贵州省贵阳市花溪区高坡民族中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

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(满分150分，考试时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)
1．在eq \f(x,3)，eq \f(x,x)，eq \f(1,2)(m＋n)，eq \f(1,a)，eq \f(2x,π－1)，eq \f(m－n,m＋n)，eq \f(1,y)(15－πr2)中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列分式中为最简分式的是（ ）
A.eq \f(6,3a) B.eq \f(m－1,m2＋1) C.eq \f(m＋2,m2－4) D.eq \f(3－x,x－3)
3．芯片制造已经进入5 nm器件的量产时代，5 nm就是0.000 000 005 m．数据0.000 000 005用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10－8 B．5×10－8 C．5×10－9 D．5×10－10
4．若分式eq \f(2,4－2x)有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＝2 D．x≠2
5．下列分式中与分式eq \f(－a,m－n)相等的是（ ）
A.eq \f(a,m－n) B.eq \f(a,－m＋n) C.eq \f(a,m＋n) D．－eq \f(a,m＋n)
6．与(－5)2互为倒数的是（ ）
A．5－2 B．－(－5)－2 C．－5－2 D．－52
7．下列式子中错误的是（ ）
A.eq \f(1－3x,－x－2)＝eq \f(3x－1,x＋2) B.eq \f(2x3y,4x2y2)＝eq \f(x,2y)
C．(x2－xy)÷eq \f(x－y,x)＝(x－y)2 D.eq \f(4,x－2)＋eq \f(x＋2,2－x)＝－1
8．解分式方程eq \f(2,x＋1)＋eq \f(3,x－1)＝eq \f(6,x2－1)，下列错误的一步是（ ）
A．分式方程中各分母的最简公分母是(x－1)(x＋1)
B．方程两边乘(x－1)(x＋1)，得2(x－1)＋3(x＋1)＝6
C．解这个整式方程，得x＝1
D．原分式方程的解为x＝1
9．计算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a,b)))eq \s\up12(2)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a2,5b)))eq \s\up12(2)·eq \f(a,5b)的结果为（ ）
A.eq \f(125b,4a3) B.eq \f(5,4ab) C．－eq \f(125b,4a3) D．－eq \f(5,4ab)
10．已知b－eq \f(1,2)a2＝0，则eq \f(3ab＋3b,a2＋b)的值为（ ）
A．a2＋1 B．b2＋1 C．a＋1 D．b＋1
11．某课本习题：“某超市的一种瓶装饮料每箱售价为36元，五一期间对该瓶装饮料进行促销活动，买一箱送两瓶，这相当于每瓶按原价九折销售，求这家超市销售这种饮料的原价每瓶是多少元及每箱多少瓶．”以下为四位同学列出的方程，正确的是（ ）
甲：解：设该品牌的饮料每瓶是x元，则eq \f(36,x)－eq \f(36,0.9x)＝2
乙：解：设该品牌的饮料每箱x瓶，则eq \f(36,x)×0.9＝eq \f(36,x＋2)
丙：解：设该品牌的饮料每瓶是x元，则0.9(36＋2x)＝36
丁：解：设该品牌的饮料每箱x瓶，则eq \f(36,x)＝eq \f(36×0.9,x＋2)
A．甲、丁 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙
12．规定一种新运算“★”：x★y＝eq \f(1,xy)＋eq \f(1,（x＋1）（y＋a）).已知2★1＝eq \f(2,3)，则25★26的值为（ ）
A．－eq \f(2,675) B.eq \f(4,675) C.eq \f(2,675)或－eq \f(2,675) D.eq \f(2,675)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．若分式 eq \f(x2－49,x＋7)的值为0，则x的值为 .
14．计算：eq \f(x,4－x)＋eq \f(4,x－4)＝ .
15．从A地到B地有两条行车路线，路线一：全程30 km，但路况不太好；路线二：全程36 km，但路况比较好，一般情况下走路线二的平均车速是走路线一的平均车速的1.8倍，走路线二所用的时间比走路线一所用的时间少20 min.那么走路线二的平均车速是 km/h.
16．阅读下列材料：①eq \f(1,x＋1)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,x－2)－eq \f(1,x－3)的解为x＝1，②eq \f(1,x)－eq \f(1,x－1)＝eq \f(1,x－3)－eq \f(1,x－4)的解为x＝2，③eq \f(1,x－1)－eq \f(1,x－2)＝eq \f(1,x－4)－eq \f(1,x－5)的解为x＝3，请观察上述方程与解的特征，则能反映上述方程一般规律的方程eq \f(1,x－（n－2）)－eq \f(1,x－（n－1）)＝eq \f(1,x－（n＋1）)－eq \f(1,x－（n＋2）)，它的解为 .
三、解答题(本大题共9小题，共98分)
17．(12分)约分：
(1)eq \f(18xy,27x3y2)； (2)eq \f(3m－15,m2－25).
18．(10分)计算：
(1)(3.14－π)0－|－4|＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(－3)；
(2)eq \f(12,m2－9)＋eq \f(2,m＋3).
19．(10分)计算：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2a)))eq \s\up12(2)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3b)))·eq \f(4a,b3)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x2－x)－\f(x,x2－2x＋1)))÷eq \f(1,x－1).
20．(10分)解下列方程：
eq \a\vs4\al(（1）\f(30,x)＝\f(10,x＋1)；)
eq \a\vs4\al(（2）\f(1,x－2)＝\f(1－x,2－x)－3.)
21．(10分)先化简eq \f(1,（x＋1）（x－1）)·eq \f(（x－1）2,x)－eq \f(2,x＋1)，然后从－1，0，2中选一个合适的x的值，代入求值．
22．(10分)已知A，B两地相距a km，甲乙两人分别从A，B两地同时匀速出发，若相向而行，则经过a min后两人相遇，若同向而行，则经过b(b＞a)min后甲追上乙．
(1)试用含a，b的代数式表示甲、乙两人的速度v甲，v乙；
(2)若eq \f(v甲,v乙)＝eq \f(7,3)，求eq \f(a,b)的值；
(3)若两人相向而行，第一次相遇后继续按原方向前进，其中甲到达B地后按原路返回．直接写出甲、乙从第一次相遇到再次相遇所需的时间．
23．(12分)某工程队修建一条长1 200 m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．
(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米；
(2)在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？
24．(12分)已知关于x的方程 eq \f(2x,x－2)＋eq \f(m,x－2)＝－2.
(1)当m＝5时，求方程的解；
(2)当m取何值时，此方程无解；
(3)当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
25．(12分) 【阅读材料】定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时称之为“假分式”，如：eq \f(x－1,x＋2)，eq \f(x2,x－1).当分子的次数小于分母的次数时称之为“真分式”，如：eq \f(3,x＋1)，eq \f(2x,x2＋1).假分式也可以化为带分式，如：eq \f(x－1,x＋1)＝eq \f(（x＋1）－2,x＋1)＝1－eq \f(2,x＋1).
(1)【思考】分式eq \f(1,3x)是 分式(选填“真”或“假”)；
(2)【探究】将假分式eq \f(x2＋4x－2,x＋2)化为带分式；
(3)【拓展】先化简eq \f(3x－6,x－1)－eq \f(x＋1,x)÷eq \f(x2－1,x2－2x)，并求x取什么整数时，该式的值为整数．