2024-2025学年重庆市万州区高二上学期12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年重庆市万州区高二上学期12月月考数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．不存在
2．已知双曲线的虚轴长为，一个焦点为，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
4．在平行六面体中，，，， ，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
6．在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，且平面底面，为线段的中点.记异面直线与所成角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知两点、，若圆上存在点，使，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是椭圆的左、右焦点，是左、右顶点，为上异于的一点，延长交椭圆于点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率B．的最小值为
C．的周长为D．的面积的最大值为
10．已知动点与两定点、的距离之比为，设动点的轨迹为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．面积的最大值为
C．最大时，
D．设，则的最小值为
11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，、分别是线段、的中点，是线段上的一个动点（含端点、），则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．三棱锥体积的最大值是
D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线：，则直线恒过定点 .
13．在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为 .
14．椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知、、、四点.
(1)求经过、、三点的圆的方程；
(2)若直线过点且与圆相切，求直线的方程.
16．如图，已知平面，底面为正方形，，、分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的正弦值.
17．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程.
18．如图1，已知正方形的边长为，分别为的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，使得，点是线段
上的动点（包含端点）.
+
(1)若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面；
(2)是否存在点，使二面角为？若存在，求出线段的大小；若不存在，请说明理由.
19．已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知是椭圆的左、右顶点，不与轴平行或重合的直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①证明：直线过定点；
②设的面积为，求的最大值.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为直线的方程为，故轴，
所以，直线的倾斜角为.
故选：B.
2．【正确答案】A
【详解】由题意可知，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为，
由题意可得，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
3．【正确答案】B
【详解】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
因为平面，则，所以，，解得.
故选：B.
4．【正确答案】C
【详解】如下图所示：

由题意可得，，
由空间向量数量积的定义可得，
，同理可得，
由空间向量的平行六面体法则可得，
所以，
，即.
故选：C.
5．【正确答案】D
【详解】设点Ax1,y1、Bx2,y2，
因为点M1,1为线段的中点，则，，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
由题意可得，将这两个等式作差可得，
即，所以，直线的斜率为.
故选：D.
6．【正确答案】C
【详解】过在平面内作，垂足为点，
因为侧面是正三角形，所以是的中点，
又因为平面底面，平面平面，平面，
所以底面，
以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
则，，
所以，，
故选：C.
7．【正确答案】B
【详解】设点，则，，
因为，则，所以，，
化简可得，故点的轨迹方程为，
由题意可知，圆与圆有公共点，
两圆圆心距为，
所以，，即，
因为，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.
8．【正确答案】D
【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：，
设过点与渐近线垂直的方程为，
由，得，
由，得，
因为，所以，则，
所以，化简得，即，
解得（舍去）或，则.
故选：D
9．【正确答案】AC
【详解】

对于A，由题意可得，所以，故A正确；
对于B，的最小值为椭圆的通径长，故B错误；
对于C，由椭圆的定义可得的周长为，故C正确；
对于D，因为，当三角形的高最大时面积最大，即点为短轴端点时面积最大，
所以的面积的最大值为，故D错误；
故选：AC.
10．【正确答案】BCD
【详解】对于A选项，设Mx,y，由题，即，
整理得，A错；
对于B选项，以为底，且到的最大距离为半径，
所以面积的最大值是，B对；
对于C选项，当最大时，此时，直线与圆相切，
取点，则，且，
由勾股定理可得，C对；
对于D选项，由题意可得，
则，
当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，

所以，的最小值为，D对.
故选：BCD.
11．【正确答案】ABD
【详解】平面，四边形是正方形，
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得A0,0,0、、、、
、、、，
对于A，假设存在点，使得，
则，又，
则，解得：，
即点与重合时，，A对；
对于B，假设存在点，使得，
因为，，
因为，则存在，使得，即，
所以，，解得，
故当点为线段的中点时，，B对；
对于C选项，连接、、，
设，
因为，
当，即点与点重合时，取得最大值，
又点到平面的距离，
所以，，C错；
对于D，由上分析知，，，
若是面的法向量，则，
令，则，
设直线与平面所成的角为，
因为函数在0,2上单调递减，
则当点自向处运动时，即逐渐增大时，直线与平面所成的角逐渐增大，D对.
故选：ABD
12．【正确答案】
【详解】由题意可得，令，解得，
所以直线恒过定点，
故
13．【正确答案】
【详解】方法1：由正方体棱长为2，则，又为的中点，
则.
点到直线的距离为等腰三角形边AE所对应的高，
取中点为F，连接EF，则EF为边上的高，
则；
方法2：如图建立空间直角坐标系，则，
，.
则在上的投影向量为.
则到直线的距离.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】根据椭圆定义得，
所以，，
当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，
因为的最大值为，且，则，解得，
则.
设切椭圆于点，
由椭圆的光学性质可得、、三点共线，，
则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以，到直线的距离为，
由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即.
故；.
15．【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的标准方程为，
因为、、三点都在圆上，
则，解得，
因此，圆的方程为.
（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为,
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，所以，，解得
此时，直线的方程为，即.
综上，直线的方程为 或.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
，，
设平面的法向量为，则，
令，得，则，故平面.
（2）由（1）知，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
17．【正确答案】(1)；
(2).
【详解】（1）抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
由抛物线的定义可得，解得，
因此，抛物线的方程为.
（2）若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意，
故可设直线的方程为，设点Mx1,y1、Nx2,y2，
由，整理得，则，
由韦达定理可得，，
因为，，
所以，
即，即，
即，解得，
因此，直线的方程为，即.
18．【正确答案】(1)点在的延长线上，且，证明见解析
(2)存在，线段为
【详解】（1）直线平面，点在平面内，也在平面内，
点在平面与平面的交线上，
延长交于点，连接，如图所示，
，为的中点，与全等，
，
点在的延长线上，且，
连接交于点，连接，
四边形为矩形，是的中点，
为的中位线，，
又平面，平面，
直线平面.
（2）如图，由已知可得，，
又，平面，平面，
又平面，平面⊥平面，
，为等边三角形，
取的中点，连接，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，过点作直线，
以为坐标原点，以，，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，则，
设（），则，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，，
平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
要使二面角的大小为，
则，解得，
存在点，使二面角为，
此时线段为.
19．【正确答案】(1)
(2)①证明见解析；②.
【详解】（1）由题可知，， 解得，
，
椭圆的方程为.
（2）①证明：设直线的方程为，，
由得，
，即，
，
在椭圆上 ，
，即，
，
，即，
在直线上，
，
，
，即，
此时，
直线的方程为，即直线过定点.
②解：记直线过定点，
，
，
，
，
令，则，
在上单调递增，
当时，有最大值.