2025南通海安高三上学期11月期中考试数学含解析

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.
3.本卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则实数（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 中，，，则（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
4. 函数的极大值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 4
5. 在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
6. 曲线与的交点中，与y轴最近的点的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，，，.若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在正四棱柱中，，P是线段上靠近C的三等分点，过点C与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（ ）
A. B. 2C. D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在空间中，设是三条直线，，，是三个平面，则下列能推出是（ ）
A. ，
B ，，
C. ，，，
D. ，，，
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为1B. 是曲线的对称中心
C. 在上单调递减D. 的最小正周期为
11. 设为上的增函数，满足：，，则（ ）
A. B. 奇函数
C. ，D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数的一个单调减区间为，则______，______.
13. 在平面直角坐标系中，曲线上的两点A，B满足，线段的中点M在x轴上，则点M的横坐标为______.
14. 已知圆O半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且.
（1）求A；
（2）若的面积为，周长为6，试判断的形状.
16. 设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.
（1）能否为正三角形?若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；
（2）设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：.
17. 如图，在三棱锥中，平面，D是的中点，平面平面，且.
（1）求点A到平面的距离；
（2）求平面与平面的夹角的正弦值.
18. 已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线过原点，求a；
（2）当时，证明：；
（3）若在上单调递增，求a的取值范围.
19. 如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列.
（1）写出所有满足的数列；
（2）证明：存在数列是等比数列，且有无穷个；
（3）对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值.