人教版数学七下期末考点复习第07讲 二元一次方程组最常考点归类复习（2份，原卷版+解析版）

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典例1（2022春•台江区校级期中）下列方程中是二元一次方程的是
A．B．C．D．
思路引领：根据二元一次方程的定义即可求出答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
解：．该方程符合二元二次方程的定义，故不符合题意；
．该方程是二元一次方程，故符合题意；
．该方程是一元一次方程，故不符合题意；
．该方程不是整式方程，故不符合题意．
故选：．
解题秘籍：本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．
典例2（2022春•恩阳区 期中）已知方程组是二元一次方程组，则
A．1或B．2或C．D．2
思路引领：根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程解答．
解：由题意得，，
解得．
故选：．
解题秘籍：本题考查的是二元一次方程组的定义，解答时，一定要紧扣二元一次方程组的定义：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【迁移应用1】
1．（2022春•南岗区校级月考）关于、的方程是二元一次方程，则的值为 0 ．
思路引领：根据二元一次方程定义可得：，且，再解即可．
解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：0．
解题秘籍：此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
2．（2022春•长兴县期中）方程■是二元一次方程，■是被弄污的的系数，推断■的值
A．不可能是2B．不可能是1C．不可能是D．不可能是0
思路引领：设■的值为，利用二元一次方程的定义求出的值，即可作出判断．
解：设■的值为，方程为，
由方程为二元一次方程，得到，
则■的值不可能是0．
故选：．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
3．（2022春•澧县期中）下列方程组，是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
思路引领：根据二元一次方程组的定义求解即可．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
解：．是二元二次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
．是二元一次方程组，故此选项符合题意；
．有三个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
．有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
故选：．
解题秘籍：本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．
4．（2022春•锡山区校级月考）当 时，方程是二元一次方程．
思路引领：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，据此解答即可．
解：方程是二元一次方程，
，
解得．
故答案为：2．
解题秘籍：此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
专题二 二元一次方程与二元一次方程组的解
典例3（2022春•南召县期中）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数．
（1）若是该方程的一个解，求的值；
（2）当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解；
思路引领：（1）由二元一次方程组的解可求出答案；
（2）任取两个的值，不妨取，，得到两个方程并组成方程组，解方程组即可．
解：（1）把代入方程，得，
解得：．
（2）任取两个的值，不妨取，，得到两个方程并组成方程组．
解得．
即这个公共解是．
解题秘籍：本题考查了二次一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
【迁移应用2】
5．（2022春•拱墅区期中）已知关于的方程组和的解相同，则的值为
A．0B．C．1D．2022
思路引领：原方程组可化为：，用加减消元法解出、，把，代入其它方程组成新的方程组，，用加减消元法解出、，代入计算即可．
解：原方程组可化为：，
①②，得，
把代入②，得，
把，代入，得，
②①，得，
把代入②，得，
，
故选：．
解题秘籍：本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
6．（2022春•福清市期中）关于，的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数的个数有
A．4个B．3个C．2个D．无数个
思路引领：首先应用加减消元法，求出方程组的解是多少；然后根据方程组的解为整数，判断出满足这个条件的整数的个数有多少即可．
解：，
②①得，，
解得，
把代入①，
解得，
原方程组的解是，
方程组的解为整数，
，或．
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，不符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
当时，，此时，符合题意；
满足这个条件的整数的个数有4个：，6，2，4．
