2024-2025学年江苏省南京市高二上学期12月月考数学阶段性检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南京市高二上学期12月月考数学阶段性检测试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若直线l的斜率为，则l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知等差数列，其前项和为，若，则（ ）
A．3B．6C．9D．27
3．抛物线的焦点到其准线的距离等于（ ）
A．B．3C．6D．8
4．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺B．34.5尺C．37.5尺D．96尺
5．已知P为椭圆上的动点．，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的前项和为，数列的前项和为，则（ ）
A．0
B．50
C．100
D．2525
8．直线交椭圆于两点，为椭圆上异于的点，，的斜率分别为，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦距为5
C．离心率为D．焦点到渐近线的距离为4
10．数列满足:，，，下列说法正确的是( )
A．数列为等比数列B．
C．数列是递减数列D．的前n项和
11．已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（ ）
A．直线l恒过定点
B．若圆C关于直线l对称，则k=1
C．若直线l与圆C相切，则
D．当k=1时，取y轴上一点，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．方程表示的曲线的标准方程是 .
13．已知数列满足：，则 .
14．设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过作轴的垂线交双曲线于两点，若，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)若求数列的前项和
16．已知抛物线的焦点为．过的直线与交于，两点，．
(1)求的值；
(2)求直线与的公共点个数；
(3)证明：．
17．已知数列满足
(1)求an.
(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围；
18．在平面直角坐标系中，已知圆和圆．
(1)求圆O与圆C的外公切线的长；
(2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设．
①求的值；
②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．
19．已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线轴，轴于点，求的值.
答案
1．【正确答案】C
【分析】设直线l的倾斜角为 ，根据题意得到，即可求解.
【详解】设直线l的倾斜角为，
因为直线的斜率是，可得，
又因为，所以，即直线的倾斜角为.
故选：C
2．【正确答案】C
【分析】利用等差数列性质，结合前项和公式计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
故选C.
3．【正确答案】B
【分析】由抛物线方程直接得焦点坐标，准线方程即可求解.
【详解】由题意抛物线的焦点坐标、准线方程分别为，
所以抛物线的焦点到其准线的距离等于3.
故选：B.
4．【正确答案】A
【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，从而得到答案．
【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}，如冬至日的日影长为尺，设公差为尺.
由题可知，所以，
，
，
，
故选：A．
5．【正确答案】C
【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点的轨迹表示以为焦点的椭圆，进而求得的值.
【详解】因为，可得，则，
由椭圆的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的椭圆，
其中，可得，所以，
又因为点在椭圆，所以.
故选：C.
6．【正确答案】D
【分析】根据题意，得到直线与圆相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线，
可得直线与圆相切或相离，
则满足圆心到直线的距离，解得，即，
所以的最小值为.
故选：D.
7．【正确答案】B
【详解】法一：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，易知，
所以.
又满足，故，则，
易知，所以.
法二：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，又易知，
所以数列为常数列，所以，所以，则，
易知，所以.
8．【正确答案】A
【详解】设点，则根据椭圆的对称性知点，显然，
由与，相减得，
整理得，而，于是，
所以，所以该椭圆的离心率为.
故选：A
9．【正确答案】AD
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则，
可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，
所以A正确，B、C不正确；
又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，
不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.
故选：AD.
10．【正确答案】AB
【详解】数列满足:，，，
，，
，
数列为首项为，公比为3的等比数列，故A正确；
，，故B正确；
数列是递增数列，故C错误；
数列的前项和为:，
的前项和，故D错误．
故选:AB
11．【正确答案】ACD
【详解】解：对于A，直线l：k，即，
令，则，解得，，
所以直线|恒过定点，故A正确;
对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心，
所以，解得，故B错误;
对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1，
即，解得，故C正确;
对于D，当k=1时，直线，点关于直线l的对称点，
则有，解得，即，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【详解】方程，
表示点到两点的距离之和等于10，而，
所以方程表示的曲线是椭圆，
且长轴长，焦距，所以，
所以短半轴长，
所以其标准方程为，
故
13．【正确答案】
【详解】设，的前项和为，则，
当时，，即，
当时，，满足题意，
所以，.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0），
当x＝c时，代入双曲线方程，解得：y＝±，
设B（c，），C（c，），则直线A1B的斜率k1，
直线A2C的斜率k2，
由A1B⊥A2C，则k1×k2＝﹣1，即1，则1，
双曲线的离心率e，
故．
15．【正确答案】(1)，，；
(2)
【详解】（1），，成等差数列，
，即，
当时，，即，
当时，，
是等比数列，
，则，得，
数列的通项公式为，；
（2），
则前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得．
16．【正确答案】(1)
(2)1个
(3)证明见解析
【详解】（1）设直线的方程为，
与联立得，
所以．
（2）直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即，
与联立得，
解得，
所以直线与只有1个公共点．
（3）证明：由（1）知，，
所以
，
所以．
17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，；当时，
又，
上述两式作差可得，即，不满足，所以；
（2）当时，，即，
所以，数列从第二项开始为递增数列，对任意的，恒成立.
①若为正奇数，则，，则，可得；
②若为正偶数，则，可得.
综上所述，.
18．【正确答案】(1)
(2)①；②
【详解】（1）圆心，半径为, 圆心O0,0，半径为，
故，
所以外公切线长为．
（2）①设点，则满足，得，
所以
，
而，得，所以．
②设点，以为直径的圆方程为，
即，
所以两圆的公共弦所在的直线方程为．
圆心到直线AB的距离为，
又因为点在圆上，即，，
所以，
设，且，
由对勾函数在单调递减，在单调递增，
得的最小值为，，
,
最大值为，
所以的取值范围为．
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率、顶点坐标及求出可得答案；
（2）直线的方程与椭圆方程联立，设，利用韦达定理求出点坐标，可得直线的方程，令，可得，点坐标，利用两点间的距离公式求出，，再做比值可得答案.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由（1）椭圆的标准方程为，可得，
可得直线的方程为，
与椭圆方程联立，可得，
易知，设，所以，，
所以，代入直线的方程得，
所以，
所以直线的方程为，
当时，，
当时，，
所以，，
所以，
，
所以.
.
【方法总结】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为，（或，）的形式；
（5）代入韦达定理求解.