江西省南昌市2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析

这是一份江西省南昌市2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷总分：150分考试时长：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 椭圆的焦点坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程即可得到答案.
【详解】因为椭圆，，，焦点在轴，
所以，焦点坐标为.
故选：A
2. 已知向量与向量平行，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量平行的坐标表示列方程，化简求得的值.
【详解】由于，所以.
故选：C
3. 已知直线，，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】先根据两直线平行，解得a的值，再利用充分不必要条件、必要不充分条件的去判断.
【详解】由，可得，解得．
故选：D.
【点睛】本题主要考查充分不必要条件、必要不充分条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4. 已知、是空间中两个不同的平面，、是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间中线面、面面的位置关系可判断ABC选项；利用空间向量法可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，，则或，A错；
对于B选项，若，，则或、相交，B错；
对于C选项，若，，则或或、相交（不一定垂直），C错；
对于D选项，设直线、的方向向量分别为、，
若，，，则平面、的一个法向量分别为、，且，故，D对.
故选：D.
5. 圆上到直线的距离等于1的点有
A. 1个B. 3个C. 2个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由圆的方程找出圆心A的坐标和半径r＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心A到已知直线的距离为2，由AE﹣AD＝DE，即3﹣2＝1求出DE的长，得到圆A上的点到已知直线距离等于1的点有三个，如图，点D，P及Q满足题意．
【详解】由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE＝3，
则圆心（3，3）到直线3x+4y﹣11＝0的距离为d2，即AD＝2，
∴ED＝1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，
∴圆上的点到直线3x+4y﹣11＝0的距离为1的点有3个．
故选B．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．
6. 已知椭圆的标准方程为，点是椭圆的右焦点，过的直线与椭圆相交于两点，且线段的中点为，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点差法可表示出，由可求得，根据椭圆关系可求得离心率.
【详解】设，，则，，
两式作差整理可得：，
，，即，
.
故选：D.
【点睛】结论点睛：求解圆锥曲线中的中点弦问题时，常采用点差法，针对不同曲线，弦中点与弦所在直线斜率的关系如下：
（1）椭圆中，；
（2）双曲线中，；
（3）抛物线中，.
7. 在四棱锥中，平面平面，且是边长为2的正三角形，是正方形，则四棱锥外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F,取AD的中点E,在截面PEF中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P-ABCD的外接球的体积.
【详解】连接AC交BD于F，球心O在底面的射影必为点F，取AD的中点E,在截面PEF中，连结，如图，
在等边中，AD的中点为E，
所以, 又平面平面, 是交线，
所以平面, 且，
设，外接球半径为R,
则在正方形中，，
在中，，
而在截面中，，
由可得：
解得，
所以,
所以.
故选：D
8. 点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据椭圆的定义转化为，即求的最小值，即为圆心与的距离减半径即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
求的最小值即求的最小值，圆的半径为圆心为
所以的最小值为
所以的最小值为
故选：D
【点睛】本题考查了椭圆的定义，以及圆上一动点与圆外一定点的距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将多个动点转化为少（单）动点的问题，从而解决问题.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知圆与圆有四条公共切线，则实数的取值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意，两圆外离，从而由两圆圆心距离大于两圆半径的和即可求解.
【详解】解：圆的圆心，半径,
圆的圆心，半径，
两圆有四条公切线，
两圆外离，又两圆圆心距，
，解得或，
故选：AD.
10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以下四个选项正确的是（ ）
A. D1C∥平面A1ABB1B. A1D1与平面BCD1相交
C. AD⊥平面D1DBD. 平面BCD1⊥平面A1ABB1
【答案】AD
【解析】
【分析】A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误，∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误，其余选项正确.
【详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面D1CD∥平面A1ABB1，
所以D1C∥平面A1ABB1，所以A选项正确；
A1D1在平面BCD1内，所以B选项错误；
∠ADB=45°，所以AD不可能垂直于平面D1DB，所以C选项错误；
因为BC⊥平面A1ABB1，BC包含于平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面A1ABB1，所以D选项正确.
故选：AD
11. 已知直线l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为（ ）
A. 1B. C. ﹣2D. ﹣1
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可.
【详解】因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为，所以直线一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为：.
当时，直线与横轴垂直，方程为：不经过点，所以三条直线能构成三角形；
当时，直线的斜率为：.
当直线l1与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l2与直线l3的斜率相等时，即，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线l3过直线交点时，三条直线不能构成三角形，即有，
故选：BCD
【点睛】本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.
