人教版数学七下期末考点复习第08讲 求二元一次方程（组）中字母系数的思路专题复习（2份，原卷版+解析版）

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思路一 利用二元一次方程（组）解的概念
典例1（2022春•南海区校级月考）若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并判断不是这个方程的解．
思路引领：把与的两对值代入方程得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，检验即可．
解：把和代入方程得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
方程为，
把代入方程得：左边，右边，
左边右边，
是这个方程的解．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
针对训练1
1．（2022春•朝阳区校级期中）已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为
A．3B．2C．D．
思路引领：把代入方程得到关于的一元一次方程，解之即可．
解：把代入方程得：
，
解得，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
2．（2022春•杭州月考）已知是方程的解，则的值是
A．B．3C．D．
思路引领：把代入方程计算即可求出的值．
解：把代入方程，得：
，
解得．
故选：．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
3．（2022•江北区开学）方程是关于、的方程，试问当为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？
思路引领：（1）若方程为关于、的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后或的系数中有一个为0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于、的二元一次方程，则二次项系数应为0且或的系数不为0．
解：（1）因为方程为关于、的一元一次方程，所以：
①，解得；
②，无解，
所以时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知，解得，
所以时，方程为二元一次方程．
解题秘籍：此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元一次方程与二元一次方程的定义．
思路二 利用方程（组）解相同求字母系数的值
典例2（2022春•射阳县期中）若关于、的二元一次方程组与的解相同，求、的值．
思路引领：首先联立两个方程中不含、的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程中含、的两个方程从而得到一个关于，的方程组求解即可．
解：关于、的二元一次方程组与的解相同，
可得新方程组，
解这个方程组得．
把，代入，，
得，解得：．
故、的值分别为、5．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
针对训练2
4．（2022春•唐河县月考）若关于、的二元一次方程组和有相同的解，则的值为
A．B．C．1D．5
思路引领：联立不含与的方程组成方程组，求出解确定出与的值，进而求出与的值，代入原式计算即可求出值．
解：联立得：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
把代入得：，
③④得，，
解得，
把代入④得．
则．
故选：．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
5．（2022春•隆回县校级月考）关于，的两个方程组和有相同的解，则的值是
A．B．C．D．
思路引领：先联立不含，的两个方程，解方程组求出，的值，再代入含，的两个方程联立的方程组中，进行计算即可解答．
解：由题意得：，
②①得：，
把代入①中得：，
解得：，
原方程组的解为：，
把代入方程组中可得：，
解得：，
，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握同解方程组是解题的关键．
6．（2022春•娄底期中）已知方程组和方程组的解相同，求的值．
思路引领：解方程组可得，再将其代入方程组，得出，求出、的值，再求出答案即可．
解：解方程组得，
把代入方程组，得，
解得，
所以．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程组是解此题的关键．
思路三 利用方程（组）解出错求字母系数
典例3（2022春•宜宾县校级期中）解关于，的方程组时，小明求得正确解是，而小马因看错系数解出错误的解为，求，的值．
思路引领：根据方程的解的定义，把代入，可得一个关于、的方程，又小马因看错系数解得错误解为，即、的值没有看错，可把再次代入，可得又一个关于、的方程，将它们联立，即可求出、的值，进而求出的值．
解：把代入，得，解得．
把代入，得①；
小马因看错系数，解得错误解为，
把再次代入，得②；
①和②联立解得，．
则，．
解题秘籍：此题实际上是考查学生解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数的含义：即方程组中除了系数看错以外，其余的系数都是正确的．
针对训练3
7．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解为．则原方程组的解
A．B．C．D．
思路引领：把甲的解代入方程组第二个方程求出的值，把乙的解代入方程组第一个方程求出的值，确定出原方程组的解即可．
解：把代入得：，即，
把代入得：，即，
方程组为，
解得：，
故选：．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2022春•泰安期中）解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么 ．
