江苏省镇江中学2024-2025学年高二上学期11月期中学情检测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省镇江中学2024-2025学年高二上学期11月期中学情检测数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．等差数列中，若，，则等于( )
A.9B.10C.11D.12
3．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为( )
A.相离B.相交C.外切D.内切
4．已知直线,且,则实数a的值为( )
A.5B.1C.5或-1D.-1
5．已知直线l：是圆C：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为A，则( )
A.B.7C.D.2
6．若a,b,c,d成等比数列，则下列三个数列：(1),,,;(2),,;(3),,，必成等比数列的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
7．设点，若经过点A的直线l关于x轴的对称直线与圆有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8．已知在数列中，，，，数列的前n项和为，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．在平面直角坐标系中，已知圆，则下列说法正确的是( )
A.若，则点O在圆C外
B.圆C与x轴相切
C.若圆C截x轴所得弦长为，则
D.点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为
10．已知等比数列的前n项和为，且，数列满足，数列的前n项和为，则下列命题正确的是( )
A.数列的通项公式
B.
C.数列的通项公式为
D.
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A,B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知,点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是( )
A.圆C的方程是
B.过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为
C.过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为
D.过直线上的一点P向圆C引切线,，则四边形的面积的最小值为
三、填空题
12．已知点，，，则的外接圆的标准方程为____.
13．已知数列满足,，则数列的通项公式为____.
14．已知实数，，，满足，，，则的取值范围是____.
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，的边所在直线方程为，边所在直线方程为，点在边上.
(1)若是边上的高，求直线的方程；
(2)若是边上的中线，求直线的方程.
16．等差数列的前项和记为，已知，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式，并求取到最小值时的n值；
(2)求数列的前16项的和.
17．已知，直线l：与圆C：交于A，B两点.
(1)求证：直线l过定点P；
(2)若直线l将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线l的方程；
(3)求面积的最大值.
18．数列的前n项和记为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)对于(2)中的数列，问是否存在正整数k，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数k；若不存在，请说明理由.
19．在平面直角坐标系中，已知圆C的半径为2，圆心在y轴的正半轴上，直线与圆C相切.
(1)求圆C的方程；
(2)设，过点D作斜率为k的直线l，交圆C于P、Q两点.
①点总在以线段为直径的圆内，求k的取值范围；
②设A，B是圆C与y轴的两个交点（A在B的上方），证明：与的交点在定直线上.
参考答案
1．答案：D
解析：由直线得其斜率为，
设直线的倾斜角为（），则，
所以，所以直线的倾斜角为，
故选：D
2．答案：C
解析：设等差数列的公差为d，
由，，得，
所以.
故选：C
3．答案：D
解析：由题意知，,,,，
所以,，则，
所以两圆内切.
故选：D
4．答案：D
解析：直线,,由解得或,
当时,直线与重合,不符合题意,
当时,直线与平行,
所以实数a的值为-1.
故选：D.
5．答案：B
解析：由题意可知：直线l：过圆心，
则，解得，
故圆C：的圆心为，半径，且点，
，
.
故选：B.
6．答案：C
解析：a,b,c,d成等比数列，设公比为q，
则a,b,c,d均不为0，且，
，故,,,成等比数列，且公比为，
,因此,,成等比数列，且公比为，
,,，
当时，成等比数列，且公比为q，但当时，不是等比数列，
故选：C
7．答案：C
解析：设直线l的斜率为k，倾斜角为，则，
由题意知，直线的斜率为.
点关于x轴对称的点为，
所以，即，
由知，圆心坐标为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
又直线与圆有公共点，所以，
整理得，解得，
即直线l的斜率的取值范围为.
故选：C
8．答案：A
解析：由，得，即，
又，所以，
则是以为首项，以为公差的等差数列，
得，故，得，
所以，
所以
.
