广东省阳江市高新区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份广东省阳江市高新区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意：，所以.
故选：A.
2. 已知，，则ab的最大值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】，
由不等式的性质，，所以，
所以，所以，
当且仅当时，且已知，解得，
即的最大值为.
故选：A.
3. 若，且，则的最小值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当时等号成立.
故选：A.
4. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知可得，所以定义域为.
故选：B.
5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线，
由函数在上单调递减可得，解得.
故选：D．
6. 如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（ ）
A. 3B. C. D. 3或
【答案】D
【解析】令，则．
当时，因为，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以，解得（舍去）．
当时，因为，所以，
又函数在上单调递增，
则，解得（舍去）．
综上知或．
故选：D.
7. 函数的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
又，
因此函数为奇函数，函数图象关于原点对称，BD错误；
当时，，，则，
因此，C错误，A符合题意.
故选：A.
8. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，，
因为，则，所以，
即；
而，，所以，所以，即；
综上：.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】由题知，，假设，则，A错；
又，所以，则，B正确；
又，，，所以，即，C正确；
因为单调递增，所以，D正确.
故选：BCD.
10. 已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（ ）
A. p是q的充分条件B. p是s的必要条件
C. r是q的必要不充分条件D. s是q的充要条件
【答案】AD
【解析】由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，
可得，
对于A中，由，所以是的充分条件，所以A正确；
对于B中，由，所以是的充分条件，所以B不正确；
对于C中，由，所以是的充要条件，所以C不正确；
对于D中，由，所以是的充要条件，所以D正确.
故选：AD.
11. 已知正实数x，y满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】正实数x，y满足，则有，
对于A，，则，当且仅当时取等号，A正确；
对于B，由选项A知，当时，成立，此时，B错误；
对于C，，
当且仅当时取等号，C正确；
对于D，由，得，
则，
当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：ACD.
12. 设函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 是偶函数
C. 在上单调递减D. 在上单调递减
【答案】AC
【解析】函数的定义域为R，
，
则是奇函数，不是偶函数，A正确，B错误；
对于C，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，因此在上单调递减，C正确；
对于D，当时，在上单调递增，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知正数a，b满足，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
14. 已知幂函数是R上的增函数，则m的值为________．
【答案】3
【解析】因为为幂函数，所以即或，
又因为为R上的增函数，所以.
15. 不等式的解为_________．
【答案】
【解析】设在上单调递增，
因为，所以解不等式即，
所以.
16. 已知函数，若，则______.
【答案】6
【解析】由题意，
，
解得.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1），当时，，
.
（2），故，
，所以的取值范围是.
18. 已知不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）解关于的不等式：为常数，且
解：（1）因为不等式解集为，
所以1和2是方程的两根，
由根与系数的关系知，，解得，．
（2）不等式即为，
由，则时，解不等式得，或；
时，解不等式得，或；
综上，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或．
19. 近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作、成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q（千辆/小时）与电动自行车的平均速度v（千米/小时）（注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时）具有以下函数关系：.
（1）欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求的取值范围；
（2）当电动自行车流量最大时，求的值并估计最大流量（精确到0.1）.
解：（1）电动自行车流量不少于10千辆/小时，
即，
化简可得，解得，
又因为最高设计时速为25千米/小时，故，
所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，则.
（2），
由基本不等式可得.
当且仅当“”即“”时取到最小值.
此时电动车流量有最大值，最大值为，
故平均速度为20千米/小时时，电动车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时.
20. 已知为角终边上一点.
（1）求和的值；
（2）求的值.
解：（1）由三角函数的定义可得，.
（2）利用诱导公式化简：
.
21. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
解：（1）因为的最小正周期为，
所以，，则，
故.
（2）令，
解得，
故的单调递增区间为.
22. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最小值.
解：（1）由于是定义在上的奇函数，且当时，.
则，解得，
即当时，；
则当时，，，
故.
（2）作出函数的大致图象如图所示：
当，即时，函数在上单调递增，
则；
当，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，；
当时，即当，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
则，则，
则；
当，即时，函数在上单调递增，
在上单调递减，
，，
则，
则，
则；
当时，即当时，函数在上单调递增，
此时，.
综上所述，.