北师大版数学七上期末培优训练专题02 绝对值化简的三种考法（2份，原卷版+解析版）

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1. 绝对值的意义
绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作
2. 绝对值的性质
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：
互为相反数的两个数绝对值相等
3. 绝对值与数的大小
正数大于0，0大于负数。
理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。
类型一、利用数轴化简绝对值
例．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（ ）
A．a–2cB．–aC．aD．2b–a
【变式训练1】已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，且
（1）求和 的值
（2）化简：
【变式训练2】解答下列问题
（1）若有理数、满足，且，求的值．
（2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．

【变式训练3】已知a、b、c在数轴上位置如图所示：
(1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b-a 0； c-b 0； a+c 0；
(2)化简：
类型二、分类讨论化简
例1．若，且，求的值．
例2.若a，b，c都是非零有理数，求＋＋的值．
【变式训练1】已知ab＞0，则（ ）
A．3B．﹣3C．3或﹣1D．3或﹣3
【变式训练2】已知化简：=__________．
【变式训练3】若，则_______．
【变式训练4】①若2a与1－a互为相反数，则a=_________.
②已知|a|=3，|b-1|=4，|a-b|=b-a，则a+b=_____________.
类型三、几何意义化简绝对值
例．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ．
(2)如果，那么 ．
(3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．
(4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则 ；
②若，则 ．
【变式训练1】一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示5和1的两点之间的距离是__________；表示﹣3和2两点之间的距离是__________；
(2)如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝__________．
(3)若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则的值为__________；
(4)利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得＝7，这些点表示的数的和是__________．
【变式训练2】综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和7两点之间的距离是__________；数轴上表示3和的两点之间的距离是__________；
独立思考：
（2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为__________；
（3）试用数轴探究：当时m的值为__________．
实践探究：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究：
（4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？
（5）当的值最小时，m的值为__________（直接写出答案即可）．
课后训练
1．若时，化简（ ）
A．B．C．D．
2．在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．不确定
4．有理数、、在数轴上的位置如图，化简：___________．
5．若，，则______．
6．已知，，的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是____．（请填写序号）
7．学习过绝对值之后，我们知道表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题：
(1)可以理解为_________与_________两数在数轴上所对应的两点之间的距离；
(2)已知，求x的值；
(3)利用数轴探究：
①满足的所有整数x的值为_________；
②当x满足_________时，的值最小最小值是_________；
(4)已知在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距离高速公路起点的距离分别是、、．现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P，请直接指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是多少？
8．有理数、在数轴上的对应点位置如图所示，化简.
9．已知a，b，c在数轴上的位置如下图，且|a|＜|c|．
(1)abc 0，c＋a 0，c－b 0(请用“＜”，“＞”填空)；
(2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|．