故选：．
解题秘籍：此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
7．（2022春•淅川县期中）若关于，的方程组的解满足，则的值为
A．B．2C．D．1
思路引领：先求出只含，的方程组的解，再将解代入中，即可求得的值．
解：根据题意，联立，
①②，得，
把代入①，得，
方程组的解．
将代入中，
得，
解得．
故选：．
解题秘籍：本题考查二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的意义是解题的关键．
8．（2022春•广州期中）已知关于，的方程组的解满足．
（1）求的值；
（2）化简：．
思路引领：（1）将方程组的两个方程相减可得，再将代入即可求出的值；
（2）将的值代入后，再根据绝对值的意义化简即可．
解：（1），
①②得，，即③，
将代入③得，，
解得，；
（2）当时，
原式
．
解题秘籍：本题考查二元一次方程组，绝对值，掌握二元一次方程组的解法以及绝对值的化简方法是正确解答的前提．
专题三 代入消元法与加减消元法
典例4（2022春•随州期中）按要求解下列二元一次方程组：
（1）用代入法解方程组
（2）用加减法解方程组
思路引领：（1）应用代入法，求出方程组的解即可．
（2）应用加减法，求出方程组的解即可．
解：（1）由①，可得：③，
③代入②，可得：，
解得，
把代入③，可得：，
原方程组的解是．
（2）①②，可得，
解得，
把代入①，可得：
解得，
原方程组的解是．
解题秘籍：此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
【迁移应用3】
9．（2021秋•高碑店市期中）阅读下面第（1）题的解答过程，填全过程然后解答第（2）题．
（1）已知与是同类项，求的值．
解：根据同类项的意义，可知的指数相同，即： ，的指数也相同，即 ．
所以：，即：．
所以： ．
（2）已知与是同类项，求的值．
思路引领：（1）根据同类项的相同字母的指数相同，得到与的值，再把看成一个整体，求出其值；
（2）仿照（1）的过程求解即可．
解：（1）根据同类项的意义，可知的指数相同，即：，
的指数也相同，即．
所以：，
即：．
所以：．
故答案为：2，5，；
（2）根据同类项的意义，可知的指数相同，即：，
的指数也相同，即．
所以：，
即：．
所以：．
解题秘籍：本题考查了同类项的定义和整体的思想，理解题意掌握解决此类问题的过程，是解决本题的关键．
10．（2022春•乐清市校级月考）若是方程组的解，试求的值．
思路引领：将代入方程组可得，先求、的值，再求的值．
解：由题意得，将代入原方程组可得，
，
①②得，，
解得，
把代入①得，
方程组的解为
．
解题秘籍：本题考查了方程组的解的意义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．
11．（2021秋•城固县期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值．
思路引领：根据题目已知可得，然后代入中进行计算即可解答．
解：将代入得：
，
解得：，
，
将代入得：
，
解得．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
专题四 二元一次方程组的实际应用
典例5（2022春•柯桥区期中）雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生一周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
（1）全部物资可用甲型车6辆，乙型车5辆，丙型车 5 辆来运送．
（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（3）已知三种车的总辆数为14辆，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种运费最省？
思路引领：（1）利用使用丙型车的数量（这批物资的总重量每辆甲型车的运载量使用甲型车的数量每辆乙型车的运载量使用乙型车的数量）每辆丙型车得运载量，即可求出结论；
（2）设需要辆甲型车，辆乙型车，根据全部物资都用甲、乙两种车型来运送且共需运费8200元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车，根据14辆车共运送物资120吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，，均为自然数，即可得出各安排方案，再利用总运费每辆车的运费安排数量，即可求出各方案所需总运费，比较后即可得出方案3运费最省．
解：（1）
（辆．
故答案为：5．
（2）设需要辆甲型车，辆乙型车，
依题意得：，
解得：．
答：需要8辆甲型车，10辆乙型车．
（3）设需要辆甲型车，辆乙型车，则需要辆丙型车，
依题意得：，
．
又，，均为自然数，
或或，
共有3种运输方案，
方案1：安排4辆甲型车，10辆丙型车，总运费为（元；
方案2：安排2辆甲型车，5辆乙型车，7辆丙型车，总运费为（元；
方案3：安排10辆乙型车，4辆丙型车，总运费为（元．
，
方案3运费最省．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程．
【迁移应用4】
12．（2022春•上城区校级期中）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈，建兰中学欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．
（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？
