辽宁省名校联盟2025届高三上学期12月联合考试数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省名校联盟2025届高三上学期12月联合考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,集合,,则a的值是( )
A.4B.5C.7D.9
2．对于非零向量,,是的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知,则( )
A.B.C.D.
4．已知等差数列的公差为d,,若,,成等比数列,则d等于( )
A.B.2C.0或D.0或2
5．函数在区间上的大致图象如图所示,则的解析式可能是( )
A.B.C.D.
6．已知,,是三个不同的平面,l,m,n是三条不同的直线,下列结论正确的是( )
A.若,,则
B.若,,,则
C.若,,则
D.,,,则三条交线l,m,n的交点个数为0或1
7．已知椭圆上一点P到左焦点F的距离为8,O为坐标原点,若点M满足,则( )
A.6B.4C.D.2
8．已知函数,且,则( )
A.B.C.2D.4
二、多项选择题
9．已知,下列选项能正确表示数列1,0,1,0,1,0,…的公式有( )
A.B.,
C.D.
10．已知函数,下列说法正确的有( )
A.对,函数
B.若函数与的图象关于直线对称,则
C.对,函数
D.若,则
11．如图,曲线C称为“双纽线”,其对称中心在坐标原点O,且C上的点满足到点和的距离之积为定值,则( )
A.若,点在曲线C上
B.若,曲线C的方程为
C.若,曲线C上点的纵坐标的最大值为1
D.若点在C上,则
三、填空题
12．设i为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数a的值为________.
13．《九章算术》第五章“商功”问题十七:今有羡除【注】,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺.问积几何?大意是:今有墓道（如图②,平面平面）,下宽（长）6尺,上宽（长）1丈（1丈尺）,深（与距离）3尺,末端宽（长）8尺,无深,长（与距离）7尺.它的体积是________立方尺.
【注】羡除:墓道,此处是指三面为等腰梯形,其他两侧面为三角形的五面体.
14．表示函数当自变量时的最大值,表示函数当自变量时的最小值,已知函数,则________.
四、解答题
15．已知函数,其中.
（1）若曲线在点处与x轴相切,求a的值;
（2）若3是函数的极小值点,求a的值.
16．如图,在四边形中,,且,.
（1）求的面积;
（2）若,求的长.
17．已知椭圆的长轴长是4,D为右顶点,P,Q,M,N是椭圆E上异于顶点的任意四个点,当直线经过原点O时,直线和的斜率之积为.
（1）求椭圆E的方程;
（2）当直线和的斜率之积为定值时,直线是否过一个定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
18．如图,在四棱台中,平面,平面,,.
（1）求证:;
（2）求平面与平面所成角的正弦值;
（3）求点A关于平面的对称点M到平面的距离.
19．如图,已知点列与满足,且,其中,.
（1）求与的关系式;
（2）证明:.
参考答案
1．答案：A
解析：由以及可得;
即,所以,解得.
故选:A
2．答案：B
解析：因为,反之不能推出
所以是必要不充分条件.
故选:B.
3．答案：B
解析：由得:;
对于A,,,,A错误;
对于B,（当且仅当时取等号）,
又,,B正确;
对于C,,,即,C错误;
对于D,,,,D错误.
故选:B.
4．答案：C
解析：,,成等比数列,则有,
等差数列的公差为d,,所以,得,
解得或.
故选:C.
5．答案：D
解析：对于A,当时,,,与图象矛盾,故A错误;
对于B,当时,,则,与图象矛盾,故B错误;
对于C,当时,,无意义,故C错误;
对于D,因,则,
由知函数为偶函数,图象关于轴对称;
且当时,,无意义;
当时,,即函数在上单调递减,
故在上单调递增,该图象均符合,即D正确.
故选:D.
6．答案：D
解析：对于A,若,,则也可能为,即A错误;
对于B,若,,,则也可能m,n是异面直线,即B错误;
对于C,若,,也可以是,即C错误;
对于D,当,,分别为三棱柱的三个侧面时,此时l,m,n两两平行,交点为0;
当,,分别为正方体共顶点的三个侧面时,此时l,m,n交于同一点,交点为1;
即可得D正确.
故选:D
7．答案：B
解析：设椭圆右焦点为,连接,,取的中点为N,如下图所示:
由椭圆定义可知,又,可得;
易知,所以,
又因为O为的中点,所以,且,
可得.
