人教版数学九上期中复习专题22.4 解题技巧专题：待定系数法求二次函数的解析式之六大模型（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8142" 【典型例题】 PAGEREF _Tc8142 \h 1
\l "_Tc1876" 【模型一 一点一参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc1876 \h 1
\l "_Tc20913" 【模型二 两点两参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc20913 \h 5
\l "_Tc26240" 【模型三 三点三参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc26240 \h 10
\l "_Tc10319" 【模型四 一点一对称轴求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc10319 \h 17
\l "_Tc3675" 【模型五 已知顶点式求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc3675 \h 28
\l "_Tc5440" 【模型六 已知交点式求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc5440 \h 33
【典型例题】
【模型一 一点一参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数的图象经过点．
(1)求b的值；
(2)求抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式．
2．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线，C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且，．

(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．
(2)当，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．
【模型二 两点两参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【变式训练】
1．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P在二次函数图象上，且，求点P的坐标．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，，，P为的中点，连接，则线段的长是______．
3．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)结合函数图象当时，求自变量的取值范围；
(3)点为抛物线上一点且到轴距离小于，结合函数的图象求点纵坐标的取值范围．
【模型三 三点三参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）已知二次函数的图像经过（－1，0），（0，2），（1，0）三点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当时，y的取值范围是______．
(3)将该函数的图像沿直线x＝1翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知抛物线经过点，、，、，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当为何值时，？
2．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点，）、（，）、（，），且与轴交于、两点．
(1)试确定该二次函数的解析式；
(2)判定点，是否在这个图象上，并说明理由；
(3)求的面积．
3．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．
4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【模型四 一点一对称轴求二次函数的解析式】
例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，若直线平分的面积，请直接写出点的坐标．
2．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．
3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
4．（2023·河南鹤壁·统考一模）如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集；
(3)已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出k的取值范围．
5．（2023·云南曲靖·统考二模）如图，抛物线与轴交于两点，对称轴为，直线的解析式为．

(1)当直线与抛物线有且只有一个交点时，求的值；
(2)若直线经过抛物线的顶点时，与轴交于点，把抛物线沿线段方向向右下平移，使抛物线的顶点移动到点处，在平移过程中，设抛物线上两点之间这一段曲线扫过的面积为，求的值．
【模型五 已知顶点式求二次函数的解析式】
例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．
【变式训练】
1．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图像过点，且当时，函数有最小值3，求该二次函数的解析式．
2．（2023秋·江西南昌·九年级统考期末）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，求m的值．
3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；
②当时，直接写出函数的最大值．
4．（2023·江苏南京·校联考三模）已知二次函数的图像经过、、三点．
(1)若点为该函数图像的顶点，求二次函数的表达式；
(2)若该函数图像的对称轴为直线，求的值；
(3)若二次函数解析式中二次项系数，当时，随的增大而减小．结合图像，直接写出的取值范围．
【模型六 已知交点式求二次函数的解析式】
例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．
(1)抛物线经过点三点．
(2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴．
(3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过．
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．