2022-2023学年广东省广州市华南师大附中九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年广东省广州市华南师大附中九年级（上）期末数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是()
A． B．
C． D．
2．（3 分）下列事件是必然事件的是() A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《今日在线》C．射击运动员射击一次，命中十环
D．方程 x2  x  0 必有实数根
3．（3 分）平面直角坐标系内一点 P(2, 3) 关于原点对称的点的坐标是()
A． (3, 2)
B． (2,3)C． (2, 3)
D． (2, 3)
4．（3 分）如图， A 是O 的圆周角， A  50 ，则BOC 的度数为()
A． 40B． 50C．100D．130 5．（3 分）抛物线 y   1 (x  2)2  1 的顶点坐标是()
2
A． (2, 1)
B． (2,1)
C． (2, 1)
D． (2,1)
6．（3 分）如图，把 OAB 绕点O 逆时针旋转60 ，得到 OCD ，则下列结论错误的是()
BD  OB
AB  OC
A  C
AOC  BOD
7．（3 分）已知实数 x1 ， x2 满足 x1  x2  7 ， x1 x2  12 ，则以 x1 ， x2 为根的一元二次方程是()
A． x2  7x 12  0
B． x2  7x 12  0
C． x2  7x 12  0
D． x2  7x 12  0
8．（3 分）如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦 AB 与小圆相切于点C ，则 AB  (
)
A． 4cmB． 5cmC． 6cmD． 8cm 9．（3 分）一个圆的半径为 4，则该圆的内接正方形的边长为()
2
A．2B． 2
C． 4
D．8
2
10．（3 分）二次函数 y  ax2  bx  c 的图象如图所示，其对称轴为直线 x  1 ，则下列说法：
① abc  0 ；② 2a  b  0 ；③ 4ac  b2 ④ a  b  c  2 ．其中正确的个数为()
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）
1
11．（3 分）已知 x  1 是关于 x 的一元二次方程 x2  a  0 的一个根，则常数 a 的值是 ．
12．（3 分）一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的 4 个白球和 2 个红球，从袋子中任意摸出一个球是白球的概率是．
13．（3 分）已知关于 x 的方程 x2  2x  m  0 没有实数根，则 m 的取值范围是 ．
14．（3 分）如图，直线 y  x  1 与抛物线 y  x2  3x  2 都经过点 A(1, 0) 和 B(3, 2) ，则不等
式 x  1  x2  3x  2 的解集是．
15．（3 分）如图，从一块边长为 12 的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是．
16．（3 分）如图，线段 BC 的两个端点分别在 x 轴和直线l 上滑动（均不与原点O 重合），
 60 ，BC  2 ，作 BP  x 轴，CP  l ，交点为 P ，设 P 的坐标为( p, q) ，则 p2  q2 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程： x2  4x  3  0 ．
18．（4 分）如图， O 中，弧 AB  弧 AC ， C  70 ，求A 的度数．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， OAB 的顶点坐标分别为O(0, 0) ， A(5, 0) ，
B(4, 3) ．将OAB 绕点O 顺时针旋转90 得到△ OAB ，点 A 旋转后的对应点为 A ．
画出旋转后的图形△ OAB ，并写出点 B 的坐标；
在（1）的条件下，求点 B 经过的路径长（结果保留) ．
20．（6 分）两个相邻正奇数的积为 143，求这两个正奇数．
21．（8 分）如图，已知O 为RtABC 的内切圆，切点分别为 D ， E ， F ，且C  90 ，
AB  13 ， BC  12 ．
求 BF 的长；
求O 的半径 r ．
22．（10 分）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字
