苏科版数学九上期末培优训练专题08 解题技巧专题：圆中辅助线的作法（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc14211" 【典型例题】 PAGEREF _Tc14211 \h 1
\l "_Tc27346" 【类型一 遇弦作弦心距或半径】 PAGEREF _Tc27346 \h 1
\l "_Tc8016" 【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】 PAGEREF _Tc8016 \h 5
\l "_Tc28042" 【类型三 遇切线连接圆心和切点】 PAGEREF _Tc28042 \h 14
【典型例题】
【类型一 遇弦作弦心距或半径】
例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．

【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，把一个宽度为的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：），那么光盘的半径是 ．

2．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．

3．（2023·甘肃庆阳·统考一模）如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为 ．
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE．

(1)求证；
(2)若弧AE的度数为，求的度数．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，是的外接圆，，，则的直径等于 ．

2．（2023春·九年级校考阶段练习）如图，已知是的直径，弦与交于点E，若， ，则 ．

3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，是的直径，C为上一点，连接，过点O作于点D，延长交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
5．（2023·浙江·模拟预测）如图，在半径为6的中，是直径．已知：，点D是弧的中点，连接交与点F，作．回答下列问题：
(1)求证：点C是弧的三等分点．
(2)求的长．
6．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以的边为直径的分别交，于点，，且点是的中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求线段的长．
【类型三 遇切线连接圆心和切点】
例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图，为的直径，，是上不同于，的两点，过点的切线垂直于交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，则的长为__________．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形的顶点A，，在上，过点作的切线交的延长线于点，若的半径为，则的长为（ ）

A．B．C．D．
3．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，的切线交直径的延长线于点，为切点，若，的半径为3，则的长为 ．

4．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在中，是直径，弦垂直于点，过点作的切线，与的延长线相交于点．若，则等于 ．
5．（2023·河南周口·周口恒大中学校考三模）如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接．过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点，的弦与相交于点．

(1)求证：；
(2)若，且为的中点，求的半径长．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，是的直径，点C在上，过点C作的切线l，过点B作于点D．

(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．

(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．