2024-2025学年天津市北辰区高二上学期11月期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市北辰区高二上学期11月期中数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共9小题）
1．在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）．
A．B．C．D．
5．若圆与圆外切，则（ ）
A．32B．26C．18D．
6．已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
7．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
9．若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
10．已知向量，，，则 ．
11．已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为 ．
12．圆与圆的公共弦的长为 .
13．直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 ．
14．如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为 .
15．已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则实数的值为 ．
三、解答题（本大题共5小题）
16．已知圆经过坐标原点，且圆心为．
(1)求圆的标准方程；
(2)已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值；
(3)过点引圆的切线，求切线的方程．
17．如图，平面，，，，，
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
18．已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长；
(3)过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程.
19．如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
20．设椭圆的左右焦点分别为，，且过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值．
答案
1．【正确答案】B
【详解】点，关于平面对称的点的坐标横纵坐标不动，竖坐标变成相反数，所以坐标是.
故选：B
2．【正确答案】C
【详解】因为直线的斜率为，由，，得到，
所以直线的倾斜角为，
故选：C.
3．【正确答案】C
【详解】
.
故选：C.
4．【正确答案】D
【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；
故选：D
5．【正确答案】A
【详解】由得圆心，，
由得，
圆心，，
因为两圆向外切，所以，
即，可得，解得，
故选：A
6．【正确答案】C
【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得，
即，
则，
则x=2，，，解得.
故选：C
7．【正确答案】C
【详解】由题意，直线与平行，
故
当时，直线，，两直线平行；
当时，直线，，两直线重合，舍去.
故
此时与间的距离
故选：C
8．【正确答案】D
【详解】，，
数形结合知，直线的斜率需满足，
即.
故选：D
9．【正确答案】B
【详解】作与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，
原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，
较近的一条到原点的距离为，
又圆上有2个点到直线的距离为1，
两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点，
与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图，

由此可得圆的半径，
故选：B
10．【正确答案】6
【详解】由，可知，解得，
所以，
故6
11．【正确答案】
【详解】当焦点在轴上时，，解得，
所以长轴长为；
当焦点在轴上时，，解得（舍去），
综上所述，椭圆的长轴长为.
故答案为.
12．【正确答案】
【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.
【详解】将圆与圆相减可得，
即两圆的公共弦所在的直线方程为，
又圆圆心到直线的距离，
圆的半径为，所以公共弦长为.
故答案为.
13．【正确答案】或
【详解】当截距为0时，设，
将代入直线方程，，解得，
故直线的方程为，
当截距不为0时，设直线的方程为，
将代入直线方程，，解得，
故直线的方程为，
故直线的方程为或.
故或
14．【正确答案】
【详解】如图，矩形是货车截面图，，则.
15．【正确答案】或
【详解】解：由圆，
得，
当时，圆C的半径最小为，即面积最小，
所以当圆C的面积最小时，圆的方程为，
圆心，半径，
因为直线与圆C相切，
所以圆心到直线的距离，
解得或.
故或.
16．【正确答案】(1)
(2)
(3)和
【详解】（1）由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为；
（2）由（1）可知：圆的半径，
设圆心到的距离为，则，
所以.
（3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线.
当斜率存在时，设切线方程为，即，
=2，解得 ，所以.
综上所述：切线的方程为和．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）因为平面，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面.
（2）因为，，设平面的法向量为，
则，取，又平面的法向量可以为，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）点到平面的距离.
18．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干条件求出即可得到椭圆标准方程；
（2）联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解；
（3）联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解.
【详解】（1）
依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：；
（2）由（1）知，，故该直线为：，和椭圆联立：
，整理可得，故，由弦长公式，
（3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，），设直线为：，和椭圆方程联立得，，
，则，故，
由韦达定理可得：，，
于是，，故，
即，
化简可得，解得，
故直线为：
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）取中点，连接，如图所示：

因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，所以，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
（2）平面PAC平面，平面平面AC，
平面，平面.
平面，，又，
则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面一个法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设，且，
所以，
所以，解得，
所以.
20．【正确答案】(1)
(2)①证明见解析，定点；②
【详解】（1）因为，所以，，
所以椭圆方程为.
（2）①设直线，由，消得，
设，，所以，，
所以，
因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，
所以，所以，
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点．
②由①知，，，且，即，
又，
令，则，
所以，当且仅当时取“=”，
所以．