重庆市大足区邮亭中学等五校2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市大足区邮亭中学等五校2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是( )
A.6B.1C.0D.
2．下列属于一元二次方程的是( )
A.B.C.D.
3．如图,,,若,则的度数为( )
A.B.C.D.
4．估计的值应在( )
A.7和8之间B.8和9之间C.9和10之间D.10和11之间
5．如图,用相同的小正方形按照某种规律进行摆放,则第8个图形中小正方形的个数是( )
A.71B.78C.85D.89
6．在同一直角坐标系中,一次函数和二次函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
7．抛物线的顶点坐标为( )
A.B.C.D.
8．小区一家快递店,星期一收快递件100件,星期三收144件,设该快递店收件平均每天增长率为x,可列方程( )
A.B.
C.D.
9．已知二次函数的图象如图所示,在下列六个结论中：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
10．已知,,则下列说法：
①若,,则；
②若的值与x的取值无关,则,；
③当,时,若,则或；
④当,时,有最小值为7,则.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
11．计算：________.
12．一元二次方程的解是：____________.
13．已知关于x的方程是一元二次方程,则____,这个一元二次方程是____.
14．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是________.
15．在一次足球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛21场,设共有x个队参赛,根据题意,可列方程为________.
16．如图,将矩形沿对角线折叠,点C的对应点为点,连接,交于点E.若,,则的长为____,的面积为____.
17．如果关于x的不等式组无解,且关于y的分式方程的解为非负整数,则符合条件的所有整数a的和为____.
18．一个四位自然数,若满足,且,,则称四位数为“神奇数”.例如：四位自然数4312,因为,,,所以4312是“神奇数”.若是一个“神奇数”,且,则满足条件的M的个数有____个,若是一个“神奇数”,设,,,和都是整数,则M的值为____.
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2).
20．如图,在菱形中,对角线、相交于点O.
(1)尺规作图：在的延长线上截取,连接,再过点B作的垂线交于点F(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)求证：四边形为矩形.
证明：∵
∴①
∵四边形是菱形
∴,,
∴
∵
∴②
又∵
∴四边形为平行四边形
∴③
∴
∴④
∴
∴四边形为矩形.
21．2023年6月5日是世界环境日,某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试.为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况,现从七年级和七年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析(单位：分,满分100分),将学生竞赛成绩分为A,B,C,D四个等级,分别是：
A：,B：,C：,D：.
其中,七年级学生的竞赛成绩为：
66,75,76,78,79,81,82,83,84,86,
86,88,88,88,91,92,94,95,96,96；
八年级等级C的学生成绩为：81,82,83,86,87,88,89.
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息,解答下列问题；
(1)填空：___________,___________,___________；
(2)根据以上数据,你认为在此次知识竞赛中,哪个年级的成绩更好？请说明理由；(一条理由即可)
(3)若七年级有500名学生参赛,八年级有700名学生参赛,请估计两个年级参赛学生中成绩优秀(大于或等于90分)的学生共有多少人？
22．某商店销售一种成本为每千克40元的产品,根据市场分析,若按照每千克50元销售,一个月能售出这种产品500千克；销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.
(1)销售单价为58元时,这种产品的月销量是多少千克？
(2)该商店想在月销售成本不高于10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少元？
23．如图1,在梯形中,,,,点E在边上且.动点P、Q同时从点E出发,点P以每秒1个单位长度沿折线E→A→D方向运动到点D停止,点Q以每秒2个单位长度沿折线E→B→C方向运动到点C停止.设运动时间为t秒,的面积为y.
(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
(2)如图2,在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象,直接写出的面积大于15时的t的取值范围.
24．10月国庆长假期间,某商场销售一批商品,经市场调研：该商品进价为每个10元,当售价为每个12元时,每天销售量为180个,若售价每提高1元,每天销售量就会减少10个,请回答以下问题：
(1)当商品售价为每个15元时,每天销售量为多少个？
(2)用函数解析式表示该商品销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系；
(3)当售价定为多少时,商场每天获得利润最大？每天的最大利润是多少？
25．如图,抛物线经过点,且交x轴于,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,过点D作轴,垂足为M,点P在直线下方抛物线上运动,过点P作,,求的最大值,以及此时点P的坐标.
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度,在平移后的抛物线上存在点G,使得,请写出所有符合条件的点G的横坐标,并写出其中一个的求解过程.