（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
思路引领：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为元，乙种免洗手消毒液的单价为元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液瓶，乙种免洗手消毒液瓶，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合可使用时间免洗手消毒液总体积每天需消耗的体积，即可求出结论；
（3）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出各分装方案，选择最小的方案即可得出结论．
解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为元，乙种免洗手消毒液的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．
（2）设购进甲种免洗手消毒液瓶，乙种免洗手消毒液瓶，
依题意，得：，
，
．
答：这批消毒液可使用5天．
（3）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，
依题意，得：，
．
，均为正整数，
和．
要使分装时总损耗最小，
，
即分装时需的空瓶6瓶，的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
13．（2022•莆田模拟）为了更好开展劳动教育，某校采购了一批木板供学生组装成课桌和椅子．该校共采购类木板400块，类木板500块．已知一张课桌需要2块类木板和1块类木板，一把椅子需要1块类木板和2块类木板．
（1）这批木板可以组装成多少张课桌和多少把椅子？
（2）现安排正在上劳动实践课的九年（1）班的30名学生来组装课桌和椅子，已知一名学生组装一张课桌需要10分钟，组装一把椅子需要7分钟．应当如何分组，才能最快完成全部组装任务？
思路引领：（1）设这批木板可以组装成张课桌和把椅子，由题意：该校共采购类木板400块，类木板500块．已知一张课桌需要2块类木板和1块类木板，一把椅子需要1块类木板和2块类木板．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设名学生来组装课桌，则有名学生来组装椅子，当组装课桌和椅子用的时间相等时，才能最快完成全部组装任务，列出分式方程，解得：，再由或时，分别求出完成全部组装任务的时间，进而得出结论．
解：（1）设这批木板可以组装成张课桌和把椅子，
由题意得：，
解得：，
答：这批木板可以组装成100张课桌和200把椅子；
（2）设名学生来组装课桌，则有名学生来组装椅子，
当组装课桌和椅子用的时间相等时，才能最快完成全部组装任务，
则，
解得：，
经检验，是原方程的解，
为整数，
或，
当时，（分钟），（分钟），
完成全部组装任务，需用时83.33分钟；
当时，（分钟），（分钟），
完成全部组装任务，需用时82.35分钟；
时，完成全部组装任务用时较小，
名学生来组装课桌，17名学生来组装椅子，能最快完成全部组装任务．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
14．（2022春•长兴县期中）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元．十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元个和60元个．为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价后再销售，若一月份销售出这两款毛绒玩具的数量与十二月一样，求该旗舰店当月销售的利润．
思路引领：（1）设“冰墩敏”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价元，然后根据售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，售出了“冰墩墩300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元列出方程组并求解即可；
（2）根据“利润（售价成本价）销售数量”．
解：（1）设“冰墩敏”的销售单价为元，“雪容融”的销售单价元，则
．
解方程组得．
答：“冰墩敏”的销售单价为120元，“雪容融”的销售单价80元；
（2）（元．
答：该旗舰店当月销售的利润为12100元．
解题秘籍：本题主要考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．（2022春•十堰期中）为更好落实“双减”精神，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定本学期开设更多运动项目，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．
（1）七（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．请你根据如图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．
（2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根（其中，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则最多可以买多少根跳绳？
思路引领：（1）设足球和跳绳的单价分别为元、元，由图中信息列出方程组，解方程组解可；
