2024-2025学年辽宁省沈阳七年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳七年级（上）期末数学试卷，共28页。
C．点动成线D．以上都不对
2．如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字﹣4，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时，对应数轴上的数字是（ ）
A．9B．7C．﹣5D．﹣3
3．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛已经圆满落幕，中国乒乓球队再次展现了其王者之师的风采，更以史无前例的壮举——包揽全部五块金牌，为这场体育盛宴划上了最为辉煌的句号．比赛中，所采用的乒乓球的标准尺寸是40mm±0.05mm，下列尺寸的乒乓球中哪一个是不合格的（ ）
A．40.06mmB．40.02mmC．39.97mmD．39.95mm
4．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，a﹣b﹣c的值是（ ）
A．﹣34B．﹣66C．62D．﹣190
5．李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述．
小明：这个代数式是一个四次三项式；
小红：这个代数式的最高次项系数为﹣4；
小华：这个代数式的常数项是5．
如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（ ）
A．x2+4x2y2+5B．4x5﹣4x2y2+5
C．3x3﹣4xy3﹣5D．﹣2x3﹣4xy3+5
6．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）
A．11条B．10条C．9条D．8条
7．嫒嫒一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为21km，24km，19km，而两地的直线距离为12.1km，解释这一现象的数学知识最合理的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．公垂线段最短
8．“3•5”学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到，再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍，小明今年13岁，设刘爷爷今年x岁，则可列方程为：（ ）
A．4×（13+5）＝x+5B．4x＝13+5
C．4×13＝x+5D．（13+5）＝4（x+5）
9．如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：cm），竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高（ ）cm．
A．1.6B．2C．6D．6.4
10．如图，将两个边长为14cm的正方形的一部分重合在一起，此时整个图形的面积为360cm2，已知重合部分是一个长为8cm的长方形，则它的宽为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
二、填空题
11．一立体图形，用水平截面去截，所得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得截面是长方形，这个几何体可能是 ．
12．已知点A在数轴上表示的数是﹣3，点B在点A的右边，且它们之间的距离为1．将点B向右平移m个单位长度后，点B表示的数与点A表示的数恰好是互为相反数，则m＝ ．
13．定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于a，b的多项式﹣2amb3+na3b2是“齐次二项式”，在数轴上表示n的点在表示﹣2的点的右侧距离5个单位长度处，则mn＝ ．
14．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每分钟135米，若两人同向出发，经过 分钟后乙首次追上甲．
15．电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形ABC，AB＝6，AC＝7，BC＝8，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0＝3，第一步跳蚤从P0到AC边上P1点，且CP1＝CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2＝AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3＝BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn，则P2025与C之间的距离为 ．
三、解答题
16．计算与解方程：
（1）计算．
（2）解方程．
17．已知A＝3x2﹣4x，B＝x2+x﹣2y2．
（1）当x＝﹣2时，试求出A的值；
（2）当，时，请先化简，再求出A﹣3B的值．
18．某教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，该教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8；B组：8≤x＜8.5；C组：8.5≤x＜9；D组：9≤x＜9.5；E组：x≥9.5．
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图（两处）；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 °；
（3）该教育集团现有4000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？
19．如图是由十块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
20．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．每天以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 km；
（2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
（3）已知汽油车每行驶100km大约需用汽油7升，汽油价为8元/升：而新能源汽车每行驶100km耗电量大约为20度，每度电价为0.8元，请估计小明家换成新能源汽车后，这7天的行驶费用比原来节省多少钱？
21．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表：
（注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．）
（1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？
（2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简）
（3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差 分钟．（直接写出答案）
22．随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元．
（1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？