26．已知正方形的边长为4,为等边三角形,点E在边上,点F在边的左侧.
(1)如图1,若D,E,F在同一直线上,求的长；
(2)如图2,连接,,并延长交于点H,若,求证：；
(3)如图3,将沿翻折得到,点Q为的中点,连接,若点E在射线上运动时,请直接写出线段的最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：-6的相反数是6,
故选：A.
2．答案：C
解析：A、方程含有两个未知数,,不是一元二次方程,故本选项不符合题意；
B、方程不是整式方程,不是一元二次方程,故本选项不符合题意；
C、方程是一元二次方程,故本选项符合题意；
D、含未知数的项的最高次数是3,不是一元二次方程,故本选项不符合题意；
故选：C.
3．答案：A
解析：∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：A.
4．答案：B
解析：原式.
，
，
，
.
故选：B.
5．答案：D
解析：根据题意可得：
第1个图形中小正方形的个数：(个),
第2个图形中小正方形的个数：(个),
第3个图形中小正方形的个数：(个),
……
第n个图形中小正方形的个数：(个),
∴第8个图形中小正方形的个数：(个),
故选：D.
6．答案：B
解析：A.由一次函数图象得,由二次函数图象得,矛盾,不符合题意；
B.由一次函数图象得,由二次函数图象得,一致,符合题意；
C.由一次函数图象得,由二次函数图象得,矛盾,不符合题意；
D.由一次函数图象得,由二次函数图象得,矛盾,不符合题意；
故选：B.
7．答案：A
解析：抛物线的顶点坐标为,
故选：A
8．答案：A
解析：由题意得：星期一收快递件100件,星期三收144件,
∴可列方程为：,
故选：A.
9．答案：D
解析：①∵由函数图象开口向下可知,,由函数的对称轴,故,
∵,
∴,
∴,①正确；
②∵,对称轴在y轴左侧,a,b同号,图象与y轴交于负半轴,则,故；②正确；
③当时,,③正确；
④当时,,④错误；
⑤当时,,⑤错误；
⑥∵图象与x轴无交点,
∴,⑥正确；
故正确的有①②③⑥,共4个.
故选：D.
10．答案：C
解析：∵,,
∴当,时,
,故①符合题意；
,
∵的值与x的取值无关,
∴,,
∴,,故②不符合题意；
当,时,则有：,
解得：或；故③符合题意；
当,时,
当且,即时,有最小值为7,故④说法符合题意；
故选C.
11．答案：1
解析：,
故答案为：1.
12．答案：,
解析：原方程分解因式为,
可求得方程的解为,.
13．答案：；
解析：∵方程是一元二次方程,
∴,
解得：,
∴这个方程为,
故答案为：,.
14．答案：
解析：根据题意得,,
∴
解得,,
故答案为：.
15．答案：
解析：依题意得：,
故答案为：.
16．答案：；
解析：∵四边形是矩形,
∴,,,
∴
由折叠的性质可知：,,,
∴,
由勾股定理可得：,
即,
解得：,
∴,,
过点A作于点H,如图所示：
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴；
故答案为：,.
17．答案：13
解析：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组无解
分式方程去分母得：
分式方程的解为非负整数
且
且
解得：且
为整数,为非负整数
,5,7
符合条件的所有整数a的和为：
故答案为：13.
18．答案：5；9909
解析：∵是一个“神奇数”,且,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵c为整数,
∴,2,3,4,
∴满足条件的M的个数有5个；
∵是一个“神奇数”,
∴,,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴
,
,
∵和都是整数,
∴与都能被9整除,
∴能被9整除,
∵
,
∵,
∴能被9整除,
∵,
∴,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵能被9整除,
∴,
∵,,,
∴,
∴当,时,,,,符合题意,此时；
当,时,,不符合题意；
当,时,,不符合题意；
当,时,,不符合题意；
当,时,,不符合题意；
当,时,,不符合题意；
综上分析可知：.
故答案为：5,.
19．答案：(1),
(2),
解析：(1)∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
解得,；
(2)∵,
∴,
∴,
解得,.
20．答案：(1)见解析
(2)①,②,③,④
解析：(1)如图：
作法：延长,以B为圆心,的长为半径,在的延长线上画弧,即为点E；连接,分别以A,E为圆心,的长为半径,在的上方画弧,两弧交于一点,连接该点与点B,与交于一点,即为点F
(2)证明：∵
∴
∵四边形是菱形
∴,,
∴
∵
∴
又∵
∴四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∴
∴四边形为矩形.
