2024-2025学年四川省南充市高二上册第二次月考（12月）数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省南充市高二上册第二次月考（12月）数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设复数，则的虚部是（ ）
A．1B．C．iD．
2．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知事件A，B互斥，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．用斜二测画法画出的某平面四边形的直观图如图所示，边平行于y轴，平行于x轴，若四边形为等腰梯形，且，则原四边形的周长为（ ）．
A．B．C．D．
5．已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（ ）
A．13B．21C．29D．31
6．和直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为
A．3x+4y-5=0B．3x+4y+5="0"C．3x+4y-5=0D．3x+4y-5=0
7．已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆上的点到点的轨迹的距离的最小值为（ ）
A．1B．3C．5D．
8．如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在.，则半椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”等等．都能体现团队协作、集体智慧的强大．假设某人能力较强，他独自一人解决某个项目的概率为．同时，有由个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是．如果这个人组成的团队解决该项目的概率为，且，则的取值可能是（ ）（参考数据：，）
A．B．C．D．
10．设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可以为（ ）
A．B．C．D．
11．已知动点到定点的距离与到直线距离的比是常数点的轨迹称为曲线，直线与曲线交于两点.则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程
B．
C．为曲线上不同于的一点，且直线斜率分别为，则
D．为坐标原点，的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．弧长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为 ．
13．设，是函数的零点，则的值为 .
14．若为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点为空间中四个定点，，且两两的夹角都是，若动点满足，动点满足，则的最小值是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
(1)求比赛只需打三局的概率；
(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.
16．已知圆C：，点，点．
(1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程；
(2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程．
17．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
18．已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，现有函数和函数.
(1)若，求函数的最值；
(2)若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围；
(3)若对于，，使得成立，求实数m的取值范围.
19．已知椭圆：（）的焦距为，，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)对于，是否存在实数，使得直线分别交椭圆于点，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】，虚部为，
故选：B．
2．【正确答案】C
【详解】因为椭圆：，所以.
又根据椭圆的定义可知：得周长为：，由.
所以椭圆的离心率为.
故选：C
3．【正确答案】D
【详解】因为事件A，B互斥，所以，
又，所以，故，
故选：D
4．【正确答案】D
【详解】记四边形所对应的原四边形为四边形，
由题意可得，原四边形中，、都与轴平行，即四边形是直角梯形，
因为，四边形为等腰梯形，
所以，
所以，，，
因此，
所以原四边形的周长为.
故选：D
5．【正确答案】C
【详解】由题意解得，所以．
故选：C．
6．【正确答案】B
【详解】直线与轴交于点且斜率为，所以其关于轴对称的直线的斜率为且经过点，所以所求直线方程为，即，故选B
7．【正确答案】A
【详解】过点且与直线垂直的直线方程为，即，
因为点在直线上，所以，
圆的圆心，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以所求的距离的最小值为.
故选：A
8．【正确答案】D
【详解】
（解法1）设，
因为，所以.
，所以.
因为，所以.
因为，所以，即，解得.
（解法2）设，
因为，所以，
所以.
因为，所以.
因为存在.，所以在上有解.
因为，且，
所以在上有解，
即在上有解.
因为，所以，即解得.
9．【正确答案】BCD
【详解】依题意，，
由可得，即，
两边取对数，可得.
故选：BCD.
10．【正确答案】AC
【详解】当焦点在x轴上，所以，故离心率.
当焦点在y轴上，所以，故离心率.
故选：AC
11．【正确答案】ABD
【详解】设Px,y，则，
即，化简得，故A对；
由题意可知，曲线C为椭圆，且，
设椭圆另一个焦点为，如图，
由O为和中点可知四边形为平行四边形，
所以，所以故B对；
设点，
因为为曲线上不同于的一点，则，，
可得，，
又直线斜率分别为
所以，故C错；
由定义知动点到定点F与它到定直线l距离d满足，
所以，其中d为点P到直线的距离，
即求椭圆上一点P到O与到直线距离和的最大值，
显然当P在椭圆左顶点时，和d同时取得最大值，
所以，故D对；
故选：ABD
12．【正确答案】
【分析】根据扇形弧长求半径，由扇形面积公式求面积.
【详解】由题设，扇形半径，故扇形面积为.
故
13．【正确答案】
【详解】由得，.
即.而，
所以.故.
故答案为.
14．【正确答案】/
【详解】如图，由题，当与共线时，则，即，此时的点记作点，则，
所以动点的轨迹是过的终点且垂直的平面，动点的轨迹是以线段为直径的球，
的最小值就是球心到平面的距离减去球的半径.
.
，
.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，
则，
，
比赛只需打三局的概率为：
.
（2）甲需要打三局的概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为.
16．【正确答案】(1)或；
(2)．
【详解】（1）由C：，
则圆心，半径，
当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意；
当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即，
所以，解得，
此时切线l的方程为，即.
综上所述，切线l的方程为或.
（2）设，，
因为，，G为三角形APQ的重心，
所以，即，
由A为圆C上的动点，得，
则，整理得，
即动点G的轨迹方程为．
17．【正确答案】(1)证明过程见详解
(2)
【详解】（1）因为，O为中点，所以，
因为侧面底面，平面底面，
，平面，所以平面；
（2）因为底面为直角梯形，
又，
所以四边形是正方形，
，又平面，
以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面PAB的法向量为，
则，令，则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值，
18．【正确答案】(1)最小值为，最大值为3
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，函数在上单调递减，在区间上单调递增，
且，，，
所以函数的最小值为，最大值为3.
（2）由题意，关于x的不等式的解集为，
即不等式对于恒成立，
当时，不等式为，即不恒成立，不符合题意；
当时，有，解得.
综上所述，实数m的取值范围为.
（3）由题意，对于，，使得成立，
则.
对于函数，，由（1）知，.
对于函数，，
若，，则，而，不符合题意.
若，当，即，所以当时，恒成立，
所以，
则，即，不符合题意；
若，当，即时，，
则，即，所以；
当，即时，，
则，即，所以此种情况不合题意；
当时，，
所以；
综上所述，实数m的取值范围为.
19．【正确答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为的周长为
，所以，
又因为，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
设，设中点为，
联立，消去整理得，，
所以，即，
所以或，
又由韦达定理可得，，
所以，
所以，
因为，所以，
由或，可知，直线的斜率均存在，且都不等于零，
所以，即，
整理得，解得，
又因为或，所以满足题意，
所以存在.