北师大版九年级上册数学期末质量监测模拟试卷（含答案解析）

这是一份北师大版九年级上册数学期末质量监测模拟试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
3．为了估计抛掷同一枚图钉落地后针脚向上的概率，小明做了1000次重复试验．经过统计得到针脚向上的次数为850次，针脚向下的次数为150次，由此可估计抛掷这枚图钉落地后针脚向上的概率约为（ ）
A．0.85B．0.75C．0.60D．0.15
4．在一次体育课上，小明随机调查了30名同学投篮20次投中的次数，数据如表所示：
则投篮20次投中的次数的中位数和众数分别是（ ）
A．8，9B．10，9C．7，12D．9，9
5．如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（ ）米．
A．1B．2C．3D．5
6．如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
7．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A．3(y−2)=x2y−9=xB．3(y+2)=x2y+9=x
C．3(y−2)=x2y+9=xD．3(y−2)=x2y+x=9
8．反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，3），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝﹣6
B．函数图象分布在第二、四象限
C．点（3，﹣2）在该反比例函数图象上
D．y随x的增大而增大
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
9．若二次根式1x−13在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ；
10．分解因式：2x2﹣8x+8＝ ．
11．已知5+2是方程x2﹣4x+c＝0的一根，则c＝ ．
12．已知点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），如果AB＝2，那么AD的长为 ．（结果保留根号）
13．如图，△ABC中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧交BC于点D，折叠△ABC，使点A与点D重合，折痕交线段AB、AC于点E、F，若∠BAC＝60°，AD＝22，则AE＝ ．
三、解答题：本大题共5个小题，共48分。
14．(12分)（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
（2）解不等式组x+5≤03x−12≥2x+1，并写出它的最大负整数解．
15．(8分)目前“微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，某数学小组在校内对“你最喜爱的四大网络科技”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求得m＝ ，n＝ ；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）已知A，B两位同学都最喜爱“微信”，C同学最喜爱“支付宝”，D同学最喜爱“网购”．从这四位同学中抽取两位同学，请你用画树状图或列表的方法，求出这两位同学最喜爱的网络科技不一样的概率．
16．(8分) “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
17．(10分)如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm．M是CD的中点P是BC边上的一动点P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．
（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
18．(10分)如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）点P是直线AB上一个动点，是否存在点P，使得△OBC与△PBD相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一 填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
19．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根x1，x2，且x1+2x2＝4，则m＝ ．
20．使关于x的分式方程k−1x−1=2的解为非负数，且使反比例函数y=3−kx图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k中恰为偶数的概率为 ．
21．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝BE，若∠ABC=60°，AB=23，则DE的长为 ．
22．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y=1x（x＞0）与y=−3x（x＜0）的图象上，则∠BAO的度数为 ．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD是AB边上的中线．且CD＝3，点E是△ABC内的一点，满足∠CEA＝∠AEB＝∠BEC＝120°．则EA+EB+EC的值为 ．
二、解答题：本大题共3个小题，共30分。
24．(8分)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
25．(10分)如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
26．(12分)如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点．点F为AB边上一点，连接CF，过点D作DE⊥CF于点E，连接AE．
（1）探究∠EDC与∠AFC间的数量关系，并证明；
（2）若∠AED＝135°，探究AF与AC的关系，并证明；
（3）如图2，延长AE交BC于点G．在（2）的条件下，求AEEG的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2．5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上．用科学记数法表示1300000是（ ）
A．13×105B．1.3×105C．1.3×106D．1.3×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1300000＝1.3×106，
故选：C．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．为了估计抛掷同一枚图钉落地后针脚向上的概率，小明做了1000次重复试验．经过统计得到针脚向上的次数为850次，针脚向下的次数为150次，由此可估计抛掷这枚图钉落地后针脚向上的概率约为（ ）
A．0.85B．0.75C．0.60D．0.15
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【解答】解：∵做了1000次重复试验．经过统计得到针脚向上的次数为850次，
∴可估计抛掷这枚图钉落地后针脚向上的概率约为8501000=0.85．
