人教版数学八年级上册八年级上册期中测试试卷02（2份，原卷版+解析版）

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1．（4分）已知一个三角形的两边长分别为a＝5cm，b＝8cm，则第三边长c的取值范围是（ ）
A．c＞3cmB．c＜13cmC．3cm＜c＜13cmD．5cm＜c＜8cm
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形的两边长分别为3和8，
∴第三边长的取值范围是：8﹣5＜第三边＜8+5．
即：3＜c＜13，
故选：C．
2．（4分）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
3．（4分）“又是一年三月三”．在校内劳动课上，小明所在小组的同学们设计了如图所示的风筝框架．已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，△ABC的周长为24cm，FC＝3cm．制作该风筝框架需用材料的总长度至少为（ ）
A．44cmB．45cmC．46cmD．48cm
【分析】根据BF＝EC以及边与边的关系即可得出BC＝EF，再结合∠B＝∠E、AB＝DE即可证出△ABC≌△DEF（SAS），进而得出C△DEF＝C△ABC＝24cm，结合图形以及CF＝3cm即可得出制成整个金属框架所需这种材料的总长度．
【解答】解：∵BF＝EC，BC＝BF+FC，EF＝EC+CF，
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴C△DEF＝C△ABC＝24cm．
∵CF＝3cm，
∴制成整个金属框架所需这种材料的总长度为C△DEF+C△ABC﹣CF＝24+24﹣3＝45cm．
故选：B．
4．（4分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．16B．20C．40D．80
【分析】过P作PE⊥BC于E，根据角平分线的性质得出PE＝PA＝PD，求出PE＝PA＝PD＝AD＝4，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：过P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠CDP＝90°，
即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝8，
∴PE＝PD＝AP＝4，
∵BC＝10，
∴△BCP的面积为＝＝20．
故选：B．
5．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．9.6B．8C．6D．4.8
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP＝CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，
∴BQ＝＝9.6．
故选：A．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝40°，则∠CDE的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
【分析】根据三角形外角性质和等腰三角形的性质得出∠BAD+∠B＝∠C+2∠EDC，进而解答即可．
【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝40°+∠B，
∵∠AED是△DEC的外角，
∴∠AED＝∠C+∠EDC，
∵∠ADE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠C+∠EDC，
∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠C+2∠EDC，
∵∠B＝∠C，
∴∠B+40°＝∠B+2∠EDC，
∴∠EDC＝20°，
故选：C．
7．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列说法不正确的是（ ）
A．与∠1互余的角只有∠2
B．点B到CD的距离是BD的长
C．∠1＝∠B
D．若∠A＝2∠1，则∠B＝30°
【分析】根据直角三角形两锐角互余和等角或同角的余角相等对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠1+∠A＝90°，
∴与∠1互余的角有∠2与∠A两个角，故本选项错误；
B、点B到CD的距离是BD的长，故本选项正确；
C、∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，
∴∠1＝∠B，故本选项正确；
D、∵∠A＝2∠1＝2∠B，
∴∠A+∠B＝3∠B＝90°，
解得∠B＝30°，故本选项正确．
故选：A．
8．（4分）如图，已知AB∥CD，AC⊥AB，点P是AB上的一点，连结CP，将△ACP沿CP所在直线折叠，点A落在点M处，连结MB，MD．若∠B＝∠D，∠CMD＝∠PMB+12°，则∠ACP＝（ ）
A．24°B．24.5°C．25°D．25.5°
【分析】连接PM并延长交CD于点E，根据折叠与平行线的性质以及三角形内角和定理求出∠APC的值，并进一步得到∠ACP的值．
【解答】解：如图，连接PM并延长交CD于点E，
由折叠与平行线的性质可知：∠CME＝∠CMP＝∠A＝90°，∠2＝∠3，∠2＝∠1+∠D，∠B＝∠D，
2∠3＝∠1+∠B＝∠CMD﹣90°+180°﹣∠3﹣∠PMB，2∠3＝90°+∠CMD﹣∠PMB＝102°，∠3＝51°，
∠APC＝＝64.5°，
∠ACP＝90°﹣∠APC＝90°﹣64.5°＝25.5°
故选：D．
9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（ ）
A．24B．22C．20D．18
【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．
【解答】解：∵CG∥AB，
∴∠B＝∠MCG，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
在△BMH和△CMG中，
，
∴△BMH≌△CMG（ASA），
∴HM＝GM，BH＝CG，
∵AB＝6，AC＝8，
∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，
∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，
∵∠A＝90°，MH⊥AB，
∴GH∥AC，
∴四边形ACGH为矩形，
∴GH＝8，
∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，
故选：B．
10．（4分）在平面直角坐标系中，若干个等腰三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“O→A1→A2→A3→A4…”的路线运动（每秒一条直角边），已知A1坐标为（1，1），A2（2，0），A3（3，1），A4（4，0）…设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2022的坐标是（ ）
