北师大版数学九下期末复习训练专项42 阿氏圆（2份，原卷版+解析版）

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阿氏圆问题
问题：求解“”类加权线段和最小值
方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值
②造：根据线段比，构造母子型相似
③算：根据母子型结论，计算定点位置
④转：“”转化为“”问题
关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数
②系数小于1：内部构造母子型
③系数大于1：外部构造母子型
【典例分析】
【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．
【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，
∴△POM∽△DOP．
∴MP：PD＝k，
∴MP＝kPD，
∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，
利用勾股定理得．
（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，
∴的最小值为．
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半径为3，点P是⊙B上一点，连接AP，CP，则AP+CP的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：连接BP，在BC上截取BQ＝1，连接PQ，AQ，
∴，，
∴，
∵∠PBQ＝∠CBP，
∴△BPQ∽△BCP，
∴，
∴PQ＝CP，
∴AP+CP＝AP+PQ≥AQ，
当A、P、Q三点依次在同一直线上时，AP+CP＝AQ＝的值最小，
故答案为：．
【典例2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分别为OA，OB的中点，点P是上一点，则2PC+PD的最小值为 ．
【答案】2．
【解答】解：如图，延长OA使AE＝OA，连接ED，EP，OP，
∵AO＝OB＝4，C，D分别是OA，OB的中点，
∴OE＝8，OP＝4，OD＝OC＝2，
∴＝＝，且∠COP＝∠EOP，
∴△OPE∽△OCP，
∴＝＝，
∴EP＝2DC，
∴2PC+PD＝PE+PD，
∴当点E，点P，点D三点共线时，2PC+PD的值最小，
∴2PC+PD最小值＝＝2．
【变式2-1】如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，
∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，
∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，
∴＝＝，且∠COP＝∠EOP
∴△OPE∽△OCP
∴＝＝，
∴EP＝2PC，
∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），
∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，
∵DE＝＝＝13，
∴PD+PE≥DE＝13，
∴PD+PE的最小值为13，
∴PC+PD的值最小值为．
故答案为：．
【变式2-2】如图，△ABC为等边三角形，AB＝6，将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，连接CD，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF＝2CF，连接BF．
（1）如图①，当θ＝60°时，求EF的长；
（2）如图②，连接AF，求BF+AF的最小值．
【解答】解：（1）∵将边AB绕点A顺时针旋转θ（0°＜θ＜120°）得到线段AD，如图，
∴∠BAD＝θ，AB＝AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵θ＝60°，
∴∠DAC＝120°
∴∠ADC＝∠ACD＝30°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE＝30°，
∴∠EDA＝∠EAD，∠CAE＝90°，
∴DE＝AE＝，
∵AB＝AC＝6，
∴DE＝AE＝AC•tan30°＝2，
∴CE＝4，
∴CD＝CE+DE＝6，
∵DF＝2CF，
∴CF＝CD＝2，
∴EF＝CE﹣CF＝2；
（2）如图，过F作FH∥AD，交AC于H，取AC的中点M，连接FM，则AM＝CM＝3，
∴△CFH∽△CDA，
∴，
∵DF＝2FC，
∴，
∴CH＝FH＝2，
∴MH＝3﹣2＝1，
∵，，
∴，
∵∠FHM＝∠AHF，
∴△FHM∽△AHF，
∴，
∴FM＝AF，
∴当B、F、M三点共线时，BF+FM＝BF+AF的长最小，如图，此时BM⊥AC，
∴BM＝，
∴BF+AF的最小值为3．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（ ）
A．B．6C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：如图1，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有＝＝，
又∵∠PCD＝∠BCP，
∴△PCD∽△BCP，
∴＝，
∴PD＝BP，
∴AP+BP＝AP+PD．
