湖南省长沙市2023-2024学年人教版八年级（上）期末 数学试卷（解析版）

这是一份湖南省长沙市2023-2024学年人教版八年级（上）期末 数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 下面的图形是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选C．
2. 用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B．
3. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】不能分解因式，故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C符合题意；
不能分解因式，故D不符合题意；
故选C
4. 计算：（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵
=
=，
故选：D．
5. 将分式中的x，y同时扩大4倍，则分式的值（ ）
A. 扩大4倍B. 扩大2倍
C. 缩小到原来的一半D. 保持不变
【答案】A
【解析】分别用4x和4y去代换原来分式中的x，y，得：
；
可见新的分式是原分式的4倍；
故选：A．
6. 已知是分式方程的解，那么k的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】D
【解析】是分式方程的解，

解得：
故选D
7. 在中，，于点D，若，，则的周长为（ ）
A. 13B. 18C. 21D. 26
【答案】D
【解析】如图，
，，，
∴BD=CD=5，BC=10，
，
故选：D．
8. 如图，点E在AC上，则度数是（ ）
A. 90°B. 180°C. 270°D. 360°
【答案】B
【解析】由三角形外角的性质可得，
∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°．
故选：B．
9. 如图，两个正方形的边长分别为a、b，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A. 40B. C. 20D. 23
【答案】C
【解析】阴影部分面积等于
∵，，
∴阴影部分面积等于
故答案为：C
10. 如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】C
【解析】如图，当时，为等腰三角形，
当时，为等腰三角形，
当时，而
所以是等边三角形，
当时，为等腰三角形，
符合条件的点有6个，
故选C
二、填空题
11. 正五边形的外角和等于 _______◦．
【答案】360
【解析】∵任何n边形的外角和都等于360度
∴正五边形的外解和也为360°
故答案为360
12. 已知，则代数式的值为______．
【答案】4
【解析】 ，

故答案为：
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】，
，
，，
故答案为：．
14. 分式方程：的解是___________．
【答案】
【解析】方程两边同时乘以最简公分母x-1，则原方程可化为x+(-2)=2(x-1)
解得x=0
检验：当x=0时，x-1≠0
所以x=0是原分式方程的解．
15. 在中，，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则______．
【答案】66°或24°
【解析】如图，由题意得：是的垂直平分线，



如图，由题意得：是的垂直平分线，



综上：或
故答案为：或
16. 如图，，请添加一个条件______使得．
【答案】（答案不唯一）
【解析】 ，
添加：

故答案为：（答案不唯一）
17. 如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
【答案】5
【解析】如图，
作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，
∴，
∴ 是等边三角形，
∴，
在中，，
当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．
故答案为：5．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，若在第一象限中找一点，使得，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】根据题意C点在第一象限内，且，
如图，又已知和有已知公共边AO，
∴．
故答案为．
三、解答题
19. 计算：．
解：原式．
20. 已知，求的值．
解：原式
∵
∴，代入上式，
得：原式．
21. 在的运算结果中，的系数为，x的系数为，求a，b的值并对式子进行因式分解．
解：∵

∴，
解得：，
∴．
22. 如图，AB，CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若，求证：．
证明：∵AB，CD互相平分
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∵
∴．
23. 某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．该商场实际购进彩灯的单价是多少元？
解：设商场原计划购进彩灯的单价为元，则商场实际购进彩灯的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
则（元，
答：商场实际购进彩灯的单价为60元．
24. 如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
解：（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，
∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，
∵CE平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
（2）连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N，
∵QG垂直平分AC，
∴AQ=CQ，
∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，
∴QM=QN，
∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），
∴NA=MC，
∵QM=QN，BQ=BQ，
∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），
∴NB=MB，
∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，
∴7=4+2MC，
∴MC=1.5．
25. 如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．
求证：
（1）AD＝BE；
（2）∠BMC＝∠ANC；
（3）△CMN是等边三角形．
证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∴AD＝BE；
（2）由（1）得△ACD≌△BCE
∴∠CBE=∠CAD，
∵△ABC和△DEC都是等边三角形
∴
∴
∵
∴∠BMC＝∠ANC；
（3）由（1）知，△ACD≌△BCE，
则∠ADC=∠BEC，
即∠CDN=∠CEM，
∵∠ACE=60°，∠ECD=60°，
∴∠MCE=∠NCD，
在△MCE和△NCD中，
，
∴△MCE≌△NCD（AAS），
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN是等边三角形．
26. 如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BFAE交ED于F，且EM=FM．
（1）若AE=5，求BF的长；
（2）若∠AEC=90°，∠DBF=∠CAE，求证：CD=FE．
解：（1）∵BFAE，
∴∠MFB=∠MEA，∠MBF=∠MAE，
∵EM=FM，
∴△AEM≌△BFM，
∴AE=BF，
∵AE=5，
∴BF=5；
（2）∵BFAE，
∴∠MFB=∠MEA，
∵∠AEC=90°，
∴∠MFB=90°，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFD=∠AEC，
∵∠DBF=∠CAE，AE=BF，
∴△AEC≌△BFD，
∴EC=FD，
∴EF+FC=FC+CD，
∴CD=FE．