（2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值．
23．已知，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC．
（1）如图①，如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOB＝80°，则∠DOE＝ °；
（2）如图②，如果射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠AOB＝x°，则∠DOE＝ °；
（3）如果射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转，∠AOB＝x°，请借助图③探究∠DOE的度数．
2024-2025学年辽宁省沈阳184中七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是（ ）
A．线动成面B．面动成体
C．点动成线D．以上都不对
【考点】点、线、面、体．
【答案】C
【分析】根据点、线、面、体之间的关系，即可解答．
【解答】解：2024年“嫦娥号”飞船从月球返回地球时，卫星遥感记录了整个返回过程，那么卫星返回时留下的轨迹体现的数学原理是点动成线，
故选：C．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体之间的关系是解题的关键．
2．如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字﹣4，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时，对应数轴上的数字是（ ）
A．9B．7C．﹣5D．﹣3
【考点】数轴；正数和负数．
【答案】C
【分析】根据已知可得，数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时，距离这个时间的长短就是对应数的绝对值，没到的为负，已经超过的为正即可判断．
【解答】解：北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字（20﹣24）＝﹣4，
故数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时，
∴当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是﹣（24﹣19）＝﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查数轴，解决本题时需注意时间表上的数值越大说明时间越早，这与平时的计算稍有区别，需认真考虑．
3．2024年巴黎奥运会乒乓球比赛已经圆满落幕，中国乒乓球队再次展现了其王者之师的风采，更以史无前例的壮举——包揽全部五块金牌，为这场体育盛宴划上了最为辉煌的句号．比赛中，所采用的乒乓球的标准尺寸是40mm±0.05mm，下列尺寸的乒乓球中哪一个是不合格的（ ）
A．40.06mmB．40.02mmC．39.97mmD．39.95mm
【考点】正数和负数．
【答案】A
【分析】由标准得出范围39.95～40.05，即可求解．
【解答】解：根据题意可知，乒乓球的合格尺寸在39.95～40.05范围内．
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是关键．
4．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，a﹣b﹣c的值是（ ）
A．﹣34B．﹣66C．62D．﹣190
【考点】规律型：图形的变化类．
【答案】A
【分析】由题意易得三角形最下面的数字之间的规律为﹣（﹣2）n﹣1，三角形左边的数字之间的规律为（﹣2）n，三角形右边的数字之间的规律为（﹣2）n+2，然后问题可求解．
【解答】解：三角形最下面的数字之间的规律为﹣（﹣2）n﹣1，
三角形左边的数字之间的规律为（﹣2）n，
三角形右边的数字之间的规律为（﹣2）n+2，
∴第⑥个三角形中，a＝（﹣2）6＝64，b＝（﹣2）6+2＝66，c＝﹣（﹣2）6﹣1＝32，
∴a﹣b﹣c＝64﹣66﹣32＝﹣34；
故选：A．
【点评】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是找出数字之间的规律．
5．李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述．
小明：这个代数式是一个四次三项式；
小红：这个代数式的最高次项系数为﹣4；
小华：这个代数式的常数项是5．
如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（ ）
A．x2+4x2y2+5B．4x5﹣4x2y2+5
C．3x3﹣4xy3﹣5D．﹣2x3﹣4xy3+5
【考点】代数式．
【答案】D
【分析】根据多项式的相关概念逐项判断即可得解．
【解答】解：A、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为4，常数项是5，故不符合题意；
B、选项式子是一个五次三项式，故不符合题意；
C、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为﹣4，常数项是﹣5，故不符合题意；
D、选项式子是一个四次三项式，高次项系数为﹣4，常数项是5，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的运算法则是关键．
6．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（ ）
A．11条B．10条C．9条D．8条
【考点】多边形的对角线．
【答案】C
【分析】根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数﹣3，即可得出答案．
【解答】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线，
五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线，
六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线，
∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键．
7．嫒嫒一家准备周末从A地前往B地游玩，导航提供了三条可选路线（如图），其长度分别为21km，24km，19km，而两地的直线距离为12.1km，解释这一现象的数学知识最合理的是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．公垂线段最短
【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短．
【答案】C
【分析】由两点之间线段最短，即可得到答案．
【解答】解：解释这一现象的数学知识最合理的是两点之间线段最短．
故选：C．
【点评】本题考查线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
8．“3•5”学雷锋日“献上一杯姜茶”活动中，小明为环卫工刘爷爷献上热茶并帮助刘爷爷打扫卫生，小明了解到，再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍，小明今年13岁，设刘爷爷今年x岁，则可列方程为：（ ）
A．4×（13+5）＝x+5B．4x＝13+5