故选：A．
【点评】本题考查了用频率估计概率，熟练掌握频率与概率的关系是解决本题的关键．
4．在一次体育课上，小明随机调查了30名同学投篮20次投中的次数，数据如表所示：
则投篮20次投中的次数的中位数和众数分别是（ ）
A．8，9B．10，9C．7，12D．9，9
【分析】根据中位数、众数的定义进行解答即可．
【解答】解：将这30人投篮20次投中的次数从小到大排列后，处在之间位置的两个数的平均数为9+92=9（次），因此中位数是9次，
这30人投篮20次投中的次数是9次的出现的次数最多，共有10人，因此众数是9次，
综上所述，中位数是9，众数是9，
故选：D．
【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
5．如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距（ ）米．
A．1B．2C．3D．5
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答．
【解答】解：设两个同学相距x米，
∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴BC∥DE，
∴△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC，
∴−x6，
解得：x＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
6．如图，已知△A′B′C′与△ABC是位似图形，点O是位似中心，若A′是OA的中点，则△A′B'C′与△ABC的面积比是（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出A'B'AB，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴A'B'AB=OA'OA=12，
∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为（ ）
A．3(y−2)=x2y−9=xB．3(y+2)=x2y+9=x
C．3(y−2)=x2y+9=xD．3(y−2)=x2y+x=9
【分析】设共有x人，y辆车，由每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行列方程可求解．
【解答】解：由题意得3(y−2)=x2y+9=x，
故选：C．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
8．反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，3），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝﹣6
B．函数图象分布在第二、四象限
C．点（3，﹣2）在该反比例函数图象上
D．y随x的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质进行逐项判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6．函数图象在二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
A，k＝﹣6，正确，不符合题意；
B，函数图象分布在第二、四象限，正确，不符合题意；
C，点（3，﹣2）在该反比例函数图象上，正确，不符合题意；
D，在每个象限内，y随x的增大而增大．原命题错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，在函数增减性上必须要强调在每一个象限内．
二．填空题（共10小题）
9．若二次根式1x−13在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x＞13 ；
【分析】根据分母不为零的条件和二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣13＞0，
解得x＞13，
故答案为：x＞13．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件和二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键．
10．分解因式：2x2﹣8x+8＝ 2（x﹣2）2 ．
【分析】先提公因式2，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣4x+4）
＝2（x﹣2）2．
故答案为2（x﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，是基础知识要熟练掌握．
11．已知5+2是方程x2﹣4x+c＝0的一根，则c＝ ﹣1 ．
【分析】将x=5+2代入已知方程，列出关于c的新方程，通过解新方程来求c的值即可．
【解答】解：根据题意知，x=5+2满足关于x的方程得（2+5）2﹣4×（2+5）+c＝0，
解得c＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
12．已知点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），如果AB＝2，那么AD的长为 5−1 ．（结果保留根号）
【分析】根据黄金分割点的定义，知AD是较长线段；则AD=5−12AB，代入数据即可得出AD的长度．
【解答】解：由于D为线段AB＝8cm的黄金分割点，
且AD＞BD，
则AD＝2×5−12=5−1．
故本题答案为：5−1．
【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．
13．如图，△ABC中，以点A为圆心任意长为半径画弧交线段AB、AC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧交BC于点D，折叠△ABC，使点A与点D重合，折痕交线段AB、AC于点E、F，若∠BAC＝60°，AD＝22，则AE＝ 263 ．
【分析】由题意得AD为∠BAC的角平分线，故可得∠EAD＝30°，根据折叠的性质得到AG＝DG=2，AG⊥EG，解直角三角形，即可解答．
【解答】解：如图，设AD与EF的交点为G，
由题意，可得AD为∠BAC 的角平分线，
∴∠EAD＝30°，
∵折叠△ABC，使点A与点D重合，
∴AG＝DG，AG⊥EG，
∵AD＝22，
AG=12AD=2，
在Rt△AEG中，
AE=2×233=263．
【点评】本题考查了翻折的性质，角平分线的性质，含有30°角的直角三角形的三边关系，熟知翻折的性质是解题的关键．
三、解答题：本大题共5个小题，共48分。
14．（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
（2）解不等式组x+5≤03x−12≥2x+1，并写出它的最大负整数解．
【分析】（1）利用十字相乘法、提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1；
（2）解不等式x+5≤0，得：x≤﹣5，
解不等式3x−12≥2x+1，得：x≤﹣3，
则不等式组的解集为x≤﹣5，
∴不等式组最大的负整数解为﹣5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程和解一元一次不等式组，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
