2022-2023学年江西省南昌市名校高二上学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省南昌市名校高二上学期期末考试数学试题（含解析）

南昌市名校2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题考试时间：120分钟第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，共计40分）1．空间四边形中，，，，且，，则（    ）A． B． C． D．2．已知直线与直线，若直线与直线的夹角为，则实数的值为（    ）A． B． C．或0 D．或3．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　）A．25种          B．50种         C．300种         D．150种4．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．5．已知，则（    ）A． B．2 C．4 D．126．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是(　　)A．eq \f(1,4)　　B．eq \f(2,3)　　C．eq \f(1,2)　　D．eq \f(1,3)7．已知点D在确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则：的最小值为（    ）A． B． C．1 D．28．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中，两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是（    ）A．56 B．28 C．24 D．12二、多选题（每题5分，多选不得分，漏选少选扣2分一个，共计20分）9．已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（    ）A．若，则B．，，两两共面，但，，不共面C．，，一定能构成空间的一个基底D．一定存在实数，，使得10．下列说法正确的是（    ）A．甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法B．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种C．3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种D．3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种11.如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，正确的是(　　)A．O­ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D­OB­A为45°12.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.则下列说法正确的是（    ）A．△ABF2的周长为12B．椭圆的离心率为C．的最大值为D．△ABF2面积最大值为第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共计20分）13．圆：与圆：没有公共点，则的取值范围为__________.14．的展开式中含项的系数为___________.15．一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______.四、解答题17（10分）．已知圆，其圆心在直线上．(1)求的值；(2)若过点的直线与相切，求的方程．18（12分）．（1）解不等式．（2）若，求正整数n．（3）从正方体ABCD­A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为？19（12分）．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，，点是的中点，(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值.20（12分）．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.21（12分）．如图所示，四棱台的上下底面均为正方形，面面，，.(1)求到平面的距离；(2)求二面角的正弦值.22（12分）．已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.(1)求椭圆C的标准方程：(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；②点O为坐标原点，求面积的最大值.参考答案：1．D【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，，如图，所以，所以，故选：D2．C【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】的斜率为，所以其倾斜角为，直线恒过点,若直线与直线的夹角为，则的倾斜角为或者，所以斜率为或，故选：C3．D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种.综上，选法共有.故选:D.4．A【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为，利用即可得解.【详解】因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且，又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，所以设所求双曲线为，即，则，解得，所以所求双曲线为.故选：A.5．C【分析】令，直接根据二项式定理求解即可.【详解】令，则，故，中得系数为，中得系数为，所以，故选：C.6．D　[一个家庭中有两个小孩只有4种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)．记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是女孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，AB＝{(女，女)}．于是可知P(A)＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,4)．问题是求在事件A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P(B|A)，由条件概率公式，得P(B|A)＝eq \f(\f(1,4),\f(3,4))＝eq \f(1,3)．]7．A【分析】根据空间向量共面可得，然后利用二次函数的性质即得.【详解】因为，所以，又点D在确定的平面内，所以，即，所以，所以当时，的有最小值.故选：A.8．