C．4×13＝x+5D．（13+5）＝4（x+5）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】A
【分析】设刘爷爷今年x岁，根据再过5年，刘爷爷的年纪正好是自己的4倍列方程即可．
【解答】解：由题意可得，
4×（13+5）＝x+5．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．如图，封闭玻璃容器里装有液体（单位：cm），竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时液体高（ ）cm．
A．1.6B．2C．6D．6.4
【考点】认识立体图形．
【答案】D
【分析】根据体积的意义可知，这个容器无论横放还是竖放，容器内水的体积不变，根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答．
【解答】解：8×8×8÷（10×8）
＝64×8÷80
＝6.4（厘米），
答：横放时液体高6.4厘米．
故选：D．
【点评】本题考查的是认识立体图形，解题的关键是灵活运用正方体、长方体的体积公式．
10．如图，将两个边长为14cm的正方形的一部分重合在一起，此时整个图形的面积为360cm2，已知重合部分是一个长为8cm的长方形，则它的宽为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】C
【分析】可设它的宽为x cm，根据整个图形的面积为360cm2，列出方程求出x即可．
【解答】解：设它的宽为x cm，依题意有：
8x+360＝14×14×2，
解得x＝4．
故它的宽为4cm．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出正确的相等关系是本题的关键．
二、填空题
11．一立体图形，用水平截面去截，所得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得截面是长方形，这个几何体可能是 圆柱 ．
【考点】截一个几何体．
【答案】圆柱．
【分析】圆柱用水平截面去截，所得的截面是圆；用竖直的截面去截，所得截面是长方形，据此可得答案．
【解答】解：根据题意可知，这个几何体可能是圆柱．
故答案为：圆柱．
【点评】本题主要考查了截一个几何体，掌握几何体的空间结构是关键，
12．已知点A在数轴上表示的数是﹣3，点B在点A的右边，且它们之间的距离为1．将点B向右平移m个单位长度后，点B表示的数与点A表示的数恰好是互为相反数，则m＝ 5 ．
【考点】数轴；相反数．
【答案】5．
【分析】根据A，B之间的距离可求出B表示的数，根据平移后点B表示的数与点A表示的数恰好是互为相反数，求出平移后B表示的数，再根据平移求出m即可．
【解答】解：∵A在数轴上表示的数是﹣3，点B在点A的右边，且它们之间的距离为1，
∴点B在数轴上表示的数是﹣3+1＝﹣2，
∵平移后点B表示的数与点A表示的数恰好是互为相反数，
∴﹣2+m+（﹣3）＝0，
∴m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数，理解题意，根据题意求解是解题的关键．
13．定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于a，b的多项式﹣2amb3+na3b2是“齐次二项式”，在数轴上表示n的点在表示﹣2的点的右侧距离5个单位长度处，则mn＝ 8． ．
【考点】多项式；数轴．
【答案】8．
【分析】根据多项式﹣2amb3+na3b2是“齐次二项式”求出m，再根据在数轴上表示n的点在表示﹣2的点的右侧距离5个单位长度处，求出n，再代入计算即可．
【解答】解：根据题意可知，m+3＝3+2，
解得：m＝2，
∵在数轴上表示n的点在表示﹣2的点的右侧距离5个单位长度处，
∴n＝﹣2+5＝3，
∴mn＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了多项式，数轴，掌握多项式的定义是关键．
14．甲、乙两人沿400米的环形跑道竞走，甲在乙前100米，甲、乙两人的速度分别为每分钟115米和每分钟135米，若两人同向出发，经过 5 分钟后乙首次追上甲．
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设经过x分钟后乙首次追上甲，根据两人所行的路程差为100米，列出方程解答即可．
【解答】解：设经过x分钟后乙首次追上甲，
由题意得135x﹣115x＝100，
解得：x＝5．
所以经过5分钟后乙首次追上甲．
故答案为：5．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
15．电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形ABC，AB＝6，AC＝7，BC＝8，如果电子跳蚤开始时在BC边的P0点，BP0＝3，第一步跳蚤从P0到AC边上P1点，且CP1＝CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2＝AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3＝BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为Pn，则P2025与C之间的距离为 4 ．
【考点】规律型：图形的变化类．
【答案】4．
【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳蚤的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案．
【解答】解：由条件可知CP0＝5，
∴CP1＝5，
∵AC＝7，
∴AP2＝AP1＝2，
∵AB＝6，
∴BP3＝BP2＝4，
∴CP4＝CP3＝4，
∴AP4＝3，
∴AP5＝AP4＝3，
∴BP5＝3，
∴BP6＝BP5＝BP0＝3，
经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．
∵2025÷6＝337……3，
即P2025与P3重合，
∴P2025与C之间的距离为8﹣4＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律是关键．
三、解答题
16．计算与解方程：
（1）计算．
（2）解方程．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
【答案】（1）0；（2）x＝﹣3．
【分析】（1）先计算括号内的，再计算乘除法，最后计算加减法，即可求解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝2﹣4+6﹣（9﹣5）
＝2﹣4+6﹣4
＝0；
（2），
3（x﹣1）﹣2（2x﹣3）＝6，
3x﹣3﹣4x+6＝6，
3x﹣4x＝6﹣6+3，
﹣x＝3，
解得：x＝﹣3．
【点评】本题主要查了有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握相应的运算法则是关键．
17．已知A＝3x2﹣4x，B＝x2+x﹣2y2．
（1）当x＝﹣2时，试求出A的值；
（2）当，时，请先化简，再求出A﹣3B的值．
【考点】整式的加减—化简求值．
【答案】（1）20；（2）﹣7x+6y2，．
【分析】（1）把字母的值代入代数式求值即可；
（2）先利用整式加减法化简，再把字母的值代入化简结果计算即可．
【解答】解：（1）x＝﹣2时，A＝3x2﹣4x＝3×（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝20；
即A的值为20；
（2）A﹣3B