0，1，2；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字1 ， 2 ，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 x ，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 y ，确定点 M 坐标为(x, y) ．
用树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标；
求点 M (x, y) 在函数 y  x  1的图象上的概率．
2
23．（10 分）如图， ACE 是等腰直角三角形， ACE  90 ， AC  4
， B 为 AE 边上一
点，连接 BC ，将ABC 绕点C 旋转到EDC 的位置．
若ACB  20 ，求CDE 的度数；
连接 BD ，求 BD 长的最小值．
24．（12 分）如图，直角梯形 ABCD 中， A  B  90 ， AB  12 ， CD  AD  BC ．
尺规作出以 AB 为直径的圆O （保留作图痕迹，不写作法）；
判断CD 与O 的位置关系，并说明理由；
设 AD  x ， BC  y ，求 y 关于 x 的函数解析式．
25．（12 分）如图，二次函数 y  ax2  bx  c 的图象交 x 轴于 A(1, 0) ， B(2, 0) ，交 y 轴于
C(0, 2) ．
求二次函数的解析式；
点 P 在该二次函数图象的对称轴上，且使| PB  PC | 最大，求点 P 的坐标；
若点 M 为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点 M 运动到何处时，四边形
ACMB 的面积最大？求出此时点 M 的坐标及四边形 ACMB 面积的最大值．
2022-2023 学年广东省广州市华南师大附中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.）
1．（3 分）近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是()
A． B．
C． D．
【解答】解： A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选： D ．
2．（3 分）下列事件是必然事件的是()
A．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B．打开电视频道，正在播放《今日在线》C．射击运动员射击一次，命中十环
D．方程 x2  x  0 必有实数根
【解答】解： A 、抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上是随机事件，故本选项错误；
B 、打开电视频道，正在播放《今日在线》是随机事件，故本选项错误；
C 、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项错误；
D 、方程 x2  x  0 必有实数根是必然事件，故本选项正确； 故选： D ．
3．（3 分）平面直角坐标系内一点 P(2, 3) 关于原点对称的点的坐标是()
A． (3, 2)
B． (2,3)C． (2, 3)
D． (2, 3)
【解答】解：点 P(2, 3) 关于原点对称的点的坐标是(2, 3) ． 故选： D ．
4．（3 分）如图， A 是O 的圆周角， A  50 ，则BOC 的度数为()
A． 40B． 50C．100D．130
【解答】解：A  50 ，
BOC  2A  100 ． 故选： C ．
5．（3 分）抛物线 y   1 (x  2)2  1 的顶点坐标是()
2
A． (2, 1)
B． (2,1)
C． (2, 1)
D． (2,1)
【解答】解：因为 y   1 (x  2)2  1 是抛物线的顶点式，
2
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2,1) ， 故选： D ．
6．（3 分）如图，把 OAB 绕点O 逆时针旋转60 ，得到 OCD ，则下列结论错误的是()
BD  OB
AB  OC
A  C
AOC  BOD
【解答】解：OAB 绕点O 逆时针旋转60 得到OCD ，
A  C ， AOC  BOD ， AB  CD ， OB  OD ，
BOD  60 ，
 BD  OB ． 故选： B ．
7．（3 分）已知实数 x1 ， x2 满足 x1  x2  7 ， x1 x2  12 ，则以 x1 ， x2 为根的一元二次方程是()