故选：A
9．答案：AD
解析：圆C的标准方程为，
圆心为，半径为，
对于A选项，若，
则有，即点O在圆C外，A对；
对于B选项，因为圆心C到x轴的距离为，
而与的大小关系不确定，
所以，圆C与x轴不一定相切，B错；
对于C选项，若圆C截x轴所得弦长为，
则，解得，C错；
对于D选项，当时，点O在圆C上，
点O到圆C上一点的最大距离为4，
点O到圆C上一点的最小距离为0，则；
当时，则点O在圆C外，且，
所以点O到圆C上一点的最大距离为，最小距离为，
则点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为:.
综上所述，点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为，D对.
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：设等比数列的公比为q，则，解得，
所以，故A项正确；
所以，故B项正确；
所以，故C项错误；
因为，
所以，
由，，有，
又因为单调递增，所以，所以取值范围为，故D项正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：对于A，因为,，点P满足，设，
则，
化简得，，即，故A正确；
对于B，因为,，设两条切线的夹角为，
所以，解得，则，故B正确；
对于C，易知直线的斜率存在，设直线l的方程为，
即，
因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，
所以圆心到直线的距离，
解得，故C错误；
对于D，由题意可得，
故只需求的最小值即可，
的最小值为点C到直线的距离，
即，
所以四边形的面积的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：对于和，中点坐标为.
再求线段的斜率.
那么垂直平分线的斜率为（因为两条垂直直线的斜率乘积为-1）.
利用点斜式，可得线段垂直平分线方程为，
即.
线段的中点坐标为.
线段在x轴上，其垂直平分线为.
联立，把代入，
得，解得.
所以圆心坐标为.
根据两点间距离公式，圆心到的距离就是半径r.
.
根据圆的标准方程，可得.
则的外接圆的标准方程为.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，
所以，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
所以.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为实数、、、满足，，
可知,在圆，
设,，，
所以，所以，
所以不妨设,,
,，，
所以
，
又，
所以的取值范围是，
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2).
解析：(1)由得，
所以，直线的斜率为，
因为，所以，直线的斜率为，
则直线的方程为，即.
(2)点B在直线上，设，
点B关于的对称点为在直线上，
所以，解得，即点，
直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
16．答案：(1)，当取得最小值时，；
(2)160.
解析：(1)设等差数列的公差为d，
由题可得：，
即，
解得，，所以；
由，可得，解得，
因为，所以时，取得最小值时，；
(2)由(1)可知，,,,均为负数，且从开始，后面每一项均为正数，
故
；
故数列的前16项的和.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3).
解析：(1)由l：，得，
因为，故可得，解得，
所以直线l过定点.
(2)假设直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧.
直线l与圆C交于A，B两点，则.
圆C方程为，
故其圆心C坐标为，半径，
在中，由余弦定理，
解得，
设圆心C到直线l的距离为d，则，
即，解得；
又直线l方程为：，
故有，整理得，解得，
所以，直线l的方程为.
(3)当时，圆心C到l的距离d取得最大值，
最大值为，
所以的取值范围为，又，
故面积为:
，
其中，
故当时，，
所以面积的最大值为.
18．答案：(1);
(2);
(3)不存在，理由见解析
解析：(1)因为，所以，
所以当时，，所以，
当时，，
所以，
整理可得，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.
(2)因为，所以，，①
可得，②
①②可得
，
因此，.
(3)结合(2)，，
令，即，即，
设，则，
当时，，数列为递减数列，
，，
故对所有正整数k，，
所以不存在正整数k，使得、、成等差数列.
19．答案：(1);
(2)①；
②证明见解析
解析：(1)设圆心为，，则圆的方程为
，，，
圆C的方程为；
(2)①设l的方程为，，
代入，并整理得,
则，，且,
因为点M在以为直径的圆内，所以,
即,
由于，，所以,
所以，解得.
所以k的取值范围是.
②由圆方程知，其与y轴的两个交点为，,
方程为，方程为,
消去x得：,
所以,
即有与的交点在定直线上.