＝（3x2﹣4x）﹣3（x2+x﹣2y2）
＝﹣7x+6y2，
当时，
原式＝
＝
＝．
【点评】此题考查了求代数式的值和整式加减中的化简求值，熟练掌握相关知识点是关键．
18．某教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，该教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8；B组：8≤x＜8.5；C组：8.5≤x＜9；D组：9≤x＜9.5；E组：x≥9.5．
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 100 名学生，并补全条形统计图（两处）；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 144 °；
（3）该教育集团现有4000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数；用样本估计总体．
【答案】（1）100；补全统计图见解答过程；
（2）144；
（3）1400人．
【分析】（1）根据统计图中B组的人数与占比，然后计算即可；根据E组人数占比为15%，求出E组人数，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可；
（2）根据C组人数的占比乘以360°计算求解即可；
（3）根据9小时及以上两组人数的占比乘以总人数即可解答．
【解答】解：（1）本次共调查了学生：20÷20%＝100（名），
E组人数为：100×15%＝15（名），
故A组人数为：100﹣20﹣40﹣20﹣15＝5（名），
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为＝144°，
故答案为：144；
（3）4000×＝1400（人），
答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有1400人．
【点评】本题主要考查了频数（率）分布直方图，用样本估计总体，扇形统计图，加权平均数，从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
19．如图是由十块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
【考点】作图﹣三视图．
【答案】图见解答．
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列正方形的数目从左往右分别为1，1，2；左视图有3列，每列正方形的数目从左往右分别为3，2，1；俯视图有3列，每列正方形的数目从左往右分别为3，2，1，即可画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．
【解答】解：画图如下．
【点评】本题主要考查了作图﹣三视图，直接画出不同方向看到的图形是解题的关键．
20．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电动汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．每天以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”
（1）这7天里路程最多的一天比最少的一天多走 47 km；
（2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？
（3）已知汽油车每行驶100km大约需用汽油7升，汽油价为8元/升：而新能源汽车每行驶100km耗电量大约为20度，每度电价为0.8元，请估计小明家换成新能源汽车后，这7天的行驶费用比原来节省多少钱？
【考点】正数和负数；有理数的混合运算．
【答案】（1）47；
（2）400千米；
（3）160元．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（3）结合（2）中所求列式计算即可．
【解答】解：（1）32﹣（﹣15）＝32+15＝47（km），
即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走47km，
故答案为：47；
（2）50×7+（﹣9﹣15﹣14+0+25+31+32）
＝350+50
＝400（千米），
即小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米；
（3）400÷100×7×8﹣400÷100×20×0.8
＝224﹣64
＝160（元），
即这7天的行驶费用比原来节省160元．
【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
21．现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营．某城市的新型网约车的计价规则如表：
（注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．）
（1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？
（2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a＞15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简）
（3）小王和小张各自乘坐新型网约车，小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元，两人计费项目也相同（远途费为0时视为没有这个计费项目），那么这两辆新型网约车的行车时长相差 24或30 分钟．（直接写出答案）
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．
【答案】（1）小东需付车费55元；
（2）当0＜a≤15时，应付车费（2a+0.5b）元，当a＞15时，应付车费（3a+0.5b﹣15）元；
（3）24或30．
【分析】（1）根据“城市的新型网约车的计价规则”列式计算；
（2）根据“城市的新型网约车的计价规则”分类列代数式表示；
（3）根据“小王比小张的行车里程少3公里，行程结束后反而多付了6元”列方程求解．
【解答】解：（1）20×2+20×0.5+（20﹣15）＝55（元），
答：小东需付车费55元；
（2）当0＜a≤15时，应付车费：2a+0.5b（元），
当a＞15时，应付车费：2a+0.5b+（a﹣15）＝3a+0.5b﹣15（元），
答：当0＜a≤15时，应付车费（2a+0.5b）元，当a＞15时，应付车费（3a+0.5b﹣15）元；
（3）设小王的行车时长比小张的行车时长多x分钟，
当他们的里程都不大于15时，3×2+3+6＝0.5x，解得：x＝30，
当他们的里程都大于15时，3×2+6＝0.5x，解得：x＝24，
故答案为：24或30．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，理解城市的新型网约车的计价规则是解题的关键．
22．随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元．
（1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？
（2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值．
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】（1）10月初购进200件A商品，300件B商品；
