广东省阳江市2023-2024学年高一（上）期末测试数学试卷（解析版）

这是一份广东省阳江市2023-2024学年高一（上）期末测试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，且，则（ ）
A. -1B. 1C. -3D. 3
【答案】D
【解析】由题意：，得：或两种情况，
若，则，此时，不满足互异性；
若，则解得或，显然，符合题意，
而当时，，不满足互异性.
综上所述：.
故选：D.
2. “不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
3. 已知，则下列结论正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当因为，所以，故B正确；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：B.
4. 已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得，因此，实数的取值范围是.
故选：B.
5. 设函数，则等于（ ）
A. B. 1C. D. 10
【答案】A
【解析】令得①，
令得②，
联立①②得.
故选：A.
6. 已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作出分段函数的图像，如图所示，
直线与函数图像有4个交点，
则关于直线对称，所以，
而，所以，所以，
所以，
因为直线与函数图像有4个交点，所以，所以，
根据对勾函数性质可知在上单调递减，
所以，所以.
故选：D.
7. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由指数函数在定义域上为单调递增函数，所以，
又由对数函数 在上为单调递减函数，所以，
所以，即.
故选：D.
8. 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，经过过滤后还剩余的污染物，则，解得，
设污染物减少用时小时，于是，即，则，
即，
两边取对数得，因此，
所以污染物减少大约需要.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列不等式的解集为R的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A，易知方程的判别式，
即对应的整个二次函数图象都在轴上方，所以解集为R，即A正确；
对于B，易知方程的判别式，
由对应的二次函数图象可知其解集不可能为R，即B错误；
对于C，易知方程的判别式，
即对应的整个二次函数图象都在轴下方，所以解集为R，即C正确；
对于D，易知不等式可化为，显然该不等式恒成立，
即解集为R，即D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数，则函数具有下列性质（ ）
A. 为上的奇函数B. 在上是递减函数
C. 的值域为D. 的图象关于对称
【答案】AC
【解析】A：定义域为关于原点对称，，
所以为上的奇函数，故A正确；
B：当时，，
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在上是递增函数，故B错误；
C：当时，，
因为，所以，
又因为为奇函数，所以当时，
所以的值域为，故C正确；
D：若的图象关于对称，则一定有；
因为，
显然的图象不关于对称，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 是上的奇函数
B. 当时，的解集为
C. 当时，在上单调递减
D. 当时，值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，首先定义域是关于原点对称，
其次，
即是上的奇函数，故A正确；
对于B，当时，，
所以或，
解得或，即当时，的解集为，故B正确；
对于C，不妨取，此时，对，
有，故C错误；
对于D，当时，令，
此时，
而，当时，，
从而当时，即值域为.
故选：ABD.
12. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，易知，
而，
所以，且，则A正确，B错误，C正确；
，，
比较与的大小关系，，，所以，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
即，
所以，等号成立当且仅当在和1两个数之间，
规定时的取等条件为，
综上所述的最小值为，
因为关于的不等式的解集是，
所以恒成立，所以当且仅当，
当时，不可能成立，当时，，解得.
综上所述：实数的取值范围是.
14. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】若，则不等式变为了恒成立，故满足题意；
若，则不等式恒成立等价于，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
15. 已知点在函数的图像上，且有最小值，则常数的一个取值为_________．
【答案】1（不唯一）
【解析】设，分别绘制函数的大致图像如下图：
其中有最小值，，没有最小值，
是它的渐近线，
点在上，，，如上图，当时，不存在最小值，
.
16. 已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】记题设的两个零点为，则，
由，知，所以，
所以.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知关于的不等式的解集为．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）求的最小值．
解：（1）由题意得是方程的两实数根，且，
则有，即，，即，
由，得，解得或，
则不等式解集为或.
（2）因为，且由（1）得
，
当且仅当，即时等号成立.
则的最小值为16.
18. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围.
解：（1）由题意可得.
当时，，则.
（2）因为，所以，
显然，则
解得，即a的取值范围是.
19. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）设，则，，
由为偶函数有，
故.
（2）当时，，
因为对称轴为，则此时为单调递增函数，
由偶函数可知在上为减函数，
又因为，
所以，
故有，即，故.
20. 已知函数.
（1）判断函数在上的单调性，并利用单调性定义进行证明；
（2）函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
解：（1）函数在上单调递增，
证明：任取，则
，
因为指数函数在上单调递增，所以，
又因为，所以，即，
所以在上单调递增.
（2），，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即，设的值域为，则，
设，，设的值域为，
由题意得，当时，，显然不合题意，舍去，
当时，根据（1）中结论知在上单调递增，
此时，，值域，
则有，解得，
当时，根据（1）中结论知在上单调递减，
此时值域，则有，解得，
综上所述，或.
21. 为助力乡村振兴，某村决定建一果袋厂．经过市场调查，生产需投入的年固定成本为20万元，每生产万件，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元．通过市场分析，该厂生产的果袋当年全部售完．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）
（2）当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？
解：（1）因为每件产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元，
当时，
可得；
当时，，
所以.
（2）当时，可得，
当时，取得最大值万元；
当时，万元，
当且仅当时，即时，函数取得最大值，最大值为万元，
因为，所以年产量为万件时，该厂所获得的利润最大，最大利润为万元.
22. 已知函数.
（1）若，求在上的最小值；
（2）若，且对于，有成立，求实数的取值范围.
解：（1）图象的对称轴为，
∵，∴.
当即时，在上单调递增，∴；
当，即时，；
综上：当时，；当时，.
（2），即，
化简得：，
又恒成立，∴，
故，恒成立，即为.
令，，则，
∵，由对勾函数单调性知在上单调递减，
∴，∴，即.
∴实数的取值范围为.