15．目前“微信”“支付宝”“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，某数学小组在校内对“你最喜爱的四大网络科技”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
（1）根据图中信息求得m＝ 100 ，n＝ 35 ；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）已知A，B两位同学都最喜爱“微信”，C同学最喜爱“支付宝”，D同学最喜爱“网购”．从这四位同学中抽取两位同学，请你用画树状图或列表的方法，求出这两位同学最喜爱的网络科技不一样的概率．
【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值即可求出n；
（2）用总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比，从而补全两个图形；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到这两位同学最喜爱的网络科技不一样的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）m＝10÷10%＝100，
n%=35100×100%＝35%，即n＝35，
故答案为：100，35；
（2）“网购”人数为100×15%＝15，
“微信”对应百分比为 40100×100%＝40%，
补全统计图如下：
（3）根据题意画树状图如下：
共有12种等可能情况，这两位同学最喜爱的网络科技不一样的有10种，
所以这两位同学最喜爱的网络科技不一样的概率为1012=56．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图与条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB=DNBN求得大树的高．
【解答】解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴CDAB=DNBN．
同理，△EMF∽△AMB，
∴EFAB=FMBM．
∵EF＝CD，
∴DNBN=FMBM，即1.1x=1.5x+2.4．
解得x＝6.6，
∵CDAB=DNBN，
∴1.6AB=1.16.6．
解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
【点评】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
17．如图在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5cm，BC＝9cm．M是CD的中点P是BC边上的一动点P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形．
（2）当点P在点B．C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
【分析】（1）由“ASA”可证△PCM≌△QDM，可得DQ＝PC，即可得结论；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．
【解答】解：（1）∵AD∥BC
∴∠QDM＝∠PCM
∵M是CD的中点，
∴DM＝CM，
∵∠DMQ＝∠CMP，DM＝CM，∠QDM＝∠PCM
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
∴DQ＝PC，
∵AD∥BC，
∴四边形PCQD是平行四边形，
∴不管点P在何位置，四边形PCQD始终是平行四边形；
（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB＝AQ，
∵BC﹣CP＝AD+QD，
∴9﹣CP＝5+CP，
∴CP＝（9﹣5）÷2＝2．
∴当PC＝2时，四边形ABPQ是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．
18．如图，直线y=32x与双曲线y=kx(k≠0)交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）点P是直线AB上一个动点，是否存在点P，使得△OBC与△PBD相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y=32x中，可求得A（﹣2，﹣3），即可求得k＝6，解方程组y=32xy=6x，即可求出点B的坐标；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
（3）分两种情况：当△BOC∽△BPD时，OBBC=BPBD；当△BOC∽△BDP时；分别求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y=32x中，
得﹣3=32m，
解得：m＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函数解析式为y=6x，
由y=32xy=6x，得x=−2y=−3或x=2y=3，
∴点B的坐标为（2，3）；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴DCDB=CFBE，
∵BC＝2CD，BE＝3，
∴CDDB=13，
∴CF3=13，
∴CF＝1，
∴C（6，1），
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，
则B′C即为BG+GC的最小值，
∵B′（﹣2，3），C（6，1），
∴B′C=(−2−6)2+(3−1)2=217，
∴BG+GC＝B′C＝217；
（3）存在，理由如下：
由（1）（2）可知，B（2，3），C（6，1），D（8，0），
∴OB=13，OC=37，BC＝25，
设P（t，32t），
∴PB=(t−2)2+(3−32t)2，PD=(t−8)2+94t2，BD＝35，
当△BOC∽△BPD时，OBBC=BPBD，即1325=(t−2)2+(3−32t)235，
解得t＝5（舍）或t＝﹣1；
当△BOC∽△BDP时，BPBD=BCOB，(t−2)2+(3−32t)235=2513，
解得t=8613（舍）或t=−3413；
∴P（﹣1，−32）或（−3413，−5113）．
【点评】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
19．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根x1，x2，且x1+2x2＝4，则m＝ 0 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2、x1x2＝m，结合x1+2x2＝4即可求出x2的值，再将其代入x1x2＝m中求出m值即可．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2＝2、x1x2＝m，
∵x1+2x2＝4，
∴x1+x2+x2＝4，即2+x2＝4，
∴x2＝2．
∴x1＝0，
将x1＝0，x2＝4代入x1x2＝m，得：m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
20．使关于x的分式方程k−1x−1=2的解为非负数，且使反比例函数y=3−kx图象过第一、三象限时满足条件的所有整数k中恰为偶数的概率为 23 ．