（2）由题意得，当全买足球时，可买足球的数量为22.5，然后求出方程的正整数解，即可得出结论．
解：（1）设足球的单价为元，跳绳的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元；
（2）由题意得：，，
当全买足球时，可买足球的数量为：（个，
，
又、为正整数，
或，
最多可以买24根跳绳，
答：最多可以买24根跳绳．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
专题提优训练
1．（2014春•温州期中）下列方程中，属于二元一次方程的是
A．B．C．D．
思路引领：根据二元一次方程的定义判断即可．
解：、不是二元一次方程，故本选项错误；
、不是二元一次方程，故本选项错误；
、是二元一次方程，故本选项正确；
、不是二元一次方程，故本选项错误；
故选：．
解题秘籍：本题考查了对二元一次方程定义的应用，注意：含有两个未知数，并且所含未知数项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．
2．（2021春•金坛区期末）若是方程的解，则的值是
A．B．4C．3D．
思路引领：把方程的已知解代入中，得到一个含有未知数的一元一次方程，然后就可以求出的值．
解：把代入二元一次方程中，
可得：，
解得：，
故选：．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程的解，解题关键是把二元一次方程的已知解代入二元一次方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程，然后解此方程即可．
3．（2020•黑龙江）学校计划用200元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个15元，种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案
A．2种B．3种C．4种D．5种
思路引领：设购买了种奖品个，种奖品个，根据学校计划用200元钱购买、两种奖品，其中种每个15元，种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据，为正整数可求出解．
解：设购买了种奖品个，种奖品个，
根据题意得：，
化简整理得：，得，
，为正整数，
，，
有2种购买方案：
方案1：购买了种奖品5个，种奖品5个；
方案2：购买了种奖品10个，种奖品2个．
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出，的值．
4．（2020秋•项城市期末）如图，利用两块相同的长方体木块（阴影部分）测量一件长方体物品的高度，首先按左图方式放置，再按右图方式放置，测量的数据如图，则长方体物品的高度是
A．B．C．D．
思路引领：设长方体木块的长为，宽为，长方体物品的高为，由图中数据建立方程组求出其解即可得出结论．
解：设长方体木块的长为，宽为，长方体物品的高为，
由题意得：，
两式相加得：，
解得：，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题的关键．
5．（2020秋•郑州期末）列方程组解古算题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”题目大意是：几个人共同购买一件物品，每人出8钱，余3钱；每人出7钱，缺4钱．设参与共同购物的有个人，物品价值钱，可列方程组为
A．B．
C．D．
思路引领：根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
解：设参与共同购物的有个人，物品价值钱，可列方程组为，
故选：．
解题秘籍：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
6．（2012•杭州模拟）已知．则的值为
A．0B．4C．6D．12
思路引领：根据已知得出关于、的方程组，求出方程组的解，把、的值代入求出即可．
解：，
，，
即，
①②得：，
，
把代入①得：，
，
，
，
，
，
故选：．
解题秘籍：本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求出值等知识点的应用，关键是得出关于、的方程组，注意：两个非负数的和为0，这两个数必须都为0．
7．（2019•保定三模）设“●”“■”“▲”分别表示不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为
A．5B．4C．3D．2
思路引领：设“●”“■”“▲”分别为、、，由图列出方程组解答即可解决问题．
解：设“●”“■”“▲”分别为、、，由图（1）（2）可知，
，
解得，，
所以，即“■”的个数为5．
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决．
8．（2021春•淮阳区校级期中）如图，把一个长为，宽为的长方形分成五块，其中两个大长方形和两个大正方形分别相同，则中间小正方形的边长为
A．4B．5C．6D．7
思路引领：大正方形的边长为，设小正方形的边长为，由题意：把一个长为，宽为的长方形分成五块，列出方程组，解方程组即可．
解：设大正方形的边长为，设小正方形的边长为，
由题意得：，
解得：，
小正方形的边长为，
故选：．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2019春•西湖区校级月考）已知关于、的方程组给出下列结论：
①是方程组的解；
②无论取何值，，的值都不可能互为相反数；
③当时，方程组的解也是方程的解；
④，的值都为自然数的解有4对，其中正确的有
