山东省济南市西城实验中学2024-2025学年高一上学期12月阶段性学情检测数学试题

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15．（1）；（2）.
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式化简可得结果；
（2）利用诱导公式化简可得结果.
【详解】解：（1）原式
; ------7分
（2）原式. ------13分
16．(1) (2)
【分析】（1）由定义域转化为恒成立，进而可得函数的最小值为正数，即得；
（2）由是的充分条件可得，解出，后分类即可.
【详解】（1）若，则由知恒成立，
即函数的最小值为正数，函数的对称轴为，
故当时，有，得，故的取值范围为. ------6分
（2）当时，
所以，得或，故或，
，
当时，解集为，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
A
B
B
C
A
BD
ABD
题号
11
12
13
14






答案
AD
-3







当时，解集为，
因是的充分条件，故，
所以当时，或，故，
当时，或，故，
综上可得的取值范围为： ------15分
17．(1)3 (2)
【分析】（1）通过弧长比可以得到与的比，再利用扇形面积公式即可求解；
（2）由题意得，，然后利用基本不等式求最值即得.
【详解】（1）由，则，，
所以，即，，
. ------6分
（2）由（1）知，，
几何图形的周长为，
，当且仅当，即时，最大值为1. ------15分
18．(1)； (2)
【分析】（1）由偶函数得对恒成立，结合对数运算性质化简可求解；
（2）化简，则，令，则命题等价于有且只有一个正根，结合判别式与韦达定理求解即可
【详解】（1）∵为偶函数，∴对任意，有，
∴对恒成立．
∴对恒成立，
∴对恒成立，∴． ------7分
（2）由（1）知，，
∴由题意知有且只有一个实数根
时，则关于t的方程（*）在（，）有且只有一个根．
若，则，不合题意，舍去；
若，，解得
，则关于t的方程（*）在（0，）有且只有一个根．
，解得．
综上所述，实数a的取值范围是． ------17分
19．（1），；（2）证明见解析；（3），理由见解析.
【分析】（1）令，可求出的值，令可求出的值；
（2）令，代入题中等式得出，可证明出函数为偶函数；
（3）令，证明出，即可说明对任意、且，有，然后设，，、是非负整数，、为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可得出和的大小关系.
【详解】（1）令，，则有，，.
令，则有，所以，； ------4分
（2）令，可得，，
由于函数的定义域为，因此，函数为偶函数； ------7分
（3）时，，，
所以，，
令，即对任意的正整数有，
则，
所以，对于任意正整数，成立，
对任意的、且，则有成立，
、为有理数，所以可设，，其中、为非负整数，、为正整数，则，，
令，，，则、为正整数，
，，所以，，即，
函数为偶函数，，，. ------17分
【点睛】本题考查抽象函数及其应用，考查抽象函数的奇偶性，考查解决抽象函数的常用方法——赋值法，考查不等式的证明方法——递推法，属于难题.