A．（2022，0）B．（2021，1）C．（1011，0）D．（2022，﹣1）
【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律，再按规律写出结果便可．
【解答】解：由题意知，
A1（1，1），
A2（2，0），
A3（3，1），
A4（4，0），
A5（5，﹣1），
A6（6，0），
A7（7，1），
…
由上可知，每个点的横坐标等于序号，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，﹣1，0这样循环，
∵点P从原点O出发，第n秒运动到点P2022，即点A2022，
∴P2022（2022，0），
故选：A．
11．（4分）如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（ ）
A．（m﹣60）°B．（180﹣2m）°C．（2m﹣90）°D．（120﹣m）°
【分析】如图连接AE．证明△ADC≌△ADE（SAS），求出∠ABE＝∠AEB＝m即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝60°，
∵∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，
∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°，
∴∠ADC＝∠ADE，
∵AD＝AD，DC＝DE，
∴△ADC≌△ADE（SAS），
∴∠C＝∠AED＝60°，∠DAC＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DBA，
∴∠BDE＝∠BAE＝180°﹣2m，
∵AE＝AC＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣180°+2m）＝m，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝（m﹣60）°，
故选：A．
12．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD、BE、CF交于O，OH⊥BC于H．下列结论：①∠BOC＝120°；②∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC；③OD平分∠BOC；④BF+CE＝BC．其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由∠BAC＝60°得∠ABC+∠ACB＝120°，即可求得∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，可判断①正确；
由∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC，而∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB），可推导出∠DOH＝90°﹣（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣∠ABC＝（∠ACB﹣∠ABC）＝∠OCB﹣∠OBC，可判断②正确；
由∠BAC＝60°，∠ABC＜60°得∠ABC＜∠ACB，则∠ABC＜∠ACB，再由∠OAB＝∠OAC推导出∠OBA+∠OAB＜∠OCA+∠OAC，即可证明∠BOD＜∠COD，可判断③错误；
在BC上截取BI＝BF，连接OI，由∠EOF＝∠BOC＝120°得∠AFO+∠AEO＝180°，即要证明∠CEO＝∠AFO，再证明△OBI≌△OBF，得∠OIB＝∠OFB，则∠CIO＝∠AFO，所以∠CIO＝∠CEO，即可证明△CIO≌△CEO，得CI＝CE，所以BF+CE＝BC，可判断④正确．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，
故①正确；
∵OH⊥BC于H，
∴∠OHD＝90°，
∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣（∠BAD+∠ABC）＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC，
∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB），
∴∠DOH＝90°﹣（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣∠ABC＝（∠ACB﹣∠ABC），
∵∠OCB﹣∠OBC＝∠ABC﹣∠ACB＝（∠ACB﹣∠ABC），
∴∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC，
故②正确；
∵∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，
∴∠ACB＞60°，
∴∠ABC＜∠ACB，
∵∠ABC＜∠ACB，
∴∠ABO＝∠ABC，∠OCA＝∠ACB，
∴∠OBA＜∠OCA，
∵∠OAB＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OAB＜∠OCA+∠OAC，
∴∠BOD＜∠COD，
故③错误；
如图，在BC上截取BI＝BF，连接OI，
∵∠EOF＝∠BOC＝120°，
∴∠AFO+∠AEO＝180°，
∵∠CEO+∠AEO＝180°，
∴∠CEO＝∠AFO，
在△OBI和△OBF中，
，
∴△OBI≌△OBF（SAS），
∴∠OIB＝∠OFB，
∴180°﹣∠OIB＝180°﹣∠OFB，
∴∠CIO＝∠AFO，
∴∠CIO＝∠CEO，
在△CIO和△CEO中，
，
∴△CIO≌△CEO（ASA），
∴CI＝CE，
∵BF+CE＝BI+CI＝BC，
故④正确，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE为 cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm，
∴DE＝DC+CE＝40（cm），
答：两堵木墙之间的距离为40cm．
故答案为：40．
14．（4分）如图是某公司开发的可调整的躺椅示意图（数据如图所示），AB与CD的交点为O，且∠ODB，∠OBD，∠ECO保持不变，为了舒适，需调整∠OAE的大小，使∠AEC＝115°，则图中∠A应 （填“增加”或“减小”） 度．
【分析】延长EC交AB于F，利用“8”字形求出∠EFB，利用外角的性质即可求出∠A的度数，进而得到答案．
【解答】解：延长EC交AB于F，
∵∠COF＝∠DOB，
∴∠C+∠CFO＝∠B+∠D，
∴30°+∠CFO＝50°+60°，
∴∠CFO＝80°，
∴∠AFE＝180°﹣∠CFO＝180°﹣80°＝100°，
∵∠AEC＝115°，∠AEC是△AFE的外角，
∴∠AEC＝∠A+∠AFE，
∴∠A＝∠AEC﹣∠AFE＝115°﹣100°＝15°，
∵∠A原来是20°，
∴图中∠A应减小20°﹣15°＝5°．
故答案为：减小，5．