A． x2  7x 12  0
B． x2  7x 12  0
C． x2  7x 12  0
D． x2  7x 12  0
【解答】解：以 x ， x 为根的一元二次方程 x2  7x 12  0 ，
12
故选： A ．
8．（3 分）如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦 AB 与小圆相切于点C ，则 AB  (
)
A． 4cmB． 5cmC． 6cmD． 8cm
【解答】解：连接OA ， OC ，
 AB 与小圆相切，
OC  AB ，
 C 为 AB 的中点，即 AC  BC  1 AB ，
2
在RtAOC 中， OA  5cm ， OC  3cm ，
OA2  OC2
根据勾股定理得： AC  则 AB  2 AC  8cm ． 故选： D ．
 4cm ，
9．（3 分）一个圆的半径为 4，则该圆的内接正方形的边长为()
2
A．2B． 2
C． 4
D．8
2
【解答】解：如图所示： O 的半径为 4，
四边形 ABCD 是正方形， B  90 ，
 AC 是O 的直径，
 AC  2  4  8 ，
 AB2  BC 2  AC 2 ， AB  BC ，
 AB2  BC 2  64 ，
2
解得： AB  4，
2
即O 的内接正方形的边长等于 4．
故选： C ．
10．（3 分）二次函数 y  ax2  bx  c 的图象如图所示，其对称轴为直线 x  1 ，则下列说法：
① abc  0 ；② 2a  b  0 ；③ 4ac  b2 ④ a  b  c  2 ．其中正确的个数为()
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：抛物线开口向下，
 a  0 ，
抛物线的对称轴为直线 x   b
2a
 1 ，
b  2a  0 ，
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
 c  0 ，
 abc  0 ，所以①正确；
 b  2a ，
 2a  b  0 ， 所以②错误；
抛物线与 x 轴有 2 个交点，
△  b2  4ac  0 ，所以③错误；
抛物线开口向下， x  1 是对称轴，所以 x  1 对应的 y 值是最大值，
 a  b  c  2 ，所以④正确．
故选： B ．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）
1
11．（3 分）已知 x  1 是关于 x 的一元二次方程 x2  a  0 的一个根，则常数 a 的值是 1．
1
【解答】解： x  1是关于 x 的一元二次方程 x2  a  0 的一个根，
12  a  0 ， 解得， a  1； 故答案为：1．
12．（3 分）一个不透明的袋子里装有形状、大小相同的 4 个白球和 2 个红球，从袋子中任
意摸出一个球是白球的概率是2．
3
【解答】解：由题意可得，
从袋中任意摸出一个球是白球的概率为 4
 2 ．
故答案为： 2 ．
3
4  23
13．（3 分）已知关于 x 的方程 x2  2x  m  0 没有实数根，则 m 的取值范围是 m  1 ．
【解答】解：关于 x 的方程 x2  2x  m  0 没有实数根，
△  22  4 1 (m)  4  4m  0 ，
解得： m  1 ．
故答案为： m  1 ．
14．（3 分）如图，直线 y  x  1 与抛物线 y  x2  3x  2 都经过点 A(1, 0) 和 B(3, 2) ，则不等式 x  1  x2  3x  2 的解集是 1  x  3 ．
【解答】解：直线 y  x  1 与抛物线 y  x2  3x  2 都经过点 A(1, 0) 和 B(3, 2) ， 由图象得：不等式 x  1  x2  3x  2 的解集是1  x  3 ．
故答案为：1  x  3 ．
15．（3 分）如图，从一块边长为 12 的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其
3
围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是．
【解答】解：连接 AD ，
ABC 是边长为 12 的等边三角形，
 AD  12 
3  6，
3
2
扇形的弧长为 60 6 3  2 3，
180
3
圆锥的底面圆的半径是 2 3 2 ．
3
故答案为：．
16．（3 分）如图，线段 BC 的两个端点分别在 x 轴和直线l 上滑动（均不与原点O 重合），
 60 ， BC  2 ，作 BP  x 轴， CP  l ，交点为 P ，设 P 的坐标为( p, q) ，则 p2  q2 
