江西省南昌市2023_2024学年高一数学上学期11月期中试题含解析

这是一份江西省南昌市2023_2024学年高一数学上学期11月期中试题含解析，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷总分：150分考试时长：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，集合，则集合（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合交集、补集的运算法则进行计算即可.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可．
【详解】解：根据含有量词的命题的否定，即先改变量词，然后再否定结论，
所以命题“，”的否定是，．
故选：．
3. 设函数为奇函数，当时，，则（ ）
A. -1B. -2C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】先计算，再利用奇函数定义计算．
【详解】函数为奇函数，，.
故选：C．
【点睛】本题考查由函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
4. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 与的关系不确定
【答案】B
【解析】
【分析】整数分为奇数和偶数，由此可得答案．
【详解】解：∵，
且，
k+2是整数，2k+1是奇数
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题．
5. 已知点在幂函数的图像上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的系数为可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，进而可求得的值.
【详解】由于函数为幂函数，则，解得，则，
由已知条件可得，得，因此，.
故选：A.
6. 若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】首先将原问题转化为，再利用基本不等式的知识求出的最小值即可.
【详解】不等式有解，
，
，
，
当且仅当，等号成立，
，，，
实数的取值范围是．
故选：D．
7. 高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，则函数的值域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对二次函数进行配方，结合函数的性质可得的值域，进而得到的值域．
【详解】，故
所以函数的值域为，
故选：B．
8. 已知，不等式在上恒成立，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判定分段函数的单调性，再计算即可.
【详解】由二次函数的单调性可知，时，单调递减，
时，单调递减，且，故函数在区间上单调递减，
因此不等式等价于，即，
因此有.
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据数集包含的元素逐个判断即可.
【详解】解：对于A：是自然数，所以，A错误；
对于B：是无理数，所以，B正确；
对于C：是有理数，所以，C错误；
对于D：是整数，所以，D正确，
故选：BD
10. 已知幂函数的图像如图所示，则a值可能为（ ）
A. B.
C. D. 3
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据幂函数的性质即可判断.
【详解】由图可知，定义域为R，且为奇函数，故B错误；
可知在上凸递增，则，故D错误.
故选：AC.
11. 如图，一高为且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出．如图，在某时刻，水面的高度为，水面对应圆的直径为，则下列说法正确的是（）
A. 是的函数B. 是的函数
C. 是的函数D. 是的函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析、、之间的关系，结合函数的定义判断即可.
【详解】对于每个时间，都有唯一的与之对应，所以A，B正确；
对于每个，根据对称性，有两个与之对应，所以C错误；
对于每个，有唯一的与之对应，所以D正确．
故选：ABD
12. 已知函数，若对于任意，都有，则的取值可能是（）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，利用换元法分析求出的解析式，把变形分析，可得在区间上为减函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，已知函数，
设，则，有，
故，
又由任意，都有，
即，变形可得，
设，
由，，可知，
则在区间上为减函数，
因为单调减区间为和，
必有或，解可得或，
即的取值范围为；
所以符合条件的选项只有选项AD.
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 若，，且，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由得到集合的范围要比集合的小或者与集合一样，从而得到的取值范围.
【详解】因为，，且
所以集合的范围要比集合的小或者与集合一样，
故的取值范围是
【点睛】本题考查由子集关系求参数的范围，属于简单题.
14. 函数的定义域是________．
【答案】
【解析】
【分析】列出使表达式有意义的的取值范围.
【详解】函数的定义域是：，解得：且
函数的定义域是且.
故答案为且
【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型.
15. 函数的值域是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用换元法把原函数转化成一元二次函数的问题，利用函数的单调性求解.
【详解】设，则，
所以，，
函数图象的对称轴为，开口向下，在区间上单调递减，
，
函数值域为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数的值域的求法以及换元法的应用，还考查了转化化归的思想，属于基础题.
16. 关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.
【详解】原不等式可化为，
①当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则；
②当时，得，此时解集中的整数为，，，则，
综上所述，的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1）6 ；（2）．
【解析】
【分析】（1）（2）利用指数的运算规则化简即可.
【详解】（1）．
（2）．
18. 已知全集为，集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求解集合，依据交集、并集、补集定义逐一计算即可；
（2）讨论和两种情况下的范围，取并集得出结果.
【小问1详解】
集合，
当时，．
所以，或，．
【小问2详解】
因为，
当时，，成立；
当时，，，解得：，
综上，，所以实数的取值范围是．
19. 已知集合，且.
（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；
（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据即可根据集合的包含关系求解，
（2）将问题转化成，进而求解的情况，即可求解不为空集的情况.
【小问1详解】
由于“”是真命题，
所以，而，所以，
解得，故的取值范围为.
【小问2详解】
因为，所以，得.
由为真，得，当时，或，得，因为，所以当时，
当时，，故的取值范围为.
20. 已知函数，.
（1）用定义法证明函数在区间上单调递增；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先设两个变量并给定大小关系，然后计算，并根据与的大小关系证明出的单调性；
（2）根据的解析式，将分为三类情况：，，，分别求解出的取值范围，最后取并集即可得到结果.
【详解】（1）证明：任取且，
所以 ，
又因为，所以，所以，
所以，所以函数区间上单调递增；
（2）因为，在上单调递减，在上单调递增：
①当时，必有，所以不合题意；
②当时，；
③当时，恒成立.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：
（1）设：设两个自变量，并给定大小关系；
（2）作差：计算；
（3）变形：将的结果化简至容易判断出正负；
（4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负；
（5）下结论：说明的单调性.
21. 建筑设计师需要设计如图所示的窗户，现要求满足：
①矩形且；
②建立如图直角坐标系后，曲线是二次函数图象的一部分．记边的长为，点到边的距离为（单位：）．
（1）求函数的解析式，并写出其定义域；
（2）为何值时，最小，并求的最小值．
【答案】（1），；
（2）m时，取最小值，最小值是．
【解析】
【分析】（1）根据函数过点，得出点的纵坐标，结合的长，即可求解；
（2）借助基本不等式即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以点的横坐标为，
设，将点代入，得，因此点的纵坐标是，
又边的长为，
所以，
由得，，所以定义域为；
【小问2详解】
，
当且仅当即m时，上式取等号，
即m时，取最小值，最小值是．
22. 已知．
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若，且对任意的，都存在，使得，求实数的值．
【答案】（1）或
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据根与系数的关系得到，解得答案.
（2）考虑，，三种情况，计算函数的值域，计算得到答案.
【小问1详解】
不等式的解集为，即方程的两根是，
因此，解得，
不等式，即，即，
解集为或；
【小问2详解】
因为，所以，
由题意知对任意的，都存在，使得，
①当时，，的取值范围是，即，
对任意的，都存在，使得，
等价于，即，解得，或（舍去）；
②当时，，的最小值为，
令，这时；
③当时，，的取值范围是，即，
对任意的，都存在，使得，
等价于，即，解得（舍去），或．
综上所述：或．