初中数学浙教版（2024）九年级上册第2章 简单事件的概率2.2 简单事件的概率达标测试

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\l "_Tc20365" 【题型1 事件的分类】 PAGEREF _Tc20365 \h 1
\l "_Tc8124" 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 PAGEREF _Tc8124 \h 3
\l "_Tc3900" 【题型3 根据概率公式计算概率】 PAGEREF _Tc3900 \h 5
\l "_Tc24704" 【题型4 几何概率】 PAGEREF _Tc24704 \h 7
\l "_Tc3486" 【题型5 游戏的公平性】 PAGEREF _Tc3486 \h 11
\l "_Tc25335" 【题型6 概率在比赛中的应用】 PAGEREF _Tc25335 \h 14
\l "_Tc20093" 【题型7 概率在电路问题中的应用】 PAGEREF _Tc20093 \h 18
\l "_Tc1062" 【题型8 概率在转盘抽奖中的应用】 PAGEREF _Tc1062 \h 22
\l "_Tc2478" 【题型9 概率在摸球试验中的应用】 PAGEREF _Tc2478 \h 26
\l "_Tc6144" 【题型10 概率中的其他应用】 PAGEREF _Tc6144 \h 30
\l "_Tc6394" 【题型11 概率与统计的综合】 PAGEREF _Tc6394 \h 33
\l "_Tc14379" 【题型12 用频率估计概率】 PAGEREF _Tc14379 \h 40
【知识点1 必然事件、不可能事件、随机事件】
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。
必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。
【题型1 事件的分类】
【例1】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，，然后根据有理数的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可．
【详解】解：∵数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，
，，
∴，无法确定和的正负，，，
A、是不可能事件，故A不符合题意；
B、是随机事件，故B符合题意；
C、是必然事件，故C不符合题意；
D、是不可能事件，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，数轴，有理数的加法，减法，乘法，除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·广东梅州·九年级统考期末）下列成语，是必然事件的是（ ）
A．画饼充饥B．不期而遇C．水中捞月D．旭日东升
【答案】D
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可区别各类事件．
【详解】解：A、画饼充饥是不可能事件，不符合题意；
B、不期而遇是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月是不可能事件，不符合题意；
D、旭日东升是必然事件，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式1-2】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）下列事件：
掷一次骰子，向上一面的点数是；
从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球；
个人中至少有两个人的生日是在同一个月份；
射击运动员射击一次命中靶心．
其中是确定事件的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据事件分类的相关定义进行解答即可．事件分为随机事件、不可能事件、必然事件，其中不可能事件和必然事件统称为确定事件．在一定条件下；可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；必然发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件．
【详解】解：掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，不符合题意；
从一个只装有黑色球的袋子摸出一个球，摸到的是白球，是不可能事件，属于确定事件，符合题意；
个人中至少有两个人的生日是在同一个月份，是必然事件，属于确定事件，符合题意；
射击运动员射击一次命中靶心，是随机事件，不符合题意；
综上分析可知，是确定事件的有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是事件的分类，掌握相关概念是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·江苏镇江·九年级统考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是 （填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
【答案】随机事件
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，
意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．
故答案为：随机事件．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
【知识点2 事件发生的可能性的大小】
必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
【题型2 判断事件发生的可能性的大小】
【例2】（2023春·全国·九年级期末）在下列事件中，发生的可能性最小的是（ ）
A．在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下
B．射击运动员射击一次，命中环
C．杭州五一节当天的最高温度为
D．用长为，，三根木棒做成一个三角形
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件类型，即可得到答案．
【详解】解：A、在地面上抛一颗骰子，骰子终将落下，是必然事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中环，是随机事件，不符合题意；
C、杭州五一节当天的最高温度为，是随机事件，不符合题意；
D、用长为，，三根木棒做成一个三角形，是不可能事件，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在之间．
【变式2-1】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）小明连续抛一枚质量均匀的硬币次，都是正面朝上，若他再抛一次，则朝上的一面（ ）
A．一定是正面B．是正面的可能性较大
C．一定是反面D．是正面或反面的可能性一样大
【答案】D
【分析】根据实际情况可知，硬币有2面，正面和反面；
投掷一次，正面与反面的可能性是一样的，据此解答.
【详解】解：小明连续抛一枚硬币，前5次都是正面朝上， 抛第6次正面朝上和反面朝上的可能性一样大．
故选D.
【点睛】本题考查的是可能性的运用,较为简单.