12. 已知椭圆，分别为它的左、右焦点，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点（点不与点重合），则下列结论中正确的有（）
A. 离心率B. 的周长为15
C. 若，则的面积为9D. 直线与直线斜率的乘积为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】由椭圆方程知，即可求离心率判断A，利用椭圆定义求周长判断B，利用勾股定理及椭圆定义求得，进一步求出面积判断C，利用斜率公式及点在椭圆上化简求解判断D.
【详解】由，可知.
对于A：，故A正确；
对于B：记，则，
的周长为，故B错误；
对于C：记，由题意，
所以，所以，故C正确；
对于D：设，，则，，
于是，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 与双曲线有公共的渐近线且过点的双曲线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合共渐近线的双曲线可设，代入点运算求解即可.
【详解】设所求双曲线的方程为，
因为点在双曲线上，可得，即，
所以双曲线的方程是.
故答案为：.
14. 若直线与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】曲线表示以原点为圆心、半径为1的半圆，数形结合求得当直线与曲线恰有一个公共点的实数b的取值范围作答．
【详解】曲线，即，表示以原点为圆心、1为半径的半圆（位于y轴及右侧的部分），如图，
当直线经过点时，；当直线经过点时，；
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得，求得（舍去），或，
观察图象，得当直线与曲线恰有一个公共点，实数b的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
15. 如图，在长方体中，若，且面对角线上存在一点使得最短，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，可知的最小值为，利用余弦定理运算求解.
【详解】把沿翻折，使矩形和在一个平面上，连接，
则的最小值为，
在中，可知，
由余弦定理得，
所以的最小值为.
故答案为：.
16. 设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合勾股定理可得与关系，进而得解.
【详解】由椭圆及双曲线定义得：，，
即，，
因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以，
即，
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知两条直线与的交点，求：
（1）过点且过原点的直线的方程；
（2）在（1）条件下，若直线与l平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意联立直线方程求点的坐标，进而可得直线方程；
（2）根据题意可设直线的方程为，结合点到直线的距离公式运算求解.
【小问1详解】
由，解得，
即直线过点和原点，所求直线方程为.
【小问2详解】
因为直线与直线平行，可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式得，解得，
故所求直线方程为或.
18. 已知四棱锥，底面是菱形，底面，且，点分别是棱和的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中点，借助平行四边形的性质，利用线面平行的判定推理得解.
（2）利用三棱锥体积公式，结合割补法计算即可.
【小问1详解】
在四棱锥中，底面是菱形，取的中点，连接.
由分别为的中点，得，
又是的中点，则，于是，
因此四边形为平行四边形，即有，而平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
由底面，且，为中点，得点到底面的距离为1，
菱形中，，则，
因此，
所以，即三棱锥的体积为.
19. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知过点直线与圆相交截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）结合线段的垂直平分线以及求得圆心，再求得半径，由此求得圆的方程.
（2）根据的斜率存在和不存在进行分类讨论，结合弦长求得直线的方程.
【详解】（1）线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线为，
由解得，所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，由，
即直线与圆相交所得弦长为符合题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由于，
所以，所以.
综上所述，直线的方程为或.
20. 如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形, ，,，为等边三角形.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】(1)略；(2)
【解析】
【分析】（1）推导出，从而得到平面，由此可证得；
（2）推导出，以B为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在四棱锥中，四边形是直角梯形，，,，为等边三角形，
所以，所以，,
所以，又由，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）因为，所以，
以为原点为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
由图形可知二面角的平面角是钝角，
设二面角平面角为，
所以，
即二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
21. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，实半轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线有两个不同的交点A和,且（其中为原点）,求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），由已知易求a，c，根据a，b，c的平方关系即可求得b值；（2）设A，B，则由，可得，联立方程组消掉y，根据韦达定理即可得到关于k的不等式，注意判别式大于0，解出即得k的范围.
【详解】（1）解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0）,
故双曲线方程为．
（2）解：将代入得
由得 且设A，B,则由得
，
又，,即
22. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，且经过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为2的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值（为坐标原点）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义求得，由此求得，从而求得椭圆的标准方程；
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，求出弦长，表示出的面积，利用不等式求出最值即可．
【详解】（1）由椭圆的定义，可知．
解得．
又．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为，
联立椭圆方程，得，
，得．
设，，
，，
，
点到直线的距离
，
当即，时取等；
所以面积的最大值为．
【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生逻辑思维能力和计算能力，直线上两点间的距离公式为：
1.；
2. ；
3.若过焦点，也可以使用焦半径公式．