思路引领：把两个解代入第一个方程求出与的值，把正确解代入第二个方程求出的值，代入原式计算即可求出值．
解：把与代入得：
，即，
①②得：，
把代入①得：，
把代入得：，
解得：，
则．
故答案为：11
解题秘籍：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．（2022春•奈曼旗期中）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值．
思路引领：将代入方程组中的，求出的值，将代入方程组中的，求出的值，即可求解．
解：将代入方程组中的，
得，即，
将代入方程组中的，
得，即，
．
解题秘籍：本题考查二元一次方程组一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，实数的运算是解题的关键．
思路四 利用方程（组）解满足条件求字母系数
典例4（2022春•思明区校级期中）已知关于，的方程组．
（1）若方程组的解满足，求的值；
（2）无论实数取何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个公共解．
思路引领：（1）根据题意，联立方程组，可求得，的值，再将，代入，即可求得的值．
（2）将变形，得，由题意可得，可求得的值，将所求的值代入，可求得的值，即为所求的公共解．
解：（1）根据题意，联立，
①②，得，
将代入①，得．
把代入，
可得，
解得．
的值为．
（2）这个公共解为．
理由：将变形，得，
无论实数取何值，方程总有一个公共解，
，
解得，
将代入，
可得．
这个公共解为．
解题秘籍：本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法．
针对训练4
10．（2022春•淅川县期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为
A．B．2C．D．1
思路引领：先求出只含，的方程组的解，再将解代入中，即可求得的值．
解：根据题意，联立，
①②，得，
把代入①，得，
方程组的解．
将代入中，
得，
解得．
故选：．
解题秘籍：本题考查二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的意义是解题的关键．
11．（2022春•鄞州区期中）若关于，的方程组的解满足，则等于
A．2020B．2021C．2022D．2023
思路引领：用整体思想①②，得，等是两边都除以5，得，再根据，从而计算出的值．
解：，
①②，得，
，
，
，
，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
12．（2022•碑林区校级开学）若关于，的方程组的解，满足，则的值为
A．1B．2C．3D．4
思路引领：先解二元一次方程组，求出，的值，然后代入中进行计算即可解答．
解：，
②得：③，
①③得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
原方程组的解为：，
把代入中可得：
，
解得：，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．（2022春•中山市期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
思路引领：两式相加直接求出的表达式，根据列出方程即可得到的值．
解：两式相加得：，
，
，
，
．
故答案为：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，考查了整体思想，两式相加直接求出的表达式是解题的关键．
思路五 利用方程（组）解的个数求字母系数的值或取值范围
典例5 确定、的值使二元一次方程组．
（1）有无数个解；
（2）无解；
（3）有唯一解．
思路引领：（1）当系数满足时，方程组有无数个解，从而确定，的值；
（2）当系数满足时，方程组无解，从而确定，的值；
（3）当系数时，方程组有唯一解，从而确定，的值．
解：（1）系数满足时，方程组有无数个解，
，．
（2）系数满足时，方程组无解，
，．
（3）系数时，方程组有唯一解，
，为任何实数．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解的存在的三种情形，从系数的关系上能够看到方程组解的个数．
针对训练5
14．在关于、的方程组中，当为 时，这个方程组有无数个解．
思路引领：只有当两方程相等时，才有无数解，根据这一条件即可求得．
解：当两方程相等时，方程组有无数个解，
方程一乘以3得：，
要使两方程相等，则．
当时，这个方程组有无数个解．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程解的情况，当两方程相等时，方程组有无数个解．
20．（2021春•仓山区期中）关于，的方程和，下列说法正确的有 （写出所有正确的序号）
①当，时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；
②当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；
③当，时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；
④当且时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．
思路引领：把，的值代入原方程，解方程组即可．
解：①当，时，
原方程为，，
此时组成方程组的解为，不符合题意；
②当且时，
原方程为，，
组成方程组，解得：，符合题意；
③当，时，
方程组为，
第一个方程化简得，与第二个方程相同，
所以有无数个解，符合题意；
④当且时，
方程组为，
消去，解得：或，
，
，此时，
有且只有一个解，符合题意；
故答案为：②③④．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程是解题得关键．
15．（2015春•常宁市校级期中）若方程组有无数个解，则值为 ．
思路引领：根据方程组的解有无数个，即两个方程为同解方程，即各未知数的系数的比相等，即可求出的值．
解：由同解方程，得：，
解得：，
故答案为：2．