A．①③B．②③C．③④D．②③④
思路引领：①将，代入检验即可做出判断；
②将和分别用表示出来，然后求出来判断；
③将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
④由得到、都为自然数的解有4对．
解：①将，代入方程组得：，
由①得，由②得，故①不正确．
②解方程
①②得：
解得：，
将的值代入①得：，
所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将代入方程组得：，
解此方程得：，
将，代入方程，方程左边右边，是方程的解，故③正确．
④因为，所以、都为自然数的解有，，，．故④正确．
则正确的选项有②③④．
故选：．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
10．（2019春•西湖区校级月考）已知，用含的代数式表示为： ．
思路引领：根据，可得：，据此用含的代数式表示即可．
解：，
，
解得．
故答案为：．
解题秘籍：此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
11．（2015•南充）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是 ．
思路引领：将方程组用表示出，，根据方程组的解互为相反数，得到关于的方程，即可求出的值．
解：解方程组得：，
因为关于，的二元一次方程组的解互为相反数，
可得：，
解得：．
故答案为：．
解题秘籍：此题考查方程组的解，关键是用表示出，的值．
12．（2009•德州）若关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ．
思路引领：先用含的代数式表示、，即解关于，的方程组，再代入中可得．
解：根据题意组，得，，，
把，代入二元一次方程，
得：，
．
故答案为：
解题秘籍：理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出的数值．
13．（2020秋•北碚区期末）对于任意实数，，定义关于“”的一种运算如下：．例如．若，且，则的值为 6 ．
思路引领：利用题中的新定义化简已知等式列出方程组，求出方程组的解即可求出所求．
解：根据题中的新定义得：，
①②得：．
故答案为：6．
解题秘籍：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ．
思路引领：根据已知方程组的解列出关于与的方程组，求出解即可．
解：方程组的解为，
，
关于、的二元一次方程组的解为．
故答案为：．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
15．求方程组：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
思路引领：（1）运用加减消元法求解即可；
（2）运用代入消元法求解即可；
（3）运用加减消元法求解即可；
（4）先整理得，再运用加减消元法求解即可．
解：（1），
①②，得：，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
原方程组的解是．
（2），
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
原方程组的解是．
（3），
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
原方程组的解是．
（4）原方程组可化为，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
原方程组的解是．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解法，灵活选择加减消元法或代入消元法是解题关键．
16．已知是关于，的二元一次方程组的解，求，的值．
思路引领：将与代入值代入方程组计算求出与的值即可．
解：将，代入方程组得：，
①②得：，即，
将代入②得：．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
17．已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解．
思路引领：根据两个方程组解相同，可先求出、的值，再将、的值代入其余两个方程即可求出、的值．
解：根据题意，得，
解得，
把、的值代入方程组，
可得，
解得．
答：，，方程组的解为．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是先求出、的值．
18．已知关于、的方程组的解满足，求代数式的值．
思路引领：把看作已知数求出与，代入，求出的值，即可确定出原式的值．
解：，
①②得：，
把代入②得：，
代入得：，
解得：，
则原式．
解题秘籍：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
19．小明和小丽同解一个二元一次方程组，小明正确解得，小丽因抄错了，解得．已知小丽除抄错外没有发生其他错误，求的值．
思路引领：因为小明的解正确，所以可以代入任何一个方程，代入①可求的值，代入②得；因为小丽抄错了，因此可以代入②中，得，建立方程组，可以得出、的值，从而求出结论．
解：将代入①得，，，
将代入②得，③，
将代入②得，，④，
将③，④联立，，
解之得，
所以．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的解，要求方程组的字母系数，通常采用代入法，将正确的解代入即可．
20．小方小程两人相距，两人同时相向而行，相遇．同时出发同向而行，小方可追上小程．两人的平均速度各是多少？（列二元一次方程组解答）