【分析】根据题意可以求得k的满足条件的所有整数值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵关于x的分式方程k−1x−1=2的解为非负数，
∴x=k+12≥0（k≠0），且x﹣1≠0．
∴k≥﹣1且k≠1．
∵反比例函数y=3−kx的图象过第一、三象限，
∴3﹣k＞0，
解得：k＜3，
∴﹣1≤k＜3且k≠1，
∴k＝﹣1，0，2，共3种等可能情形．
∴其中k是偶数的有：0和2两种情形．
∴满足条件的所有整数k中恰为偶数的概率为23．
故答案为：23．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质、分式方程的解、概率公式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
21．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝BE，若∠ABC=60°，AB=23，则DE的长为 4 ．
【分析】先根据菱形性质得AD＝AB=23，∠BAD＝120°，∠ABD＝∠ADB＝30°，再根据AE＝BE得∠EAB＝∠ABD＝30°，则∠DAE＝90°，然后在Rt△ADE中，利用含有30°角的直角三角形性质及勾股定理即可求出DE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB=23，
∴AD＝AB=23，∠BAD＝120°，∠ABD＝∠ADB＝30°，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABD＝30°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，
∴AE=12DE，
由勾股定理得：DE2﹣AE2＝AD2，
∴DE2−(12DE)2=(23)2，
∴34DE2＝12，
∴DE＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，含有30°角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用含有30°角的直角三角形性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键．
22．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y=1x（x＞0）与y=−3x（x＜0）的图象上，则∠BAO的度数为 60° ．
【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO＝∠ACO＝90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO=32，S△AOC=12，根据相似三角形的性质得到S△BODS△OAC=（OBOA）2=3212=3，求得OBOA=3，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于D，
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数y=1x（x＞0）与y=−3x（x＜0）的图象上，
∴S△BDO=32，S△AOC=12，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴S△BODS△OAC=（OBOA）2=3212=3，
∴OBOA=3，
∴tan∠BAO=OBOA=3，
∴∠BAO＝60°，
故答案为：60°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD是AB边上的中线．且CD＝3，点E是△ABC内的一点，满足∠CEA＝∠AEB＝∠BEC＝120°．则EA+EB+EC的值为 6 ．
【分析】将△CBE绕点C逆时针旋转60°，得到△CGH，证明△CEG是等边三角形，再证明点A、E、G、H四点共线，从而得到EA+EB+EC＝EA+GH+EG＝AH，延长AD使得CD＝PD，证明△ADP≌△BDC，进而△ACH≌△CAP，得到AH＝CP，即可求出结果．
【解答】解：将△CBE绕点C逆时针旋转60°，得到△CGH，
由旋转可得△CBE≌△CHG，则CB＝CH，CE＝CG，BE＝GH，∠BCH＝∠ECG＝60°，
∵CE＝CG，∠ECG＝60°，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CGE＝∠CEG＝60°，
∵∠CEA＝∠CEB＝120°，△CBE≌△CHG，
∴∠CEB＝∠CGH＝120°，
∴∠CEA+∠CEG＝180°，∠CGH+∠CGE＝180°，
∴点A、E、G、H四点共线，
∵△CEG是等边三角形，
∴CE＝EG，
∴EA+EB+EC＝EA+GH+EG＝AH，
∵CD是AB的中线，
∴AD＝BD，
延长AD使得CD＝PD，
∵AD＝BD，∠ADP＝∠CDB，
∴△ADP≌△BDC（SAS），
∴∠APD＝∠BCD，AP＝BC，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACD+∠BCD＝60°，
∴∠ACD+∠APD＝60°，
∴∠CAP＝120°，
∵∠ACB＝∠BCH＝60°，
∴∠ACH＝∠CAP＝120°，
∵AC＝AC，AP＝BC＝CH，
∴△ACH≌△CAP（SAS），
∴AH＝CP，
∵CD＝3，CD＝PD，
∴EA+EB+EC＝AH＝CP＝6．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中线的定义，本题的关键是熟练运用全等三角形的性质，找到线段间的数量关系解题．
二、解答题：本大题共3个小题，共30分。
24．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
【分析】（1）依据题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），可得45k+b=5555k+b=45，求出k，b即可得解；
（2）依据题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，又销售额是2600元，从而可得x2﹣100x+2600＝0，又Δ＝（﹣100）2﹣4×2600＝﹣400＜0，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，
又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），
∴45k+b=5555k+b=45．
∴k=−1b=100．
∴所求函数关系式为y＝﹣x+100．
（2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，
又销售额是2600元，
∴2600＝﹣x2+100x．
∴x2﹣100x+2600＝0．
∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600
＝10000﹣10400
＝﹣400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元．
【点评】本题主要一元二次方程的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
25．如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