要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+PD最小，
即：AP+BP最小值为AD，
在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，
∴AD＝＝，
AP+BP的最小值为，
故选：A．
2．如图，在正方形ABCD中．AB＝8，点P是正方形ABCD内部的一点，且满足BP＝4，则PD+PC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【解答】解：在BC边上取一点E，使BE＝2，连接DE，如图
∵ABCD是正方形，AB＝8
∴AB＝BC＝CD＝8，∠BCD＝90°
∵BP＝4
∴，
∴且∠PBC＝∠PBC
∴△PBE∽△BCP
∴
∴PE＝PC
∴PD+PC＝PD+PE
在Rt△DCE中，CD＝8，CE＝BC﹣BE＝6
∴DE＝＝10
∵PD+PE≥DE
∴PD+PE≥10
∴PD+PC的最小值是10
故选：C．
3．如图，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A是OC中点，OB＝2，点P是为CD上一点，则PB+2PA的最小值为 ．
【答案】
【解答】连接OP，延长OC至点E，使得OE＝6，
则＝，，
∴，
∵∠AOP＝∠AOP，
∴△AOP∽△POE，
∴，即2PA＝PE，
∴PB+2PA＝PB+PE，
∴当E、P、B三点共线时，PB+PE最小，
∴PB+2PA的最小值为BE＝＝．
故答案为：．
4．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】网
【解答】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，
∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，
∴△APC∽△BPA，
，
∴BP＝2AP，CP＝AP，
∵BP﹣CP＝BC＝4，
∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，
∴BP＝，CP＝，即点P为定点，
∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大，
S△ABC＝BC•A1P＝×4×＝．
故答案为：．
5．如图①，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F为AD边上的两点，且AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接AG交BE于点H．
（1）求证：AG⊥BE；
（2）如图②，点M为DC的中点，连接DH，M，求DH+HM的最小值；
（3）连接BM，当点E与点F重合时，求tan∠EBM的值．
网
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°，
∵DG＝DG，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠DAG＝∠DCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠CDF＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ABE＝∠DCF，
∴∠DAG＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAG+∠AEB＝90°，
∴∠AHE＝90°，
∴AG⊥BE；
（2）如图1，
∵∠ABH＝90°，
∴点H在以AB的中点O为圆心，为半径的圆上运动，
连接OH，OM，在OM上截取ON＝，连接HN，
∵OA＝，DM＝，AB＝CD，
∴OA＝DM，
∵AB∥CD，
∴四边形AOMD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴▱AOMD是矩形，
∴OM＝BC，∠DMN＝90°，
∴OM＝AB＝2OA，
∴，
∵∠HON＝∠MOH，
∴△HON∽△MOH，
∴＝，
∴HN＝，
∴DH+＝DH+HN，
∴当D、H、N共线时，DH+HN最小，最小值为DN的长，
∵DN＝＝＝，
∴DH+的最小值为：；
（3）如图2，
在Rt△CBM和Rt△DCE中，
tan∠CBM＝，tan∠DCE＝，
∴∠CBM＝∠DCE，
∵∠BCM＝90°，
∴∠CBM+∠CMB＝90°，
∴∠DCE+∠CMB＝90°，
∴∠BQE＝∠CQM＝90°，
设CM＝DE＝DM＝a，则CE＝BM＝a，
∴sin∠DEC＝，
∴QM＝CM•sin∠DEC＝a，
∴CQ＝2QM＝a，
∴EQ＝CE﹣CQ＝a﹣＝a，
BQ＝BM＝QM＝﹣a＝a，
∴tan∠EBM＝．
6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点C，⊙O与x轴交于点E（2，0），点P是⊙O上一点，连接CP，BP，求BP+CP的最小值．
【解答】解：如图，在OC上取一点T，使得OT＝，连接PT，BT，OP．
由题意C（0，3），E（2，0），A（﹣1，0），B（4，0）
∴OE＝2，OC＝3，OB＝4，OA＝1，
∴OP2＝OT•OB，
∴＝，
∵∠POT＝∠COP，
∴△POT∽△COP，
∴＝＝＝，
∴PT＝PC，
∴PB+PC＝BP+PT≥BT，
在Rt△BOT中，OB＝4，OT＝，
∴BT＝＝＝，
∴ABP+PC≥，
∴BP+PC的最小值为．