B【分析】设两个社团分别为甲乙，按A在甲社团B在乙社团和A在乙社团B在甲社团两种类型讨论，每种类型又分甲社团有2 人、3 人、4 人三种情况，运用排列组合公式计算方案数.【详解】设两个社团为甲社团和乙社团，当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2 人有种方案，甲社团有3 人有种方案，甲社团有4人有种方案，共种方案；当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；所以不同的安排方案数是14+14=28.故选：B9．ABC【分析】由已知，选项A，可使用反证法，假设结论不成立来推导条件；选项B，可根据基底的定义和性质来判断；选项C，可先假设，，共面，得到无解，即可判断，，组成基底向量；选项D，由，，不共面可知，不存在这样的实数.【详解】选项A，若不全为，则，，共面，此时与题意矛盾，所以若，则，该选项正确；选项B，由于，，是空间的一个基底，根据基底的定义和性质可知，，，两两共面，但，，不共面，该选项正确；选项C，假设，，共面，则，此时，无解，所以，，不共面，即可构成空间的一个基底，所以该选项正确；选项D，，，不共面，则不存在实数，，使得，故该选项错误.故选：ABC.10．ACD【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A的正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确；对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法，所以共有种排法，故B错误；对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法，所以共有种排法，故C正确；对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D正确.故选：ACD11.ACD　[将原图补为正方体不难得出只有B错误，故选ACD．]12. ACD【分析】A由椭圆定义求焦点三角形周长；B根据椭圆离心率定义求离心率；C当轴求出最小值，即可得最大值；D令直线代入椭圆，应用韦达定理、三角形面积公式得到关于的表达式，研究其最值即可.【详解】A：由三角形的周长为，正确；B：由，故椭圆的离心率为，错误；C：要使最大，只需最小，根据椭圆性质知：当轴时，故，正确；D：令直线，代入椭圆方程整理得：，所以，且，，而，令，则，当且仅当时等号成立，显然等号不成立，又在上递增，即时最小，此时最大为，正确.故选：ACD13．【分析】先用配方法确定圆心和半径，两圆没有公共点，说明它们内含或者外离，找出圆心距和半径之间的关系可得参数的范围.【详解】圆：，圆：两圆没有公共点，则两圆外离或内含.若两圆外离，则，∴若两圆内含，则，∴.综上：.故答案为：14．【分析】利用乘法分配律得到，则来自于的展开式，根据二项式定理即可求解.【详解】，的展开式中项为：，的展开式中没有项，故的展开式中含项的系数为，故答案为：.15．##【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得故故答案为：【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为点在双曲线右支上，所以，所以，得，由双曲线的性质可得，所以，化简得，所以，解得，因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为，17．(1)；(2)或.【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆的标准方程为：，所以，圆心为.由圆心在直线上，得.所以，圆的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，即，由于直线和圆相切，得，解得：，代入整理可得.所以，直线方程为：或.18．（1）；（2）；（3）58【分析】（1）根据排列数公式求解；（2）由组合数的性质求解；（3）由分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算．【详解】（1）由题意，且，，经验算可解得；（2）原方程为，，满足题意，且是在且时递增的，因此是唯一解；（3）58　[从8个顶点中任取4个有Ceq \o\al(4,8)种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有Ceq \o\al(4,8)－12＝58个不同的四面体．]19．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析，.【分析】(1)连接，，记两直线的交点为，证明，根据线面平行判定定理证明平面；(2)证明，，根据线面垂直判定定理证明平面；(3) 以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，由垂直关系列方程求出即可.【详解】（1）连接，，记两直线的交点为，因为四边形是正方形，所以为的中点，又点为的中点，所以，平面，平面，所以平面；（2）因为，，，所以，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为四边形是正方形，所以，又，平面，平面，所以平面；（3）因为平面，，故以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，， ，，设在线段上存在点，使得，且， 则，所以，因为，若，则，解得：，所以在线段上存在点，使得且.20．解 设事件A表示“飞机被击落”，事件Bi表示“飞机被i人击中”(i=0,1,2,3)，则B0，构成样本空间的一个划分，且依题意，P(A|B0)=0，P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6, P(A|B3) = 1。再设事件Hi表示“飞机被第i人击中”i=1，2，3).因此,飞机被击落的概率为0.458.21．(1)(2)【分析】（1）根据平面平面，得到平面，进而得到平面平面，将点到平面的距离，转化为到平面的距离求解；（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为，，由求解.【详解】（1）解：∵平面平面，平面平面，，∴平面，又∵平面，∴平面平面，∴到平面的距离，即为到平面的距离，过作于点，∴平面，，∴到平面的距离为.（2）建立如图所示空间直角坐标系，∴，，，，由，∴，，，设平面和平面的一个法向量分别为，，∴，设二面角平面角为，∴，.22．(1)(2)① ；②.【分析】(1) 椭圆 的上顶点到右顶点的距离为 , 离心率为 , 列出方程, 求解 , 得到椭圆的标准方程.(2)①设直线 方程: , 联立直线与椭圆方程, 利用韦达定理求解直线 方程, 然后得到定点坐标.②由（1）中 , 利用弦长公式, 求解三角形的面积表达式, 然后求解最大值即可.【详解】（1）由题意可得:故椭圆的标准方程为 .（2）证明:①由题意知, ,设直线 方程: ,联立方程 , 得 ,所以 , 所以 , 又 , 所以直线 方程为: , 令 , 则 . 所以直线 过定点 .② 由①中 , 所以 ,又 ，所以 ,令 , 则 ,令 , 当 时, ,故 在 上单调递增,则 在 上单调递减,即 在 上单调递减,所以 时, .