-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.【数学思考】(2)如图③,若点P是AC上的任意一点(不包括端点A,C),受(1)的启发,这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程;
(2)证明:∵DG⊥CD,∠DCB=45°,∴∠DCG=∠DGC=45°,∴DC=DG,∠DCP=∠DGB=135°,∵∠BDP=∠CDG=90°,∴∠CDP=∠BDG,∴△CDP≌△GDB(ASA),∴BD=DP.
2. [2019·赤峰] 【问题】如图Z4-9,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°,点D在直线l上移动,角的一边DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的数量关系.【拓展引申】(3)如图④,在(1)的条件下,M是AB边上任意一点(不包括端点A,B),N是射线BD上一点,且AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验,发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4,请你直接写出BQ的最大值.
(3)BQ的最大值为2
①② ③图Z4-10
解:(1)AD=AB+AC　[解析]延长CA至E,使AE=AB,连接BE,∵∠BAC=120°,∴∠BAE=60°,∴△AEB为等边三角形,∴EB=AB,∠EBA=60°.∵AD平分∠BAC,∴∠DBC=∠DAC=60°,∠BCD=∠BAD=60°,∴△BCD为等边三角形,∴BC=BD.又∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC=∠ABD,∴△EBC≌△ABD,∴AD=EC=AB+AC.故填AD=AB+AC.
3. [2019·仙桃]已知△ABC内接于☉O,∠BAC的平分线交☉O于点D,连接DB,DC.(2)如图②,当∠BAC=90°时,试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系,并证明你的结论;