【变式2-2】（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）在质地均匀的小立方体中，有一个面上标有数字1，有两个面上标有数字2，有三个面上标有数字3，抛掷这个小立方体，则向上一面的数字可能性最大的是 ．
【答案】3
【分析】根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：小立方体的一个面上标有数字1，两个面上标有数字2，三个面上标有数字3，
向上一面的数字可能性最大的是3；
故答案为：3．
【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．
【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级统考期末）一个袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．
【答案】黄
【分析】利用概率公式分别计算出摸到红球、黄球、白球的概率，然后利用概率的大小判断可能性的大小．
【详解】解：∵袋中装有3个红球，5个黄球，3个白球，
∴总球数是：个，
∴摸到红球的概率是；
摸到黄球的概率是；
摸到白球的概率是；
∴摸出黄球的可能性最大．
故答案为：黄．
【点睛】本题主要考查了可能性的大小，解题的关键是计算每种颜色球摸到的概率．
【知识点3 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
【题型3 根据概率公式计算概率】
【例3】（2023春·四川广元·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应在该盒子中再添加红球（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】D
【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式3-1】（2023春·辽宁铁岭·九年级统考期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】首先由等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，再直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵等边三角形、平行四边形、、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是轴对称图形的概率是：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率公式，轴对称图形的识别，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【变式3-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A．摸到黄球、红球的概率均为
B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率均为
C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为、、
D．摸到黄球、红球、白球的概率都是
【答案】B
【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项．
【详解】A.；
B.，不成立；
C.;
D.;
故选：B．
【点睛】本题考查简单事件的概率．一次试验中有n种等可能的结果，每种结果出现的概率之和为1．
【变式3-3】（2023春·四川泸州·九年级统考期末）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．
【详解】解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率为： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式，掌握遇到每种信号灯的概率之和为1是关键．
【知识点4 用列表法、树状图法求概率】
列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。
树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型4 几何概率】
【例4】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．
【详解】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴最终停在阴影区域上的概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n,再计算出其中某个区域的几何图形的面积m,然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=．
【变式4-1】（2023·广西河池·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可.
【详解】因为⊙O的直径为分米，则半径为分米，⊙O的面积为平方分米；
正方形的边长为分米，面积为1平方分米；
因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，
所以P（豆子落在正方形ABCD内）．
故答案为A．
【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，如果试验的基本事件为m，随机事件A所包含的基本事件数为n，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=，熟记概率公式是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，为中线，点，，为的四等分点，在内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ．
【答案】
【分析】先求出阴影部分的面积与总面积的关系，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求出答案．
【详解】解：∵在中，为中线，
∴，
∵点为的四等分点，
∴，，，
∴，
∴，
∴豆子落在阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了几何概率，关键是求出阴影部分的面积与总面积的关系，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是 ．
【答案】
【分析】设正方形的边长为4，将的面积和的面积计算出来，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求出此点取自黑色部分的概率.
【详解】设正方形的边长为4，
则,且
是等腰直角三角形

∵Rt中，
∴此点取自黑色部分的概率是
【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是正确计算出阴影部分的面积.
【题型5 游戏的公平性】
【例5】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．
(1)当时，谁获胜的可能性大？
(2)要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
【答案】(1)摸到红球的可能性更大
(2)
【分析】（1）根据时，红球的个数多于黄球的个数，即可得出结论；
（2）根据概率相等时，游戏公平，列式求解即可．
【详解】（1）解：当时，则红球有10个，黄球有5个，
红球的个数多于黄球的个数，
摸到红球的可能性更大，
当时，甲同学获胜可能性大；
（2）要使游戏对甲乙双方公平，必须有：
解得；
当时，游戏对甲乙双方是公平的．
【点睛】本题考查利用概率解决游戏公平性．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）有3张背面相同的纸牌，，，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率；
(2)小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用，，表示）
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有2种，再利用概率公式计算即可得；
（2）先画出树状图，从而可得摸出两张牌的所有等可能的结果，再找出摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果，然后利用概率公式求出摸出两张牌面图形都是轴对称图形、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有纸牌，共2种，
则摸出牌面图形是轴对称图形的概率为．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，摸出两张牌共有9种等可能的结果，其中摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果有4种、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的结果有5种，
则摸出两张牌面图形都是轴对称图形的概率是，摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率是，
因为，
所以这个游戏不公平．
【点睛】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
【变式5-2】（2023·北京海淀·九年级期末）在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜．
(1)请用列表的方法，求小明获胜的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)游戏公平，理由如下．
【分析】（1）根据题意以小明为横排，小东为竖列，列出所有情况，找到和小于时的情况及大于或等于的情况，根据即可得到答案；
（2）比较小东、小明的概率即可得到公平性．
【详解】（1）解：由题意可得，以小明为横排，小东为竖列，列表如下：
根据表可知：总共有种情况，小于的有6种，大于或等于的有6种，
∴ ；
（2）解：这个游戏公平，理由如下，
由（1）得，
，
∴
∴这个游戏公平．
【点睛】本题考查用列表法求概率及判断游戏公平性，解题的关键是，列出表格，找到所有情况及小于的情况．
【变式5-3】（2023春·黑龙江黑河·九年级统考期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
【答案】(1)此游戏不公平，见解析
(2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢
【分析】（1）画树状图求出淘淘和明明获胜的概率，再比较概率即可判定游戏是否公平；
（2）设计一个两人获胜概率一样的游戏规则即可．
【详解】（1）解：画树状图：
由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故P(和为6)，P(和为7)．
P(和为6)