解题秘籍：本题主要考查二元一次方程组的解，明确同解方程中各未知数的系数的比相等是解决此题的关键．
思路五 利用方程（组）的整数解求字母系数的值
典例6 m为正整数，已知二元一次方程组有整数解，求m的值．
思路引领：利用加减消元法易得x、y的解，由x、y均为整数可解得m的值．
解：关于x、y的方程组：，
①+②得：（3+m）x＝10，即x③，
把③代入②得：y④，
∵方程的解x、y均为正整数，
∴m+3是大于3的整数
∴3+m既能整除10也能整除15，即3+m＝5，解得m＝2．
故m的值为2．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，涉及到因式分解相关知识点，解二元一次方程组有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
针对训练6
16．（2022•江北区开学）方程组有正整数解，则整数的值为 ．
思路引领：先用的代数式表示、，根据方程组有正数解，求出的取值范围，再根据方程组有正整数解，得出，求出，再结合，方程组有正整数解，整数的值就能求出．
解：，
②①，得，
把代入②，得，
方程组有正数解，
，，
解得，
方程组有正整数解，
，
，
，
的整数为，，，0，1，2，
分别代入，，
使，为正整数解的的值为，
、，
故答案为：，．
解题秘籍：本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组，根据题意列出不等式求出解集是解题关键．
17．（2022•江北区开学）方程组有正整数解，则的正整数值是
A．3B．2C．1D．不存在
思路引领：首先由第二个方程得到，代入第一个方程，求得，根据是6的正约数即可求解．
解：，
由②得：，代入①得：，
则，
则或2或3或6，
解得：，或或或2．
又是正整数，
．
故选：．
解题秘籍：本题考查了方程组的整数解，正确理解是6的正约数是关键．
18．（2022春•海淀区校级期中）为负整数，已知二元一次方程组有整数解，则的值为 ．
思路引领：先解该方程组，再讨论符合条件的值．
解：方程组可得，
，
该方程组有整数解，
是15和10的公约数，且为负整数，
，
解得，
故答案为：．
解题秘籍：此题考查了方程组的解相关问题的解决能力，关键是能准确运用相关知识进行求解、讨论．
19．（2022春•高安市期中）若方程组有正整数解，则整数的值为 ．
思路引领：先解方程组，求出方程组的解，根据方程组有正整数解求出的范围，再求出符合的整数即可．
解：①②得，，
，
代入②得，，
因为方程组的解是正整数，
所以，
解得，
所以整数，，0．
故答案为：，，0．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于的不等式组是解此题的关键．
专题提优训练
1．（2022春•朝阳区校级期中）若是二元一次方程的解，则的值为
A．4B．C．8D．
思路引领：把代入方程得到关于的一元一次方程，解之即可．
解：把代入方程得：
，
解得：，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
2．（2022春•拱墅区期中）已知关于的方程组和的解相同，则的值为
A．0B．C．1D．2022
思路引领：原方程组可化为：，用加减消元法解出、，把，代入其它方程组成新的方程组，，用加减消元法解出、，代入计算即可．
解：原方程组可化为：，
①②，得，
把代入②，得，
把，代入，得，
②①，得，
把代入②，得，
，
故选：．
解题秘籍：本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
3．（2022春•福清市期中）关于，的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数的个数有
A．4个B．3个C．2个D．无数个
思路引领：首先应用加减消元法，求出方程组的解是多少；然后根据方程组的解为整数，判断出满足这个条件的整数的个数有多少即可．
解：，
②①得，，
解得，
把代入①，
解得，
原方程组的解是，
方程组的解为整数，
，或．
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
满足这个条件的整数的个数有4个：，6，2，4．
故选：．
解题秘籍：此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
4．（2022春•西湖区校级期中）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为
A．B．C．D．
思路引领：把代入中可求出，的值，再把，的值代入中，进行计算即可解答．
解：把代入中可得：
，
解得：，
把代入中可得，
，
解得：，
故选：．
解题秘籍：本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2022春•江阴市期中）若关于、的方程的解满足，则的值为
A．B．C．0D．不能确定
思路引领：①②得出，求出，根据求出，再求出方程的解即可．
解：，
①②，得，
，
，
，
解得：，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解等知识点，能求出是解此题的关键．
6．（2022春•十堰期中）若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为
A．5B．4C．D．
思路引领：根据方程的解满足方程，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
解：由是关于，的二元一次方程的解，得
，
解得，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于的方程是解题关键．
7．（2022•虎丘区校级模拟）已知方程组的解为，则的值为
A．6B．4C．D．
思路引领：根据题意，可得：，应用加减消元法，求出方程组的解即可．
解：方程组的解为，
，
①②，可得，
解得，
把代入①，可得：，
解得，
原方程组的解是，
．
故选：．
解题秘籍：此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
8．（2022春•晋州市期中）若和都是方程的解，则的值是
A．B．C．3D．3