（2）m＝9．
【分析】（1）设10月初购进x件A商品，则购进（500﹣x）件B商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即购进A商品的数量），再将其代入（500﹣x）中，即可求出购进B商品的数量；
（2）利用销售利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设10月初购进x件A商品，则购进（500﹣x）件B商品，
根据题意得：40x+10（500﹣x）＝11000，
解得：x＝200，
∴500﹣x＝500﹣200＝300．
答：10月初购进200件A商品，300件B商品；
（2）根据题意得：40×（1+50%）×200+30×300×+30××300×（1﹣）﹣11000＝9400，
解得：m＝9．
答：m的值为9．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．已知，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC．
（1）如图①，如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOB＝80°，则∠DOE＝ 40 °；
（2）如图②，如果射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠AOB＝x°，则∠DOE＝ （） °；
（3）如果射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转，∠AOB＝x°，请借助图③探究∠DOE的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【答案】（1）40；
（2）（）；
（3）或．
【分析】（1）根据角平分线的定义解答即可；
（2）根据角平分线的定义解答即可；
（3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴．
故答案为：40；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴，
∴；
故答案为：（）；
（3）分两种情况：
①如图：
∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴，
∴；
②如图：
∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴，
∴．
综上所述，∠DOE的度数为或．
【点评】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．代数式
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
6．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
7．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
8．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
9．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
10．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
11．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
12．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
13．认识立体图形
（1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形．
（2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形．
（3）重点和难点突破：
结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内．
14．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动的观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
（3）从几何的观点来看
点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成．
15．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
16．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
17．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
18．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
19．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
20．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
21．多边形的对角线
（1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数）
（3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
（4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
22．作图-三视图
（1）画立体图形的三视图要循序渐进，不妨从熟悉的图形出发，对于一般的立体图要通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
（4）具体画法及步骤：
①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．
要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线画成虚线．
23．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
24．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距×＝频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
25．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
26．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣9
﹣15
﹣14
0
+25
+31
+32
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
2元/公里
0.5元/分钟
1元/公里
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
A
D
C
C
A
D
C
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣9
﹣15
﹣14
0
+25
+31
+32
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
2元/公里
0.5元/分钟
1元/公里