15．（4分）如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为 （用含n的式子表示）．
【分析】由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，设∠BAD′＝x，则∠CAE＝2x，
由翻折变换的性质可知，∠DAE＝∠EAD′＝2x+n，
∵∠DAB＝90°，
∴4x+2n+x＝90°，
∴x＝（90°﹣2n），
∴∠DAE＝2×（90°﹣2n）+n＝+36°．
故答案为：+36°．
16．（4分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…进而得出答案．
【解答】解：设等边三角形的边长一次为a1，a2，a3，…，
∵△A1B1B2是等边三角形，
∴B1A1＝B2A1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OB1＝B1A1＝1，
∴B2A1＝1，
∵△B2A2B3、△B3A3B4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴B1A1∥A2B2∥A3B3，A1B2∥A2B3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴a2＝2a1，a3＝4a1＝4，
a4＝8a1＝8，a5＝16a1，
以此类推：a8＝27＝128，
即△A8B8B9的边长为128，
故答案为：128．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）证明命题“有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等”．要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是根据题意画出的部分图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠E＝9O°，AC＝DE，CG⊥AB于G，
．
求证：Rt△ABC≌Rt△DFE．
请补全图形和补全已知，并写出证明过程．
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：EH⊥DF于H，CG＝EH，
证明：∵CG⊥AB于G，EH⊥DF于H，
∴∠AGC＝∠DHE＝90°，
在Rt△ACG与Rt△DEH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DEH（HL），
∴∠A＝∠D，
在△ABC与△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（ASA），
故答案为：EH⊥DF于H，CG＝EH．
18．（8分）如图所示，在平面直角坐标系x Oy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1）B（4，2）C（2，3）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是 ，此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ；
（3）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）作BB2的垂直平分线得到轴对称为y轴，然后利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C2的坐标；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）这条对称轴是y轴，C点的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；
故答案为：y轴，（﹣2，3）；
（3）△A1B1C1的面积＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．
19．（10分）如图，B，C，D三点在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝5，BC＝12，CE＝13．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ACE的面积．
【分析】（1）先根据全等三角形的性质得到AC＝CE＝13，然后计算△ABC的周长；
（2）先根据全等三角形的性质得到AC＝CE，∠ACB＝∠CED，再证明∠ACE＝90°，然后根据三角形面积公式计算△ACE的面积．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+12+13＝30；
（2）∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE＝13，∠ACB＝∠CED，
∵∠D＝90°，
∴∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∴△ACE的面积＝×13×13＝．
20．（10分）如图，在△ABC中，AE是△ABC的高．
（1）如图1，AD是∠BAC的平分线，若∠B＝38°，∠C＝62°，求∠DAE的度数．
（2）如图2，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的平分线交于点G，求∠G的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AEC＝2∠G，根据三角形的高线可求解∠G的度数．
【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝62°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG，
∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G，
∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G，
即∠AEC＝2∠G，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠G＝45°．
21．（12分）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长．
（2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，求这个等腰三角形的底角的度数．
【分析】（1）根据三角形中线的定义可得AD＝CD＝AC，再设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，然后分两种情况：①，②，分别进行计算即可解答；
（2）分两种情况：当∠A＜90°时，当∠A＞90°时，然后利用直角三角形和等腰三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴设AB＝AC＝2x，BC＝y，则AD＝CD＝x，
分两种情况：
①，
解得：，
∴AB＝AC＝2x＝8，