16．
3
【解答】解：连接OP ，取OP 的中点为 D ，
 BP  x 轴， CP  l ，
CD  BD  1 OP ，
2
 O 、 B 、 P 、C 四点共圆， OP 为直径，如图：
连接CD 和 BD ，过 D 作 DE  BC 于点 E ，
CE  1 BC  1 ，
2
 60 ，
BDC  2BOC  120 ，
CDE  60 ，
BCD  30 ，
 DE  1 CD ，
2
在RtCDE 中，由勾股定理可得CD2  DE 2  CE 2 ，
即： CD2 
(1 CD)
2
2  12 ，
解得： CD  2 3 ，
3
OP  4 3 ，
3
 p2  q2  OP2  16 ，
3
故答案为： 16 ．
3
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）解方程： x2  4x  3  0 ．
【解答】解： x2  4x  3  0 ， 分解因式得： (x  1)(x  3)  0 ，
可得 x  1  0 或 x  3  0 ， 解得： x1  1 ， x2  3 ．
18．（4 分）如图， O 中，弧 AB  弧 AC ， C  70 ，求A 的度数．
【解答】解：弧 AB  弧 AC ，
B  C  70 ，
A  180  B  C  180  70  70  40 ， 即A 的度数为 40 ．
19．（6 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， OAB 的顶点坐标分别为O(0, 0) ， A(5, 0) ，
B(4, 3) ．将OAB 绕点O 顺时针旋转90 得到△ OAB ，点 A 旋转后的对应点为 A ．
画出旋转后的图形△ OAB ，并写出点 B 的坐标；
在（1）的条件下，求点 B 经过的路径长（结果保留) ．
【解答】解：（1）如图所示，△ OAB 即为所求．
点 B 的坐标为(3, 4) ；
32  42
（2）由图知， AOA  90 ， OB  5 ，
点 B 在旋转过程中所走过的路径长 BB  90 5  5 ．
1802
20．（6 分）两个相邻正奇数的积为 143，求这两个正奇数．
【解答】解：设这两个连续奇数为 x ， x  2 ， 根据题意 x(x  2)  143 ，
 x1  11 ， x2  13 （舍去），
当 x  11时， x  2  13 ； 答：两个连续奇数为 11，13．
21．（8 分）如图，已知O 为RtABC 的内切圆，切点分别为 D ， E ， F ，且C  90 ，
AB  13 ， BC  12 ．
求 BF 的长；
求O 的半径 r ．
【解答】解：（1）在 RtABC 中，C  90 ， AB  13 ， BC  12 ，
AB2  BC2
132 122
 AC  5 ，
O 为RtABC 的内切圆，切点分别为 D ， E ， F ，
 BD  BF ， AD  AE ， CF  CE ，
设 BF  BD  x ，则 AD  AE  13  x ， CF  CE  12  x ，
 AE  EC  5 ，
13  x  12  x  5 ，
 x  10 ，
 BF  10 ．
（2）连接OE ， OF ，
 OE  AC ， OF  BC ，
OEC  C  OFC  90 ，
四边形OECF 是矩形，
OE  CF  BC  BF  12  10  2 ． 即 r  2 ．
22．（10 分）在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字
0，1，2；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字1 ， 2 ，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 x ，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 y ，确定点 M 坐标为(x, y) ．
用树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标；
求点 M (x, y) 在函数 y  x  1的图象上的概率．
【解答】解：（1）列表如下：
x
y
0
1
2
共有 9 种等可能的结果数；
（2）满足点(x, y) 落在函数 y  x  1 的图象上的结果有 2 个，即(2, 1) ， ( 1，0 ) ，
所以点 M (x, y) 在函数 y  x  1 的图象上的概率 2 ．
9
1
(0, 1)
(1, 1)
(2, 1)
2
(0, 2)
(1, 2)
