2024-2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高二上学期12月月考数学检测试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，，则（ ）
A．10B．17C．21D．35
3．已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（ ）
A．4B．4或6C．3D．3或7
4．在等比数列中，，，是的前n项和，则（ ）
A．63B．48C．31D．15
5．若椭圆的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
7．已知等比数列满足，其前项和．则（ ）
A．数列的公比为B．数列为递减数列
C．D．当取最小值时，
8．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列的最大项为D．
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列
B．数列的通项公式为,则110是该数列的第10项
C．在数列中,第8个数是
D．数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为
11．已知直线的方向向量，为直线上一点，若点P(-1，0，- 2)为直线外一点，则P到直线上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2B．C．D．1
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列的前n项和为，且，则 .
13．已知是公比不为的等比数列，，若，则实数 .
14．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率；
(2)渐近线方程为，经过点．
16．已知等差数列的前项和满足.
(1)求的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值；
(3)AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．
18．已知数列满足，.
(1)求证：是等差数列；
(2)若，求数列的前n项和.
19．已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于两点，若点在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线的斜率．
答案
1．【正确答案】A
【详解】直线即，所以斜率为，
又，且，所以倾斜角.
故选：A
2．【正确答案】B
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以.
故选：B
3．【正确答案】D
【分析】
根据双曲线的定义有，注意、范围，即可得结果.
【详解】
由双曲线定义知：，而，又且，
∴3或7，
故选：D.
4．【正确答案】C
【详解】令等比数列的公比为，则，，
解得，，所以.
故选：C
5．【正确答案】B
【详解】记椭圆的焦距为，根据题中条件，得到，进而可求出离心率.
【详解】记椭圆的焦距为，
因为椭圆的短轴长是焦距的2倍，
所以，即，所以，即，即，所以，
因此椭圆的离心率为.
故选：B.
6．【正确答案】C
【详解】平面平面，平面平面，
而，则平面，平面，
设点的坐标为，设，连接，则，
又，，则，，
由平面，平面，平面平面，则，
又，则四边形是平行四边形，于是，即，
于是，解得，所以点的坐标为.
故选：C

7．【正确答案】D
【分析】利用退一相减法可得数列的递推公式，进而可得公比为，，进而可判断数列的单调性，再根据基本不等式可得当且仅当时，取最小值，进而可得公比与通项公式.
【详解】由已知，当时，，则，即，
当时，，所以，由等比数列知：公比为，
所以，即，所以，A、C选项错误；
又，，则公比，所以数列为递增数列，B选项错误；
，当且仅当，即时取等号，此时公比为，所以数列的通项公式为，D选项正确；
故选：D.
8．【正确答案】A
【详解】依题意，，，
，
，
，
，
由等比数列的前项和公式，得，
所以的通项公式.
故选：A
9．【正确答案】ABD
【详解】因为，，所以，A正确；
，所以，B正确；
因为，，所以数列的最大项为，C不正确；
因为，，，所以，即，D正确．
故选ABD．
10．【正确答案】BCD
【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,
所以两个数列不是同一个,故选项A错误;
当时,解得:或(舍),
即110是该数列的第10项,故选项B正确;
因为数列可写为:,
所以第8个数是,故选项C正确;
因为
所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确.
故选：BCD
11．【正确答案】AB
【详解】由题设条件可知，，
所以，
设与的夹角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为，
P到直线上任意一点Q的距离要大于等于.
故选AB.
12．【正确答案】
【详解】当时，，则.
经检验，时，，不符合上式，故.
13．【正确答案】
【详解】由条件有
.
故，从而，而，故任意两项不相等，所以.
故答案为.
14．【正确答案】2
【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为，
因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E，
所以，则 ，
由抛物线的定义可得，
又是的中点，所以到准线的距离为,
故2．
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设双曲线的标准方程为：，由题知：
，双曲线方程为.
（2）设双曲线方程为：，
将代入，解得，
所以双曲线方程为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公差为，则，
所以解得，
所以.
（2），所以，
所以.
.
【方法总结】裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后，可以消去一部分，从而计算和的方法，适用于通项为1an·an+1的前n项和，其中{an}为等差数列，1an·an+1＝1d1an−1an+1.
常见的拆项方法：
①12n−12n+1＝1212n−1−12n+1；
②1nn+1n+2＝12[1nn+1－1n+1n+2]；
③1nn+k＝1k1n−1n+k；
④kanan−1an+1−1＝ka−1(1an−1－1an+1−1)(a>0，a≠1)．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)AE＝2﹣
【详解】（1）
如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则
因为所以
所以.
（2）因为E为AB中点，则，
从而，
设AC与D1E所成的角为θ
则
（3）由（1），时，平面与平面所成角为．
则，
，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量，0，，
，
由，解得或（舍去）．
时，平面与平面所成角为．
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）由，又，
∴，故，且，
∴是首项、公差均为的等差数列.
（2）由（1），，则，又，
∴，则，
∴，，
则，
∴，.
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据抛物线的定义得出，从而得出，，再由面积公式解出；
（2）讨论直线的斜率是否存在，设出其方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得出的中点坐标，在由斜率公式得出点坐标，求出，，最后根据得出直线的斜率．
(1)
不妨设点在第一象限，因为，所以，则，
因为，所以
即抛物线的方程为
(2)
当直线的斜率不存在时，，要使得为等边三角形，则，但是，，不满足边长相等
当直线的斜率存在时，设直线的方程为：
由，化简得
则，
故线段的中点为
设，因为，所以，即
因为为等边三角形，所以
即，即，