21．答案：(1)87.5；88；35
(2)八年级的成绩更好,理由见解析
(3)估计两个年级参赛学生中成绩优秀(大于或等于90分)的学生共有430人
解析：(1)由题意得：八年级等级A的学生人数为(人),
等级B的学生人数为(人),
∴八年级20名同学的成绩从小到大排列,排在中间的两个数分别为87、88,故八年级学生成绩的中位数；
七年级20名同学的成绩出现次数最多的是88,故众数；
由题意可得：,
故,
故答案为：87.5；88；35；
(2)八年级的成绩更好,
理由：因为两个年级的平均数相同,而八年级的成绩的中位数和众数均大于七年级；
(3)(人),
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀(大于或等于90分)的学生共有430人.
22．答案：(1)420千克,详见解析
(2)80元,详见解析
解析：(1)根据题意得：
(千克),
答：当销售单价为每千克58元时,月销售量为420千克；
(2)设销售单价为x元,则每千克的销售利润为元,月销售量为千克,
根据题意得：,
整理得：,
解得：,,
当时,,不符合题意,舍去；
当时,,符合题意,
答：销售单价应定为80元.
23．答案：(1)
(2)作图见解析,函数y的最大值是24(答案不唯一)
(3)
解析：(1)在梯形中,,
,,点E在边上且.
,,
当时,
当时,如图,
综上所述：
(2)函数图象如图所示,函数y的最大值是24.
(3)当时,,
解得
当时,,
解得
观察图象可得,时,,
故答案为：.
24．答案：(1)个
(2)
(3)当售价定为时,商场每天获得利润最大,每天的最大利润是1000元
解析：(1)当售价为每个12元时,每天销售量为180个,若售价每提高1元,每天销售量就会减少10个,
∴当商品售价为每个15元时,每题的销售量为(个)；
(2)根据题意,由(1)的计算方法可得,,
∴销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系为；
(3)设商场每天获得利润最大为w元,
∴,
∵,
∴当时,w有最大值,最大值为1000元,
∴当售价定为元时,商场每天获得利润最大,每天的最大利润是1000元.
25．答案：(1)
(2)最大值为,
(3)或
解析：(1)把,代入中得：
,
∴,
∴抛物线解析式为；
(2)设直线解析式为,设、交于H,
∴,
∴,
∴直线解析式为,
∵轴,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
又∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
设,则,,
∴,,
∴
,
∵,
∴当时,有最大值,最大值为,
∴
∴
(3)∵抛物线交y轴于点C.
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,,
∴将原抛物线沿射线方向平移个单位长度,相当于把原抛物线向上平移个单位长度,再向左平移1个单位长度,
∵原抛物线解析式为,
∴平移后的抛物线解析式为；
如图所示,取点,连接、,
∵,,
∴,,,
∴,,
∴是等腰直角三角形,且,
∴,
∴与抛物线的交点即为点G,
同理可得直线的解析式为,
联立得,
解得或(舍去),
∴点G的坐标为；
同理当取点时,可证明是等腰直角三角形,且,
∴,
∴与抛物线的交点即为点G的位置,
同理可得直线的解析式为,
连接得,
解得或(舍去),
∴点G的坐标为；
综上所述,点G的坐标为或.
26．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)∵四边形是正方形,且边长为4,
∴,,
∵为等边三角形,
∴,
∴,
∴；
(2)证明：如图2,延长,交于点G,
∵四边形是正方形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵为等边三角形,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴；
(3)①当点E在线段上时,如图3,取的中点N,连接,
∵将沿翻折得到,
∴,
∵点Q为的中点,点N为的中点,
∴,
∴,
∴点Q在过的中点N,且与成的直线上移动,
∴当时,有最小值,
如图4,延长,交于点H,连接,
∵点N是的中点,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
②当点E在线段的延长线上时,如图5,取的中点N,连接,
∵将沿翻折得到,
∴,
∵点Q为的中点,点N为的中点,
∴,
∴,
∴点Q在过的中点N,且与成的直线上移动,
∴当时,有最小值,
如图,延长,交于点H,
∵点N是的中点,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴；
综上所述：的最小值为.
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.2
86
b
59.66
八年级
85.2
a
91
91.76