(2, 2)
0
(0, 0)
(1, 0)
(2, 0)
2
23．（10 分）如图， ACE 是等腰直角三角形， ACE  90 ， AC  4
， B 为 AE 边上一
点，连接 BC ，将ABC 绕点C 旋转到EDC 的位置．
若ACB  20 ，求CDE 的度数；
连接 BD ，求 BD 长的最小值．
【解答】解：（1） ACE 是等腰直角三角形， ACE  90 ，
A  AEC  45 ，
ACB  20 ，
ABC  180  A  ACB  115 ，
将ABC 绕点C 旋转到EDC 的位置，
CDE  ABC  115 ；
（2）将ABC 绕点C 旋转到EDC 的位置，
ACB  DCE ， BC  DC ，
BCD  DCE  BCE  ACB  BCE  90 ，
 BD 
2BC ，
当 BC  AE 时， BC 的值最小，即 BD 的值最小，
2
 AC  4，
 AB  BC 
2 AC  4 ，
2
2
 BD  4，
2
故 BD 长的最小值为 4．
24．（12 分）如图，直角梯形 ABCD 中， A  B  90 ， AB  12 ， CD  AD  BC ．
尺规作出以 AB 为直径的圆O （保留作图痕迹，不写作法）；
判断CD 与O 的位置关系，并说明理由；
设 AD  x ， BC  y ，求 y 关于 x 的函数解析式．
【解答】解：（1）所作图形如图 1 所示；
CD 与O 相切，理由：如图 2，
作ADC 的角平分线，交 AB 于 M ，
ADM  CDM ，
过点 M 作 MF  CD 于 F ，
DFM  90  A ，
 DM  DM ，
ADM  FDM (AAS ) ，
 MF  MA ， DF  AD ，
CD  DF  CF  AD  CF ，
 CD  AD  BC ，
CF  BC ，
在RtCFM 和RtCBM 中，
CF  BC

CM  CM ，
RtCFM  RtCBM(HL) ，
 BM  MF ，
 MF  1 AB ，
2
O 的直径为 AB ，
CD 与O 相切（圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线）；
如图 3，过点 D 作 DE  BC 于 E ，
DEC  DEB  90 ，
A  B  90 ，
A  B  DEB  90 ，
四边形 ABED 是矩形，
 DE  AB  12 ， BE  AD  x ，
在RtDEC 中， CE  BC  BE  y  x ， CD  AD  BC  x  y ， 根据勾股定理得， DE 2  CE 2  CD2 ，
122  ( y  x)2  (x  y)2 ，
 y  36 ．
x
25．（12 分）如图，二次函数 y  ax2  bx  c 的图象交 x 轴于 A(1, 0) ， B(2, 0) ，交 y 轴于
C(0, 2) ．
求二次函数的解析式；
点 P 在该二次函数图象的对称轴上，且使| PB  PC | 最大，求点 P 的坐标；
若点 M 为该二次函数图象在第四象限内一个动点，当点 M 运动到何处时，四边形
ACMB 的面积最大？求出此时点 M 的坐标及四边形 ACMB 面积的最大值．
【解答】解：（1）将 A(1, 0) ， B(2, 0) ， C(0, 2) 代入 y  ax2  bx  c ，
a  b  c  0

 4a  2b  c  0 ，

c  2
a  1

解得b  1 ，

c  2
 y  x2  x  2 ；
（2） y  x2  x  2  (x  1 )2  9 ，
24
抛物线的对称轴为直线 x  1 ，
2
作C 点关于对称轴的对称点C  ，连接 BC 与对称轴交于点 P ，
CP  CP ，
| PB  PC || PB  PC | BC  ，此时| PB  PC | 有最大值，
 C(0, 2) ，
C(1, 2) ，
设直线 BC 的解析式为 y  kx  m ，
2k  m  0
 k  m  2 ，

m  4
解得k  2，

 y  2x  4 ，
 P( 1 ， 3) ；
2
（3）过点 M 作 MN / / y 轴交 BC 于点 N ，
 B(2, 0) ， C(0, 2) ，
直线 BC 的解析式为 y  x  2 ， 设 M (t,t2  t  2) ，则 N (t,t  2) ，
 MN  t  2  (t2  t  2)  t2  2t ，
 SBCM
 SABC
 S
 1  2  (t 2  2t)  t 2  2t ，
2
 1  3  2  3 ，
2
 3  t 2  2t  (t  1)2  4 ，
四边形ACMB
当t  1 时，四边形 ACMB 的面积最大值为 4， 此时 M (1, 2) ．