∴这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2，
②，
解得：，
∴AB＝AC＝2x＝4，
∵4+4＝8＜10，
∴不能组成三角形；
综上所述：这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2；
（2）分两种情况：
当∠A＜90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为70°；
当∠A＞90°时，如图：
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠DAB）＝20°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为20°；
综上所述：这个等腰三角形的底角的度数为70°或20°．
22．（12分）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠PAQ＝40°时，求∠BAC的度数．
【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）根据垂直平分线的性质可得∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，分两种情况：再利用三角形内角和可得∠BAC的度数．
【解答】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝78°，
∴∠B+∠C＝180°﹣78°＝102°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝102°﹣78°＝24°；
（2）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C，
当P点在Q点右侧时，
∵∠BAP+∠CAQ＝∠BAC+∠PAQ，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC+40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝70°．
当P点在Q点左侧时，
∵∠BAP+∠CAQ+∠PAQ＝∠BAC，∠PAQ＝40°，
∴∠B+∠C＝∠BAC﹣40°，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝110°．
综上∠BAC＝70°或110°．
23．（12分）综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
【分析】（1）可利用SAS证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE＝180°，根据∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；
（3）连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，进而可证明结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD．
∴，
∴AJ＝AH．
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，
，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），
∴FJ＝FH．
在Rt△AJE和Rt△AHD中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），
∴EJ＝DH，
∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．
24．（14分）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“3倍角三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“3倍角三角形”．反之，若一个三角形是“3倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如图①，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，判断△AOB是不是“3倍角三角形”，为什么？
（2）在（1）的条件下，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合），若△AOC是“3倍角三角形”，求∠ACB的度数；
（3）如图②，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“3倍角三角形”，直接写出∠B的度数．
【分析】（1）分别求出△ABC的三个内角，再由定义进行判断即可；
（2）分三种情况讨论：当∠AOC＝3∠OAC时，∠ACB＝80°；当∠AOC＝3∠ACO时，∠ACB＝160°；当∠ACO＝3∠OAC时，∠ACB＝90°；
（3）延长EF交BC于点G，可分别得到BD∥EF，DE∥BC，则有∠B＝∠BCD，再分两种情况讨论：当∠BDC＝3∠B时，∠B＝36°；当∠B＝3∠BDC时，∠B＝（）°．
【解答】解：（1）∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵∠MON＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴3×30°＝90°，
∴∠OAB＝3∠OBA，
∴△AOB是“3倍角三角形”；
（2）当∠AOC＝3∠OAC时，即3∠OAC＝60°，
∴∠OAC＝20°，
∴∠ACB＝80°；
当∠AOC＝3∠ACO时，即3∠ACO＝60°，
∴∠ACO＝20°，
∴∠ACB＝160°；
当∠ACO＝3∠OAC时，4∠OAC＝180°﹣60°，
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝90°，
∴∠ACB＝90°；
综上所述：∠ACB的度数为80°或160°或90°；
（3）∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠EFC+∠DFE＝180°，
∴∠BDC＝∠DFE，
∴BD∥EF，
延长EF交BC于点G，
∵∠DEF+∠BDE＝180°，∠DEF＝∠B，
∴∠B+∠BDE＝180°，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，∠B＝∠ADE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠B＝∠ECB，
∵△BCD是“3倍角三角形”，
当∠BDC＝3∠B时，3∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝36°；
当∠B＝3∠BDC时，∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝（）°；
综上所述：∠B的度数为36°或（）°．