故选:B
8．答案：C
解析：因为,其定义域为,
则,故有,
又,则,
因为,
所以,即+,
因为,所以.
故选:C.
9．答案：BD
解析：对A,当n为奇数时,,不符合数列1,0,1,0,1,0,…,故A错误;
对B,由,,可得,
由可得,故,
由,可知当n为奇数时,;由,可知当n为偶数时,.
故该递推公式,符合数列1,0,1,0,1,0,…,故B正确;
对C,当时,,不符合数列1,0,1,0,1,0,…,故C错误;
对D,当n为奇数时,,当n为偶数时,,
符合数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式,故D正确.
故选:BD.
10．答案：ABD
解析：A选项:设,则,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
所以,即,A选项正确;
B选项:与的图象关于直线对称的图象的对应的函数是,
即,则,B选项正确;
C选项:若,函数在R上是增函数,且,C选项错误;
D选项:,
又,所以,即,D选项正确;
故选:ABD.
11．答案：ACD
解析：由图可知,原点在曲线上,则.
选项A,若,则,,,
由图可设曲线与x轴正半轴相交于,,
则由可得,解得,故A正确;
选项B,若,则,,设曲线C上任一点坐标为,
则,
两边平方得,即,
所以,即,故B错误;
选项C,若,则,,设曲线C上任一点坐标为,
则,
同理化简得,得,
由方程有解可得,
所以,则,
又令,解得,即当时,,故C正确;
选项D,由,设曲线C上任一点坐标为,
则,
同理化简可得,由图可知,所以,
即若点在C上,恒有成立,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：由题意知,,
又为纯虚数,
所以,解得.
故答案为:
13．答案：84
解析：如图,连接FC,FB,所求体积为四棱锥和三棱锥体积之和,
故答案为:84.
14．答案：/
解析：由题意得
,
所以
,
由于当时,的最小值为,
当时,,
故,
故答案为:
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为的定义域为R,
所以,
因为曲线在点处与x轴相切,
所以,所以,
则,解得:.
（2）因为的定义域为R,
所以,
若,则,
令,可得:或,
令,可得:,
所以在上单调递减,在,上单调递增,
所以在处取的极小值,所以;
若,则,
令,可得:,令,可得:,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取的极小值,所以,不符合题意;
若,则在上单调递增,无极小值,
综上:.
16．答案：（1）2
（2）或
解析：（1）,.
设,,则.
由得,,
,即,
整理得,
,
,故,,即,
,即,,,
的面积为.
（2）由（1）得,,.
,.
在中,由余弦定理得,
即,解得或.
17．答案：（1）
（2）直线过定点
解析：（1）由已知,即,所依椭圆方程为,
当直线过原点时,设,则,所以,
所以,又,
所以,,
所以,则,
所以椭圆方程为;
（2）①当直线斜率不存在时,设直线方程为,点,（）,
则,,且,即,
所以,解得,
即此时直线方程为;
②当直线斜率存在时,由题可设直线方程为,舍,,
联立直线与椭圆方程得,
则,即,
且,,
又,,
则,
即,
即,
化简可得,解得或,
当时,直线方程为,过点,不成立;
当时,直线方程为,过定点;
综上所述直线恒过定点.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）连接,因为,,
所以,所以四点在同一平面上,
又因为平面,平面平面,
所以,可得四边形为平行四边形,
所以;
（2）因为,,,,
所以四边形是等腰梯形,做交与点H,可得,,
所以,且,
以点A为原点,,,所在的直线分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,,,
设向量为平面的一个法向量,
则,即,令,得,
所以,
设向量为平面的一个法向量,
则,即,令,得,
所以,
,
设平面与平面所成角的为,
所以;
（3）由（2）建立的空间直角坐标系,得
,,,
,,,
设为平面的一个法向量,
则,即,令,得,
所以,
则点A到平面的距离
为,
设,则,
因为与共线,,可得,,,
,
所以点M到平面的距离
为,
解得,或（舍去）,
此时,,
所以点M到平面的距离.
19．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）依题意,,,
因,则,
因,则得（*）
因,则得,
将（*）式代入此式,可得,
即得,则;
（2）由,将代入,解得.
由可得,两边取平方,,
即,
又,故,因
则,即,
故得,,…,,
将以上n个不等式左右分别相加,可得,即得.
下面证明:恒成立.
当时,,不等式成立;
当时,,
即得,不等式成立.
综上可得,得证.