（3）如图②，过x轴正半轴上的动点D（m，0）作直线l⊥x轴，点Q在直线l上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，请直接写出相应m的值．
【分析】（1）将点C的坐标代入直线y＝﹣2x可得出a的值，即得C点坐标，再用待定系数法求直线AB的表达式即可；
（2）设点P的坐标为（0，p），根据△PBC的面积为6求解即可；
（3）分三种情况：①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，分别利用全等三角形的判定和性质列出方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得a＝2，
∴C（2，﹣4），
将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得：
2k+b=−44k+b=0，
解得k=2b=−8，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC=12×2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
（3）存在，
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，分以下三种情况：
①当BC＝BQ时，过点C作CM⊥y轴于M，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠BMC＝∠QNB＝90°，
∴∠CBM+∠BCM＝90°，
∵∠QBC＝90°，
∴∠CBM+∠QBN＝90°，
∴∠BCM＝∠QBN，
∵BC＝BQ，
∴△BCM≌△QBN（AAS），
∴QN＝BM，BN＝CM，
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
BM＝4，CM＝2，
∴QN＝BM＝4，
∴m＝4；
②当BC＝CQ时，过点C作CM⊥y轴于M，延长MC交直线l于N，
同理：△BCM≌△CQN（AAS），
∴QN＝CM＝2，BM＝CN＝4，
∴MN＝MC+CN＝6
∴m＝6；
③当BQ＝CQ时，过点C作CM⊥直线l于M，过点B作BN⊥直线l于N，
同理：△QCM≌△BQN（AAS），
∴QN＝CM，BN＝QM，
设Q（m，t），
∵B（0，﹣8），C（2，﹣4），
∴CM＝m﹣2，BN＝m，MN＝8﹣4＝4，QN＝t+8，QM＝﹣4﹣t，
∴m−2=t+8−4−t=m，解得m=3t=−7
∴m＝3；
综上，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m的值为4或6或3．
【点评】此题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握方程的思想方法及分类讨论思想是解本题的关键．
26．如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点．点F为AB边上一点，连接CF，过点D作DE⊥CF于点E，连接AE．
（1）探究∠EDC与∠AFC间的数量关系，并证明；
（2）若∠AED＝135°，探究AF与AC的关系，并证明；
（3）如图2，延长AE交BC于点G．在（2）的条件下，求AEEG的值．
【分析】（1）设∠EDC＝α，根据垂直的定义得到∠DEC＝90°，求得∠DCE＝90°﹣α根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）过点A作AG⊥AE交AE的延长线于G，连BG，过点A作AH⊥GE于H，根据已知条件得到∠AEG＝45°，由垂直得得到∠GAE＝∠BAC＝90°，根据折叠的性质得到∠GAB＝∠EAC，根据等腰直角三角形的性质得到AG＝AE，根据全等三角形的性质得到BG＝CE，∠AGB＝∠AEC＝135°，∵∠根据相似三角形的性得到CDBC=DECE=12，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）过A作AM∥BC交CF的延长线于M，过B作BK⊥CM于K，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）设∠EDC＝α，
∵DE⊥CF，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣α，
在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，∠ACF＝α﹣45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠AFC＝135°﹣α，
即∠EDC+∠AFC＝135°；
（2）AC＝3AF，
证明：过点A作AG⊥AE交AE的延长线于G，连BG，过点A作AH⊥GE于H，
∵∠ADE＝135°，∠FED＝90°，
∴∠AEG＝45°，
由垂直得到∠GAE＝∠BAC＝90°，
根据折叠∠GAB＝∠EAC，
∵∠AEG＝45°，∠GAE＝90°，
∴△GAE是等腰直角三角形，
∴AG＝AE，
∵AB＝AC，∠GAB＝∠EAC，
∴△GAB≌△EAC（SAS），
∴BG＝CE，∠AGB＝∠AEC＝135°，
∵∠AGC＝45°，
∴∠BGE＝∠DEC＝90°，
∴DE∥BG，
∴△DEC∽△BGC，
∴CDBC=DECE=12，
∴tan∠BCG=12，
∴2BG＝CG，
即BG＝GC，
∵AH⊥EG，AG＝AE，
∴GH＝EH＝AH，
即2AH＝EG＝CE，
∴3AH＝CH，
∵tan∠ACF=AFAC=13，
∴AC＝3AF；
（3）过A作AM∥BC交CF的延长线于M，过B作BK⊥CM于K，
∴∠BKF＝∠CAF＝90°，
∵∠KFB＝∠AFC，
∴△BKF∽△CAF，
∴FKAF=BKAC，
即AFAC=FKBK=13，
设AF＝x，则BF＝2x，AC＝3x，
∴CF=AC2+AF2=10x，
∴BK=3105x，FK=105x，
∴CE＝EK=3105x，
∵AM∥BC，
∴△AME∽△GCE，
∴AEEG=MECE=91010x÷3105x=32，
即AEEG=32．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/3 18:38:32；用户：初中数学；邮箱：lngyun01@xyh.cm；学号：39504563投篮20次投中的次数
6
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9
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人数
6
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每件售价x/元
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日销售量y/件
…
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
D
A
A
C
D
投篮20次投中的次数
6
7
9
12
人数
6
7
10
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每件售价x/元
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日销售量y/件
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