思路引领：根据二次一次方程组的解得出，由②求出，再求出即可．
解：和都是方程的解，
，
由②，得，
把代入①，得，
解得：，
故选：．
解题秘籍：此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
9．（2022春•西城区校级期中）已知是关于、的二元一次方程的一组解，则 ．
思路引领：把代入方程得到关于的一元一次方程，解之即可．
解：把代入方程得：
，
解得：，
故答案为：2．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程的解，正确掌握代入法是解题的关键．
10．（2022春•信都区校级月考）若方程组的解与相等，则 11 ．
思路引领：联立，求出，的值，代入第二个方程即可得到的值．
解：联立，
解得：，
代入第二个方程得：，
解得：．
故答案为：11．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，联立，求出，的值是解题的关键．
11．（2022春•如东县期中）关于的二元一次方程组的解，满足，则的值是 ．
思路引领：①②整理得出，根据得到，再求出方程的解即可．
解：，
①②得：，
．
，
，
解得：，
故答案为：．
解题秘籍：本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，二元一次方程组的解等知识点，能得到是解此题的关键．
12．（2021春•莘县期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则 ．
思路引领：将代入第二个方程求得，将代入第一个方程求得，再利用幂的运算性质化简即可．
解：由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，
是的解．
．
．
乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，
是方程的解．
．
．
．
故答案为：0．
解题秘籍：本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组．利用方程组的解的意义求得，的值是解题的关键．
13．（2021春•黄石港区期末）解方程组时，一学生把看错后得到，而正确的解是，则 5 ．
思路引领：将，代入第二个方程，将，代入第二个方程，组成方程组求出与的值，将正确解代入第一个方程求出即可．
解：将，；，分别代入得：，
解得：，
将，代入中得：，
解得：，
则，，，
把，，代入，
故答案为：5．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
14．（2022春•沂源县期中）关于，的二元一次方程组有正整数解，则正整数的值是 ．
思路引领：首先把看作常数，解方程组分别表示，，再根据的值，可知是34的约数，列式可得，代入的值后符合题意，从而得出结论．
解：，
②①得：，
，
把代入①得：，
，是正整数，是正整数，
，2，17，34，
，，4，12.5，
当时，，
则正整数的值是4，
故答案为：4．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
15．（2021春•衢州期中）若方程组有正整数解，则的正整数值是 ．
思路引领：首先由第二个方程得到，代入第一个方程，求得，根据是6的正约数即可求解．
解：，
由②得：，
代入①得：，
则，
则或2或3或6，
解得：或或或2．
又是正整数，
．
故答案为：2．
解题秘籍：本题考查了方程组的整数解，正确理解是6的正约数是关键．
16．（2022春•临汾月考）已知关于，的方程组的解相同，求的值．
思路引领：解方程组，得到，的值，代入其余两个方程，解方程组得到，的值，代入代数式求值即可得出答案．
解：根据题意得：，
①②得：，
，
把代入①得：，
，
将方程组的解代入其余两个方程得：，
解得：，
．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，解方程组，得到，的值是解题的关键．
17．（2022春•广州期中）已知关于，的方程组的解满足．
（1）求的值；
（2）化简：．
思路引领：（1）将方程组的两个方程相减可得，再将代入即可求出的值；
（2）将的值代入后，再根据绝对值的意义化简即可．
解：（1），
①②得，，即③，
将代入③得，，
解得，；
（2）当时，
原式
．
解题秘籍：本题考查二元一次方程组，绝对值，掌握二元一次方程组的解法以及绝对值的化简方法是正确解答的前提．
18．（2022春•新野县期中）某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知、满足，且，求的值．
小璐同学说：先解关于、的方程组，再求的值．
小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但中不含母，请你用一利比较简单的方法，求出的值．
思路引领：把和组成新的方程组，解方程组求出，的值，代入，即可求出的值．
解：、满足，且，
，
解得：，
把代入得：，
解得：．
解题秘籍：本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．
19．（2022春•天心区校级期中）已知方程组的解和方程组的解相同，求．
思路引领：根据题意，联立方程组，求出，的值，再代入，可得，的值，从而可得的值．
解：根据题意，联立方程组，
①②，得，
解得，
将代入①，
得，
解得，
把代入，
得，
③④，得，
解得，
把代入③，
得，
解得．
．
解题秘籍：本题考查同解方程组及二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中每个方程都成立的未知数的值．
20．（2021春•饶平县校级期末）甲、乙两人同求方程的整数解，甲求出一组解为，而乙把中的227错看成1，求得一组解为，试求、的值．
思路引领：由方程组的定义，可知甲的解答满足原方程，代入后，可得，间的一个关系式，乙求出的解不满足原方程，而满足方程，代入后可得，的另一个关系式，从而可求出，的值．
解：把，代入中，
得①，
把，代入中，
得②，
解由①②组成的方程组得，
．
解题秘籍：此题考查了学生的分析能力，解题的关键是找到关于、的方程组．