思路引领：设小方的速度是千米时，小程的速度是千米时，根据两人相距6千米，两人同时出发相向而行，1小时相遇；同时出发同向而行小方可追上小程，可列方程组求解．
解：设小方的速度是千米小时，小程的速度是千米小时，
，
解得：
答：小方的速度是4千米时，小程的速度是2千米时．
解题秘籍：本题主要考查了二元一次方程组的应用问题行程问题，根据相遇和追及两种情况列出方程组求解，正确理解题意，找到等量关系是解决问题的关键．
21．（2021秋•凉山州期末）某车间有60个工人，生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个．已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套？
思路引领：设应分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个，可列方程求解．
解：设分配人生产甲种零件，则共生产甲零件个和乙零件，
依题意得方程：，
解得，
（人．
答：应分配15人生产甲种零件，45人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套．
解题秘籍：本题考查一元一次方程的应用和理解题意的能力，关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．
22．节约用水和合理开发利用水资源是每个公民应尽的责任和义务，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段引导市民节约用水．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过时，水费按元收费；超过时，超过的部分按元收费．该市某户居民今年2月份的用水量为9立方米，缴纳水费为27元；3月份的用水量为11立方米，缴纳水费为37元
（1）求、的值；
（2）若该市某居民今年4月份的用水量为13.5立方米．则应缴纳水费多少元？
思路引领：（1）该市居民用水基本价格为元米，超过6米部分的价格为元米，根据2月份和3月份的缴费情况列出和的二元一次方程组，求出和的值即可；
（2）直接根据（1）求出答案即可．
解：（1）设该市居民用水基本价格为元米，超过6米部分的价格为元米，
根据题意，得，
解这个方程组，得．
答：该市居民用水基本价格为2元米，超过6米部分的价格为5元米．
（2）（元．
答：该市某居民今年4月份的用水量为13.5立方米，则应缴纳水费49.5元．
解题秘籍：本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据题意列出和的二元一次方程组，此题难度不大．
23．（2019•烟台）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
思路引领：（1）设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，根据志愿者人数调配36座客车的数量及志愿者人数调配22座客车的数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需调配36座客车辆，22座客车辆，根据志愿者人数调配36座客车的数量调配22座客车的数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可求出结论．
解：（1）设计划调配36座新能源客车辆，该大学共有名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，
依题意，得：，
解得：．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设需调配36座客车辆，22座客车辆，
依题意，得：，
．
又，均为正整数，
．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（2022•无锡模拟）某快递公司在我市新设了一处中转站，预计每周将运送快递308吨．为确保完成任务，该中转站计划向汽车厂家购买电动、燃油两种类型的货车．根据测算，每辆电动货车每周能运送快递48吨，每辆燃油货车每周能运送快递36吨．已知汽车厂家售出1辆电动货车、2辆燃油货车的总价为39万元；售出3辆电动货车、1辆燃油货车的总价为57万元．
（1）分别求出每辆电动、燃油货车的价格；
（2）考虑到环保因素，电动货车最少购买4辆，为确保完成每周的快递运送任务，求该中转站最低的购车成本．
思路引领：（1）设每辆电动货车的价格为万元，每辆燃油货车的价格为万元，由汽车厂家售出1辆电动货车、2辆燃油货车的总价为39万元；售出3辆电动货车、1辆燃油货车的总价为57万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买电动货车辆，燃油货车辆，由每周将运送快递308吨，每辆电动货车每周能运送快递48吨，每辆燃油货车每周能运送快递36吨，列出一元一次不等式，再由，为正整数，求出，即可得出结果．
解：（1）设每辆电动货车的价格为万元，每辆燃油货车的价格为万元，
由题意得：，
解得：，
答：每辆电动货车的价格为15万元，每辆燃油货车的价格为12万元；
（2）设购买电动货车辆，燃油货车辆，
由题意得：，
整理得：，
，
，
，
，
为正整数，
，
中转站购车最少为：、，
此时购车成本为：（万元），
该中转站最低的购车成本为108万元，
答：该中转站最低的购车成本为108万元．
解题秘籍：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨辆）
5
8
10
汽车运费（元辆）
400
500
600